湖南省益陽(yáng)市濘湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，是一個(gè)直角三角形的三頂點(diǎn)，則到軸的距離為（

）.

.

.

.或參考答案：B2.計(jì)算sin240°的值為（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得所給式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故選：A．3.若集合則A∩B是

A．

B．

C．

D．參考答案：D4.設(shè)α、β都是銳角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，則cosβ等于()參考答案：A5.直線

與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是-----------------------------------------------（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.下列說(shuō)法正確的是（

）A．命題“若，則”的否命題是“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．函數(shù)的最小值為2D．若，則“”是“”的必要不充分條件參考答案：D對(duì)于選項(xiàng)A，命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，命題“，”的否定是“，”，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，不能利用基本不等式求最小值，因?yàn)槿〉鹊臈l件不成立.只能這樣：設(shè)所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以t=3時(shí)函數(shù)取最小值所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D,由得a>1或a<0，由于a>1或a<0是“”的必要不充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件，所以選項(xiàng)D正確.故選D.

7.命題“對(duì)任意的”的否定是（

）.A、不存在

B、存在C、存在

D、對(duì)任意的參考答案：C略8.已知集合，集合，則集合A∩B的子集個(gè)數(shù)為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：D【分析】因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知集合的交集有2個(gè)元素，可知其子集共有個(gè).【詳解】由題意得，直線與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，故的子集有4個(gè).【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，子集的概念，屬于中檔題.9.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”： 給出下列三個(gè)命題： ①若點(diǎn)C在線段AB上，則； ②在中，； ③在中，若，則． 其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C略10.已知三棱錐底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為2，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為

（）A． B． C． D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)i是虛數(shù)單位，則=．參考答案：﹣1﹣i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】由=進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì)算即可得答案．【解答】解：∵==﹣1﹣i，∴=﹣1﹣i．故答案為：﹣1﹣i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．12.在等差數(shù)列中，若，則=

.參考答案：7略13.不等式2x2-x-1>0的解集是

參考答案：略14.方程無(wú)實(shí)根,則雙曲線的離心率的取值范圍為.

參考答案：（1，）略15.現(xiàn)有如下四個(gè)命題：①若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A（﹣4，0）、B（4，0）連線PA、PB的斜率之積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分②設(shè)m，n∈R，常數(shù)a＞0，定義運(yùn)算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分③已知兩圓A：（x+1）2+y2=1、圓B：（x﹣1）2+y2=25，動(dòng)圓M與圓A外切、與圓B內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡是橢圓④已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），橢圓過(guò)A，B兩點(diǎn)且以C為其一個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡為雙曲線上述四個(gè)命題中真命題為．（請(qǐng)寫出其序號(hào)）參考答案：①②③【考點(diǎn)】曲線與方程．【分析】利用直譯法，求①選項(xiàng)中動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，進(jìn)而判斷表示的曲線；利用新定義運(yùn)算，利用直譯法求選項(xiàng)②中曲線的軌跡方程，進(jìn)而判斷軌跡圖形；利用圓與圓的位置關(guān)系，利用定義法判斷選項(xiàng)③中動(dòng)點(diǎn)的軌跡；利用橢圓定義，由定義法判斷④中動(dòng)點(diǎn)的軌跡即可．【解答】解：設(shè)P（x，y），因?yàn)橹本€PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直線PA、PB的斜率分別是k1=，k2=，∴，化簡(jiǎn)得9y2=4x2﹣64，即（x≠±4），∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分，①正確；∵m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，∴=2，設(shè)P（x，y），則y=2，即y2=4ax（x≥0，y≥0），即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分，②正確；由題意可知，動(dòng)圓M與定圓A相外切與定圓B相內(nèi)切∴MA=r+1，MB=5﹣r∴MA+MB=6＞AB=2∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，③正確；設(shè)此橢圓的另一焦點(diǎn)的坐標(biāo)D（x，y），∵橢圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，則CA+DA=CB+DB，∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，∴橢圓的另一焦點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線一支，④錯(cuò)誤故答案為：①②③．16.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是

▲

．參考答案：

17.若隨機(jī)變量，則.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)．（1）證明CD⊥AE；（2）證明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．參考答案：考點(diǎn)：二面角的平面角及求法．專題：計(jì)算題；證明題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得證CD⊥AE；（2）運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE；（3）過(guò)E點(diǎn)作EM⊥PD于M點(diǎn)，連結(jié)AM，由（2）知AE⊥平面PCD，則AM⊥PD，則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．通過(guò)解三角形AEM，即可得到所求值．解答：（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴CD⊥AE；（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，則△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中點(diǎn)∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：過(guò)E點(diǎn)作EM⊥PD于M點(diǎn)，連結(jié)AM，由（2）知AE⊥平面PCD，則AE⊥PD，則PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．設(shè)AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，則tan∠AME===．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定定理及運(yùn)用，考查空間二面角的求法，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．19.（本小題滿分10分）已知.（1）求的最小值及取最小值時(shí)的集合；（2）求在時(shí)的值域；（3）求在時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間.參考答案：（1）當(dāng)，；（2）；（3）.試題分析：先根據(jù)平方差公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式化簡(jiǎn)所給的函數(shù).（1）將看成整體，然后由正弦函數(shù)的最值可確定函數(shù)的最小值，并明確此時(shí)的值的集合；（2）先求出的范圍為，從而，然后可求出時(shí)，函數(shù)的值域；（3）將當(dāng)成整體，由正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間中解出的取值范圍，然后對(duì)附值，取滿足的區(qū)間即可.試題解析：化簡(jiǎn)

4分（1）當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)即，故此時(shí)的集合為

6分（2）當(dāng)時(shí)，所以，所以，從而即

9分（3）由解得當(dāng)時(shí)，，而，此時(shí)應(yīng)取當(dāng)時(shí)，，而，此時(shí)應(yīng)取故在的單調(diào)減區(qū)間為

14分.考點(diǎn)：1.三角恒等變換；2.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).20.（本小題滿分12分）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗

(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；ks5u（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式＝，＝－。參考答案：解：(1)如下圖

(2)=32.5+43+54+64.5=66.5==4.5，==3.5，=+++=86，故線性回歸方程為y=0.7x+0.35(3)根據(jù)回歸方程的預(yù)測(cè)，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.7100+0.35=70.35故耗能減少了90-70.35=19.65(噸)略21.（本題10分）設(shè)函數(shù)，（1）若，①判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；②如果恒成立，求的取值范圍；（2）若總存在使得當(dāng)時(shí)，恰有，求的取值范圍．參考答案：（1）①時(shí)，

任取，∵，∴，∴，；∴在上單調(diào)遞減．②，∵在上單調(diào)遞減．∴，∴．（2）∵定義域是：，∴

若，則，且在上遞增，∴，∴∴是是的兩個(gè)根，即為的兩個(gè)根，ks5u∴，解得：ks5u若，則，且在上遞減，∴，∴

相減得：，回代得：；綜上得：的取值范圍是ks5u

略22.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件（1）求目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值；（2）求目標(biāo)函數(shù)z=的最小值．