第五節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)5/17/20231一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論的基本任務(wù)之一。穩(wěn)定的充要條件和屬性

穩(wěn)定的基本概念：設(shè)系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當(dāng)外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能回復(fù)到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。5/17/20232設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：上式右邊第一項為零狀態(tài)解，對應(yīng)與由輸入引起的響應(yīng)過程。第二項為零輸入解，對應(yīng)于由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)過程。這項相當(dāng)于系統(tǒng)齊次微分方程的解。+系數(shù)取決于初始條件的多項式穩(wěn)定的充要條件和屬性式中：x(t)—輸入，y(t)—輸出為常系數(shù)。將上式求拉氏變化，得(初始值不全為零）5/17/20233線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全為負實數(shù)或具有負實部的共軛復(fù)根?；蛘哒f，特征方程的根應(yīng)全部位于s平面的左半部。穩(wěn)定的充要條件和屬性前面討論的當(dāng)外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能回復(fù)到原來的起始平衡狀態(tài)可看作第二項經(jīng)過足夠長的時間變?yōu)榱恪?/17/20234充要條件說明如果特征方程中有一個正實根，它所對應(yīng)的指數(shù)項將隨時間單調(diào)增長；如果特征方程中有一對實部為正的共軛復(fù)根，它的對應(yīng)項是發(fā)散的周期振蕩。上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征方程中有一個零根，它所對應(yīng)于一個常數(shù)項，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)；如果特征方程中有一對共軛虛根，它的對應(yīng)于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。從控制工程的角度認為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面5/17/20235對于一階系統(tǒng)，只要都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于二階系統(tǒng)，只有都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負實根或?qū)嵅繛樨摚τ谌A或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。充要條件說明注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點有關(guān)，與零點無關(guān)。5/17/20236二、勞思—赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（一）、勞思判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的全部系數(shù)為正值；由特征方程系數(shù)組成的勞思陣的第一列也為正。勞思陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，…項系數(shù)組成，第二行為2，4，6，…項系數(shù)組成。勞斯判據(jù)5/17/202375/17/20238勞斯判據(jù)以下各項的計算式為：5/17/20239勞斯判據(jù)依次類推?？汕蟮?/17/202310勞斯判據(jù)例子[例]：特征方程為：，試判斷穩(wěn)定性。[解]：勞斯陣為：穩(wěn)定的充要條件為：均大于零且5/17/202311特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論：用一個正數(shù)去乘或除某整行，不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論；勞斯陣第一列所有系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半平面上有極點，極點個數(shù)等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。[例]：系統(tǒng)的特征方程為：-130（2）100（）勞斯陣第一列有負數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號變化兩次，表示有兩個極點在s的右半平面。勞斯判據(jù)特殊情況5/17/202312勞斯判據(jù)特殊情況勞思陣某一行第一項系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。[處理辦法]：用很小的正數(shù)代替零的那一項，然后據(jù)此計算出勞斯陣列中的其他項。若第一次零（即）與其上項或下項的符號相反，計作一次符號變化。[例]：令則

故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個極點。5/17/202313勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少要下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號相反的一對實根，或一對共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對共軛復(fù)根。勞斯判據(jù)特殊情況例如:[處理辦法]：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，對此輔助方程式對s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全零的行。大小相等，位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到。輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的。5/17/202314[例]：168168130380從第一列都大于零可見，好象系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意此時還要計算大小相等位置徑向相反的根再來判穩(wěn)。由輔助方程求得：勞斯判據(jù)特殊情況輔助方程為：，求導(dǎo)得：，或，用1，3，0代替全零行即可。此時系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。控制工程上認為是不穩(wěn)定的。5/17/202315（二）、胡爾維茨判據(jù)胡爾維茨判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：，且由特征方程系數(shù)構(gòu)成的胡爾維茨行列式的主子行列式全部為正。胡爾維茨行列式的構(gòu)造：主對角線上的各項為特征方程的第二項系數(shù)至最后一項系數(shù)，在主對角線以下各行中各項系數(shù)下標(biāo)逐次增加，在主對角線以上各行中各項系數(shù)下標(biāo)逐次減小。當(dāng)下標(biāo)大于n或小于0時，行列式中的項取0。胡爾維茨行列式：5/17/202316胡爾維茨判據(jù)以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù)：胡爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要條件是：5/17/202317胡爾維茨判據(jù)的另一種形式系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（Lienard-Chipard定理）：若或，則系統(tǒng)穩(wěn)定。胡爾維茨判據(jù)的另一種形式：式中，為胡爾維茨主子行列式。采用這種形式的判據(jù)可減少一半的計算工作量。5/17/202318（三）勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用

判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例3-4]系統(tǒng)的特征方程為：，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：排列勞斯陣如下：因為，，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個極點。5/17/202319[例3-5]：系統(tǒng)的特征方程為：試用胡爾維茨定理判穩(wěn)。[解]：系統(tǒng)的特征方程為：列胡爾維茨行列式如下：所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意：由于所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計算 這樣可以減小一半的計算量。5/17/202320[例3-6]系統(tǒng)的特征方程為：該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個極點并畫出極點分布圖。[解]雕：勞斯削陣如下行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得：其導(dǎo)數(shù)為：將4,48或1,12代替行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下：

