第三講不定積分的計算方法演示文稿目前一頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點優(yōu)選第三講不定積分的計算方法目前二頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點第4節(jié).不定積分的換元法

利用積分性質(zhì)和簡單的積分表可以求出不少函數(shù)的原函數(shù),但實際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的.

現(xiàn)在介紹與復合函數(shù)求導法則相對應的積分方法——不定積分換元法.目前三頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點一.不定積分的第一換元法:看出點什么東西沒有?原函數(shù)?被積表達式?也是被積表達式?目前四頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點定理該定理稱為不定積分的第一換元法,也叫“湊微分”法。證明過程請看書!目前五頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點4.見過的湊微分公式(方法):比如:dx=d(x+1);

dx=d(2x+1);

dx=d(x-3)(1).dx=d(ax+b)/a.(2).xadx=d(xa+1)/(a+1).比如:xdx=d(x2)/2下面介紹兩大類型被積函數(shù)的積分方法:目前六頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點被積函數(shù)只是關于三角函數(shù)的積分計算問題:1.相應的湊微分公式(方法):(3).cosxdx=dsinx.(4).sinxdx=-dcosx.2.被積函數(shù)出現(xiàn)正\余弦函數(shù)的奇數(shù)次冪時:二.三角函數(shù)的積分計算例:方法:拆出個正\余弦的1次冪,再湊微分目前七頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點3.被積函數(shù)都是正\余弦函數(shù)的偶數(shù)次冪時:目標:利用三角公式(半角公式)把次數(shù)降低!具體方法(公式):等式左邊是三角函數(shù)的2次,右邊只有1次,次數(shù)降低了!目前八頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點三、有理函數(shù)的積分1.有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解若干部分分式之和目前九頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點例1解之前的引入例:目前十頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點2.分母可以因式分解(1次因式)時:先將分母因式分解1次因式;再利用待定系數(shù)法分解部分分式的和;對每個部分分式的計算積分.例13采用部分分式法計算步驟:目前十一頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點真分式分解為部分分式:比較等式2邊得:A=-3,B=5目前十二頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點=-3ln(x-2)+5ln(x-3)+C目前十三頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點例14解部分分式法目前十四頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點3.分母出現(xiàn)不能因式分解(2次因式)時:采用的積分公式是:該分母不能因式分解看下面這個相對簡單的例子,再看個綜合例子:(注意,這例子比較難!)目前十五頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點解:

原式例15.

求目前十六頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點(書本P219例題4)例16想想它分子怎么設？利用待定系數(shù)法求得:A=2,B=-1,C=3目前十七頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點這個積分容易計算了這個積分是新問題:分母不能因式分解!湊微分分母不能分解,進行配方目前十八頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點湊微分換元u=x-1/2目前十九頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點湊微分湊微分基本公式目前二十頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點再看這個,將分母變成u2+1湊微分目前二十一頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點基本公式目前二十二頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點好難!？注意步驟,不著急!優(yōu)勢:在方法一定可以完成!目前二十三頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，四.不定積分的第二換元法:目前二十四頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點目前二十五頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點1.定理目前二十六頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點下面介紹幾種情況及處理方法:2.第一種情況:這是第2換元積分的最主要的用途目標通常是一次函數(shù)的根式目前二十七頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點例17解直接令根式為新的積分變元目前二十八頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點例18解直接令根式為新的積分變元這是前面的有理分式的積分,可以計算了目前二十九頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點因式分解部分分式法湊微分法目前三十頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點例19解目前三十一頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點3.第二種情況:這是第2換元積分的最主要的用途目標被積函數(shù)是二次函數(shù)根式的情形:又分下面3種情況:2.第一種情況:

被積函數(shù)是(一次)函數(shù)的根式,直接令根式為新的積分變元:目前三十二頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點相應的三角公式是:變形:或變形:目前三十三頁\總數(shù)三十八頁\編于十七點

求解:

令則∴原式例20目