推理與證明Z1102數(shù)學(xué)漫游記

德國地質(zhì)學(xué)家魏格納經(jīng)過長期觀察，發(fā)現(xiàn)南美洲的東海岸和非洲的西海岸非常相似，兩者是否存在某種聯(lián)系呢？在收集了更多的信息和證據(jù)，不斷地思索后，他大膽地提出猜想，認(rèn)為兩塊陸地原本就是拼合在一起的，只是后來在某種劇變中，才象木版一樣斷裂并漂移開來，就這樣兩處海岸相似的現(xiàn)象，就得到了合理的解釋，接著，魏格納大膽地提出了大陸構(gòu)造的板塊漂移學(xué)說，并得到了全世界的普遍認(rèn)同。(1880-1930)是德國氣象學(xué)家、地球物理學(xué)家。

案例1

魏格納通過長期觀察、不斷收集信息和深入思索，得出兩海岸相似的結(jié)論，并提出大陸構(gòu)造的板塊漂移學(xué)說，正是合情推理的具體體現(xiàn)。由漂在水中斷裂開來的兩塊木板，聯(lián)想到在海洋中，斷裂并漂移開來的兩塊陸地，魏格納天才地運用類比推理，得到了科學(xué)史上的一次重大的發(fā)現(xiàn)。

合情推理的積極意義就在于，能夠幫助人們提出新的想法、培養(yǎng)創(chuàng)造思維和創(chuàng)新精神，但合情推理也有其消極不可靠的一面，它容易使證明成為偽證明。

案例2

某商場發(fā)生了盜竊案，失竊珍珠一枚。公安人員抓住犯罪嫌疑人甲、乙、丙、丁四人，提審他們的供詞如下。甲說：“我看見是乙偷的”；乙說：“不是我，是丙偷的”；丙說：“乙說謊，他要陷害我”；丁說：“東西是誰偷的，我不知道，反正我沒偷”。公安人員經(jīng)過細(xì)致分析，原來竊賊就在他們四人中，其中一人的供詞是真話，其余三人的供詞全是假話。你能指出誰是竊賊嗎？推理與破案推理與破案

公安人員在確定犯罪嫌疑人時，要在偵察、調(diào)查等基礎(chǔ)上，進行“推理和證明”。在這一階段中，常常是合情推理和演繹推理都要使用，顯然犯罪嫌疑人不一定是罪犯，證明往往是假設(shè)條件下的偽證明，做不好，會冤枉好人，甚至?xí)斐刹葺讶嗣?，因此，要慎之又慎。在這一階段中，不能使用合情推理，必須使用演繹推理，遵循演繹推理的法則和科學(xué)的邏輯原理，以事實為根據(jù)，使證明成為科學(xué)的論證。同學(xué)們，讓我們回到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來認(rèn)識推理與證明

案例3

找規(guī)律，請在（）內(nèi)填數(shù)：1，2，4，7，（）。下面是幾個小學(xué)生用合情推理給出的猜測性答案。甲：∵1＋2＋4＝7，∴2＋4＋7＝（），即（）＝13，乙：∵1＋2＋1＝4，2＋4＋1＝7，∴4＋7＋1＝（），即（）＝12，丙：∵2－1=1，4－2=2，7－4＝3，∴（）－7＝4，即（）＝11。

找規(guī)律，請在（）內(nèi)填數(shù)：

1，2，4，7，（）。同學(xué)們，讓我們回到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來認(rèn)識推理與證明下面是幾個初中學(xué)生，用合情推理給出的猜測性答案。原問題可以轉(zhuǎn)化為：若設(shè)a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝7，則a5＝（）甲：∵a1＋a2＋a3＝a4＝7，∴a2＋a3＋a4＝a5＝13，乙：∵a1＋a2＋1＝a3＝4，a2＋a3＋1＝a4＝7，∴a3＋a4＋1＝a5＝12，丙：∵a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，∴a5－a4＝4，a5＝11。

從以上我們可以獲知，合情推理的結(jié)果具有多樣性和不可靠性（也稱不穩(wěn)定性），包含有效信息越多的結(jié)果，可靠性越大。這里的合情推理屬于歸納推理。同學(xué)們，讓我們回到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來認(rèn)識推理與證明

