2017年一般高等學(xué)校招生全國一致考試（全國II）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的．（1）【2017年全國Ⅱ，理1，5分】3i（）1i（A）12i（B）12i（C）2i（D）2i【答案】D【剖析】3i3i1i42i2i，應(yīng)選D．1i1i1i2（2）【2017年全國Ⅱ，理2，5分】設(shè)會集A1,2,4，B24xm0．若AIB{1}，則B（）xx（A）1,3（B）1,0（C）1,3（D）1,5【答案】C【剖析】會集A1,2,4，{x|x24xm0}．若AIB1，則1A且1B，可得1-4m0，解得m3，B即有B{x|x24x30}{1,3}，應(yīng)選C．（3）【2017年全國Ⅱ，理3，5分】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有以下問題：“瞭望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）（A）1盞（B）3盞（C）5盞（D）9盞【答案】B【剖析】設(shè)這個塔頂層有a盞燈，∵寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，∴從塔頂層依次向下2為公比、a為首項的等比數(shù)列，又總合有燈381盞，∴381a1273，每層燈數(shù)是以1127a，解得a2則這個塔頂層有3盞燈，應(yīng)選B．（4）【2017年全國Ⅱ，理4，5分】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）（A）90（B）63（C）42（D）36【答案】B【剖析】由三視圖可得，直觀圖為一個完滿的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半，V3210132663，應(yīng)選B．22x3y30（5）【2017年全國Ⅱ，理5，5分】設(shè)x，y滿足拘束條件2x3y30，則z2xy的最小值y30是（）（A）15（B）9（C）1（D）9【答案】A2x3y30【剖析】x、y滿足拘束條件2x3y30的可行域如圖：z2xy經(jīng)過可行域的Ay30時，目標(biāo)函數(shù)獲取最小值，由y3解得A6,3，則z2xy的最2x3y30小值是：15，應(yīng)選A．（6）【2017年全國Ⅱ，理6，5分】安排3名志愿者完成4項工作，每人最少完成1項，每項工作由1人完成，則不同樣的安排方式共有（）（A）12種（B）18種（C）24種（D）36種1【答案】D【剖析】4項工作分成3組，可得：C426，安排3名志愿者完成4項工作，每人最少完成1項，每項工作由1人完成，可得：6A3336種，應(yīng)選D．（7）【2017年全國Ⅱ，理7，5分】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師咨詢成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位優(yōu)秀，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．依照以上信息，則（）（A）乙可以知道四人的成績（B）丁可以知道四人的成績（C）乙、丁可以知道對方的成績（D）乙、丁可以知道自己的成績【答案】D【剖析】四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，甲不知自己的成績→乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知道自己的成績）→乙看到了丙的成績，知自己的成績→丁看到甲、丁中也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績，應(yīng)選D．（8）【2017年全國Ⅱ，理8，5分】執(zhí)行右側(cè)的程序框圖，若是輸入的a1，則輸出的S()（A）2（B）3（C）4（D）5【答案】B【剖析】執(zhí)行程序框圖，有S0，k1，a1，代入循環(huán)，第一次滿足循環(huán)，S1，a1，k2；滿足條件，第二次滿足循環(huán)，S1，a1，k3；滿足條件，第三次滿足循環(huán)，S2，a1，k4；滿足條件，第四次滿足循環(huán)，S2，a1，k5；滿足條件，第五次滿足循環(huán)，S3，a1，k6；滿足條件，第六次滿足循環(huán)，S3，a1，k7；76不建立，退出循環(huán)輸出，S3，應(yīng)選B．（9【）2017年全國Ⅱ，理9，5分】若雙曲線C:x2y2221a0,b0x2422的一條漸近線被圓yab所截得的弦長為2，則C的離心率為（）（A）2（B）3（C）2（D）23【答案】A322【剖析】雙曲線xyx2242,0C:a2b21a0,b0的一條漸近線不如為：bxay0，圓2y的圓心，半徑為：2，雙曲線x2y21a0,b0的一條漸近線被圓x224所截得的弦長為2，可C:222yab222b得圓心到直線的距離為：22123，得：4c4a24，即e2，應(yīng)選A．a(chǎn)2b2c23，可得e（10）【2017年全國Ⅱ，理10，5分】已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120o，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）（A）3（B）15（C）103255（D）【答案】C3【剖析】以下列圖，設(shè)M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點，則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補角（因異面直線所成角為0,MN15，可知2AB1，22NP1BC12；作BC中點Q，則PQM為直角三角形；∵PQ1，MQ1AC，22AC2AB2BC22ABC中，由余弦定理得2ABBCcosABC41221117，∴AC7，∴MQ7MQP中，MPMQ2PQ211；在；在22222222511MN2NP2PM222210；又異面PMN中，由余弦定理得cosMNP522MHNP2522直線所成角的范圍是0,，∴AB1與BC1所成角的余弦值為10，應(yīng)選C．