因為行全為零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：

由于有特征根為共軛虛數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定5/4杰/20穴2321設(shè)剩余的一個根為-p。則：，整理得：比較系數(shù)得：-p=-2極點途分布擋如下標(biāo)：注意鞏：勞斯判塊據(jù)實際農(nóng)上只能稼判斷代眉數(shù)方程撞的根是割在s平面左棵半閉平掉面還是搜在右半鵲開平面犬。對于忌虛軸上嬌的根要儀用輔助防方程求虜出。若代數(shù)蓄方程有倒對稱于虛虛軸的板實根或防共軛復(fù)應(yīng)根，則祥一定在唇勞斯表偵的第一嬸列有變涂號，并欠可由輔彼助方程斷求出5/襖4/艇20誓2322分析系益統(tǒng)參數(shù)刮變化對較穩(wěn)定性烘的影響利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個別參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù)。[例3嫁-7]驗已知系倉統(tǒng)的結(jié)絞構(gòu)圖，下試確定李系統(tǒng)的撇臨界放被大系數(shù)積。[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：5/走4/患20蜓2323勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數(shù)確定系功統(tǒng)的相彩對穩(wěn)定舞性（穩(wěn)或定裕度天）利用需勞斯牙和胡閥爾維鋪茨穩(wěn)罰定性做判據(jù)丘確定察的是叨系統(tǒng)悅穩(wěn)定科或不彎穩(wěn)定閉，即擇絕對退穩(wěn)定呆性。相在實杰際系嫌統(tǒng)中那，往世往需劫要知尚道系帥統(tǒng)離悅臨界徒穩(wěn)定捉有多辨少裕姜量，撇這就俗是相敵對穩(wěn)磚定性挖或穩(wěn)耐定裕養(yǎng)量問泊題。5/烏4/續(xù)20段2324利用實部最大的特征方程的根p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則，表示穩(wěn)定裕量為0。作的垂線，若系統(tǒng)的極點都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。一般說，越大，穩(wěn)定程度越高?？捎?代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。[例]系統(tǒng)特征為：，可知它是穩(wěn)定的。令則：行全為零，以它上面的行組成輔助方程，其解為特殊根。對輔助方程求導(dǎo)，用其系數(shù)代替行。輔助方程為：，其系數(shù)為1，0。其解為： ，有一對共軛虛根，所以系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度恰為1。5/訊4/蜘20撿2325[例3掃-7]績已知系雅統(tǒng)的結(jié)弄構(gòu)圖，懷為使系渡統(tǒng)特征簽方程的竭根的實總數(shù)部分鉗不大于金-1，蠅試確定k值的褲取值餅范圍芳。[解]救：閉環(huán)詞特征方恒程為：現(xiàn)以s=昨x-熊1代入上睜式，得勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，此時k的取值范圍為5/提4/智20緩2326討論相對穩(wěn)定性除了考慮極點離虛軸遠近外，還要考慮共軛極點的振蕩情況。對于共軛極點，其實部反映響應(yīng)的衰減快慢，虛部反映響應(yīng)的振蕩情況。對于極點，對應(yīng)的時域響應(yīng)為。所以，越小，衰減越慢，越大，振蕩越激烈。如下圖示意：可用共軛極點對負實軸的張角來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。當(dāng)時，表示極點在虛軸上，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。越小，穩(wěn)定性越高。相對穩(wěn)定性越好。5/4惹/20證2327三、刪結(jié)構(gòu)慢不穩(wěn)記定系染統(tǒng)及其改我進措施僅僅調(diào)野節(jié)參數(shù)臉無法穩(wěn)茄定的系擔(dān)統(tǒng)稱為幫結(jié)構(gòu)不見穩(wěn)定系唉統(tǒng)。結(jié)構(gòu)樹不穩(wěn)警定系灣統(tǒng)及樓其改忘進措財施-杠桿古和放羊大器滋的傳日遞函吊數(shù)執(zhí)行悄電機導(dǎo)的傳唇遞函層數(shù)進水蜘閥門蠟的傳搜遞函膛數(shù)控制對緣瑞象水箱廁的傳遞挖函數(shù)例：沒如圖橡所示仗的液瘦位控才制系眠統(tǒng)5/4尊/20去2328結(jié)構(gòu)成不穩(wěn)摟定系隸統(tǒng)及道其改示進措所施閉環(huán)傳各遞函數(shù)楊為：令：閉環(huán)特征方程為：展開為：方程系數(shù)：由于，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這也可從勞斯表看出。勞斯表：由于無濕論怎樣岔調(diào)節(jié)參堤數(shù)K和T都不能青使系統(tǒng)寫穩(wěn)定，偽所以是雄一個結(jié)衡構(gòu)不穩(wěn)棚定的系個統(tǒng)。欲使側(cè)系統(tǒng)巷穩(wěn)定腐，必元須改乖變原厘系統(tǒng)朋的結(jié)拆構(gòu)。5/膜4/管20兆2329結(jié)構(gòu)不破穩(wěn)定系感統(tǒng)及其浙改進措德施由圖勤可看禽出，規(guī)造成誕系統(tǒng)腥結(jié)構(gòu)戲不穩(wěn)掛定的寫原因委是前仿向通岔路中弄有兩峽個積付分環(huán)秩節(jié)串勉聯(lián)，狀而傳頑遞函激數(shù)的洲分子偷只有幟增益K。這樣，畝造成系獄統(tǒng)閉環(huán)頓特征方伴程缺項犯，即s一次照項系獄數(shù)為望零。因此，啞消除結(jié)謎構(gòu)不穩(wěn)遇定的措諒施可以柳有兩種夸，一是唉改變積益分性質(zhì)統(tǒng)；二是窗引入開前環(huán)零點揉，補上疏特征方演程中的互缺項。-5/4融/20纖2330結(jié)構(gòu)撤不穩(wěn)挺定系羊統(tǒng)及突其改舌進措誤施⑴改魂變積分