案例4n（n∈N）條彼此相交，但無三條共點的直線，把平面分成多少部分？猜想結(jié)論并給出證明。下面是幾個高中學(xué)生的“推理與證明”。分析：若設(shè)平面被n（n∈N）條直線分成an部分，則當(dāng)n＝0時，平面內(nèi)有0條直線，平面被分成1部分，即a0＝1；當(dāng)n＝1時，平面內(nèi)有1條直線，平面被分成2部分，即a1＝2；當(dāng)n＝2時，平面內(nèi)有2條直線，平面被分成4部分，即a2＝4；甲的證明：∵a0＝1＝20，a1＝2＝21，a2＝4＝22，∴數(shù)列｛an｝是以1為首相，2為公比的等比數(shù)列；（在此處是歸納推理）又由等比數(shù)列的通項公式，得an=2n,（n∈N）。（在此處是演繹推理）

一般情況下，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=3時，平面內(nèi)有3條直線，平面被分成7部分，即a3=7；甲的“推理與證明”，顯然不科學(xué)。請思考，不科學(xué)的原因是什么？我們很快會發(fā)現(xiàn)，a0，a1，a2，a3四個數(shù)與案例3中的四個數(shù)完全相同，于是參考案例3中丙的思維結(jié)果（在此處是類比推理），有乙的證明：∵a1－a0＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，∴an－an－1＝n，（在此處是歸納推理）。將以上各式左右兩邊分別相加，得an－a0＝1＋2＋3＋…＋n，于是an＝(n2＋n＋2)/2，（在此處是演繹推理）。到此，案例4的問題似乎得到了完滿地解決，但乙的“推理與證明”科學(xué)嗎？請思考，不科學(xué)的原因是什么？怎樣才能給出科學(xué)的證明？

觀察與思考

有一種動物，人們俗稱“四不象”，它頭似馬，身似驢，腿如牛，角為鹿，希望同學(xué)們能站在思維的高度，掌握“推理與證明”的積極因素和方法，形成可靠、科學(xué)的證明，避免證明中的“四不象”。推理與證明源于生活

人們在長期實踐中積累了十分豐富的知識，但這些知識大都是粗淺的、直觀的、經(jīng)驗性的和零散的，而直觀的、經(jīng)驗性的知識可能不一定正確。例如，人們常會“看走了眼”：眼睛所看見的大地是靜止的、平的，而實際上地球是運動的、圓的；對于同一個事件或事實，立場不同的人可以得出完全不同的結(jié)論。為此，人們要學(xué)會推理與證明?；鹦堑厍蛳嗨泣c:繞太陽運轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)、有大氣層、有季節(jié)變換、大部分時間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命火星上可能有生命上述推理是怎樣的一個過程呢？是歸納推理？走近“推理與證明”讓我們一起研究吧意大利數(shù)學(xué)家菲波那契（L.Fibonacci）在他的1228年版的《算經(jīng)》一書中記述了有趣的兔子問題：假定每對大兔子每月能生一對小兔子，而每對小兔子過了一個月就可長成大兔子，如果不發(fā)生死亡，那么由一對大兔子開始，一年后能有多少對大兔子呢？我們依次給出各月的大兔子對數(shù)，可得數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…。這就是菲波那契數(shù)列，此數(shù)列中a1＝a2＝1，你能歸納出當(dāng)n≥3時，an，an-1，an-2的關(guān)系嗎？讓我們一起研究吧菲波那契

證明是數(shù)學(xué)研究的永恒的主題，兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯因為證明了勾股定理，而殺一百頭牛以示慶賀；上世紀(jì)九十年代，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯因為證明了費爾馬大定理（當(dāng)n>2且n∈N時方程xn＋yn＝zn沒有正整數(shù)解）而獲得數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎——菲爾茲獎；我國數(shù)學(xué)家陳景潤因為在哥德巴赫猜想（任何不小于6的偶數(shù)都是兩個奇質(zhì)數(shù)的和）的證明上取得重大進展，從而獲得國際性的聲譽。親愛的同學(xué)，你過去在數(shù)學(xué)證明上有什么出色的地方嗎？未來你能否在數(shù)學(xué)證明上也創(chuàng)造歷史呢？畢達(dá)哥拉斯懷爾斯陳景潤菲爾茲獎?wù)?/p>

推理與證明是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題的基本思維過程，也是我們在生產(chǎn)生活中經(jīng)常使用的思維方式，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索解題思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，它有利于提高嚴(yán)密的邏輯思維能力。學(xué)好推理與證明，不僅能提高我們的思維層次和理解能力，而且對增進我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)高素質(zhì)人才也不無益處。本章知識要覽

本章共分三大節(jié)，第一節(jié)是合情推理和演繹推理，合情推理包括歸納推理和類比推理；第二節(jié)是直接證明與間接證明，直接證明包括綜合法和分析法，間接證明主要介紹了反證法。本章重點是歸納推理和類比推理；難點是分析法和綜合法。本模塊學(xué)習(xí)的建議推理與證明是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，其核心是培養(yǎng)同