25（11）【2017年全國Ⅱ，理11，5分】若x2是函數(shù)f(x)2axx1`的極值點，則f(x)的極小值為（）(x1)e（A）1（B）2e3（C）5e3（D）1【答案】A【剖析】函數(shù)fxx2ax1ex1，得fx2xaex1x2ax1ex1，x2是f(x)(x2ax1)ex1`的極值點，得：4a32a0．得a1．可得fx2x1ex1x2x1ex1x2x2ex1，函數(shù)的極值點為：x2，x1，當(dāng)x2或x1時，fx0函數(shù)是增函數(shù)，x2,1時，函數(shù)是減函數(shù)，x1時，函數(shù)獲取極小值：f11211e111，應(yīng)選A．uuuruuuruuur（12）【2017年全國Ⅱ，理12，5分】已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PA(PBPC)的最小值是（）（A）2（B）3（C）4（D）123【答案】B【剖析】建立以下列圖的坐標(biāo)系，以BC中點為坐標(biāo)原點，則A0,3，B1,0，C1,0，設(shè)Px,yuuurx,3yuuur1x,yuuur1x,yuuuruuuruuur，則PA，PB，PC，則PAPBPC22x223y2y22x2y33∴當(dāng)x0，y3時，獲取最小值233，應(yīng)選B．24242二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分．（13）【2017年全國Ⅱ，理13，5分】一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX______．【答案】1.96【剖析】由題意可知，該事件滿足獨立重復(fù)試驗，是一個二項分布模型，其中，p0.02，n100，則DXnpqnp1p1001.96．（14）【2017年全國Ⅱ，理14，5分】函數(shù)fxsin2x3cosx3x0,的最大值是______．42【答案】1【剖析】fxsin2x3cosx31cos2x3cosx3，令cosxt且t0,1，424則ftt23t1t31，當(dāng)t3時，ftmax1，即fx的最大值為1．422（15）【2017年全國Ⅱ，理15，5分】等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a33，S4n110，則______．k1Sk【答案】2nn1【剖析】等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a33，S410，S42a2a310，可得a22，數(shù)列的首項為1，公差為1，Snnn112211，則n12111111L112，nn1k1Sk22334nn1Snnn132112n．n1n1（16）【2017年全國Ⅱ，理16，5分】已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，則FN_______．【答案】6【剖析】拋物線C：y28x的焦點F2,0，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，可知M的橫坐標(biāo)為：1，則M的縱坐標(biāo)為：22，F(xiàn)N2FM2221206．22三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題，每個試題考生都必定作答。第22、23題為選考題，考生依照要求作答．（一）必考題：共60分。（17）【2017年全國Ⅱ，理17，12分】ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知sin(AC)8sin2B．21）求cosB；（2）若ac6，ABC的面積為2，求b．解：（1）由題設(shè)及ABC得sinB8sin2B，故sinB（41cosB），2=15．上式兩邊平方，整理得17cos2B32cosB150，解得1（舍去），cosBcosB=17（2）由cosB=15得sinB8，故SABC1acsinB4ac，又SABC=2，則ac17，由余弦定理及ac6得171721717152b2a2c22accosB(ac)22ac(1cosB)362(1)4，因此b2．21718）【2017年全國Ⅱ，理18，12分】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量比較，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖以下：1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；2）填寫下面列聯(lián)表，并依照列聯(lián)表判斷可否有99%的掌握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3）依照箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）P（??2≥??）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)解：（1）記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”.由題意知P(A)P(BC)P(B)P(C)，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為：(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，故P(B)的估計值為0.62．新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為0.0100.008)50.66，故P(C)的估計值為0.66，因此，事件A的概率估計值為0.620.660.4092．（2）依照箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法62384新養(yǎng)殖法3466K2200(62663438)215.705，由于，故有99%的掌握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．10010096104（3）由于新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為(0.0040.0200.044)50.340.5，箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為(0.0040.0200.0440.068)50.680.5，故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為500.50.3452.35(kg)．0.068（19）【2017年全國Ⅱ，理19，12分】如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD，ABBC1AD,BADABC90o,E是PD的中點．（1）證明：直線CE//平面PAB；2o，求二面角MABD的（2）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45余弦值．解：（）取PA的中點F，連接EF,BF，由于E是PD的中點，因此EF//AD，EF1AD，12由BADABC90o，得BC//AD，又BC1AD，因此EF//BC，2四邊形BCEF是平行四邊形，CE//BF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE//平面PAB．（2）由已知得BAuuuruuurAD，以A為坐標(biāo)原點，AB的方向為x軸正方向，|AB|為單位長，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3)，uuur(1,0,uuur(1,0,0)，設(shè)M(x,y,z)(0xuuuur(x1,y,z)，PC3),AB1)，則BMuuuur(x,y1,z3)，由于BM與底面ABCD所成的角為45o，而n(0,0,1)是底PM面ABCD的法向量，因此|cosuuuur|sin45o,|z|2BM,ny2z2，(x1)22即(x1)2y2z20uuuuruuur,y1,z33①又M在棱PC上，設(shè)PMPC，則x②x12,x12,222,1,uuuur2,1,6)由①，②解得y1,（舍去），y1,因此M(16)，從而AM(1662222zz22uuuurg0,(22)x02y06z0)0,設(shè)m(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量，則mAM即uuurx0,g0mAB0,mn1010因此可取m(0,6,2)，于是cosm,ng，因此二面角MABD的余弦值為．|m||n|552（20）【2017年全國Ⅱ，理20，12分】設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：xy21上，過M做x軸的垂線，uuuruuuur2垂足為N，點P滿足NP2NM．（1）求點P的軌跡方程；uuuruuur（2）設(shè)點Q在直線x31證明：過點且垂直于的直線過的左焦點．上，且OPPQPOQlCF.uuur(xuuuuruuuruuuurx0x,y02y，解：（1）設(shè)P(x,y)，M(x0,y0)，則N(x0,0),NPx0,y),NM(0,y0)，由NP2NM，得：2由于M(x0,y0)在C上，因此x2y21，因此點P的軌跡方程為x2y22．22uuuruuuruuuruuuruuur（2）由題意知F(((1m,33m(m,n)，1,0)，設(shè)Q(3,t),P(m,n)，則OQ3,t),PFn),OQgPFtn，OP5uuuruuuruuur，得3m2tnn22n2PQ(3m,tn)，由OQPQ1uuuruuuruuuruuurOQ，因此OQgPF0，即OQPF.又過點P存在獨素來線垂直于因此過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．（21）【2017年全國Ⅱ，理21，12分】已知函數(shù)fx2axxlnx，且fx0．a(chǎn)x（1）求a；（2）證明：fx存在唯一的極大值點x0，且e2fx022．解：（1）f(x)的定義域為(0,)，設(shè)g(x)axalnx，則f(x)xg(x),f(x)0等價于

2，故33mtn0g(x)0，由于g(1)0,g(x)0，故g(1)0，而g(x)a1,g(1)a1，得a1，若a1，則g(x)11，xx當(dāng)0x1時，g(x)0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1時，g(x)0,g(x)單調(diào)遞加因此x1是g(x)的極小值點，故g(x)g(1)0，綜上，a1．（2）由（1）知，f(x)x2xxlnx,f(x)2x2lnx，設(shè)h(x)2x2lnx，則h(x)21，1111x當(dāng)時，h(x)0；當(dāng)時，h(x)0因此h(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞加2212112又h(e2)0,h()0,h(1)0，因此h(x)在(0,)有唯一零點x0，在[,)有唯一零點1，且當(dāng)x(0,x0)222時，h(x)0；當(dāng)x0,1)時，h(x)0；當(dāng)x(1,)時，h(x)由于f(x)h(x)，因此x0是f(x)(x0.x的唯一極大值點.由f(x0)0得lnx02(x01)，故f(x0)x0(1x0).由x01(0,