2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）理科數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。已知集合，則（）

A． B．

C． D．A，

∴，，選A如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）

A． B． C． D．B設(shè)正方形邊長為，則圓半徑為則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為則此點取自黑色部分的概率為

故選B設(shè)有下面四個命題（）

：若復(fù)數(shù)滿足，則；

：若復(fù)數(shù)滿足，則；

：若復(fù)數(shù)滿足，則；

：若復(fù)數(shù)，則．

A． B． C． D．B設(shè)，則，得到，所以.故正確；

若，滿足，而，不滿足，故不正確；

若，，則，滿足，而它們實部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故不正確；

實數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故正確；記為等差數(shù)列的前項和，若，則的公差為（）

A．1 B．2 C．4 D．8C

聯(lián)立求得

得

選C函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）

A． B． C． D．D因為為奇函數(shù)，所以，

于是等價于|

又在單調(diào)遞減

，

首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導(dǎo)公式處理．

．橫坐標變換需將變成，

即

．

注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號外面，這時平移至，

根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．已知為拋物線：的交點，過作兩條互相垂直，，直線與交于、兩點，直線與交于，兩點，的最小值為（）

A． B． C． D．A

設(shè)傾斜角為．作垂直準線，垂直軸

易知

同理，

又與垂直，即的傾斜角為

而，即．

，當(dāng)取等號

即最小值為，故選A設(shè)，，為正數(shù)，且，則（）

A． B． C． D．D取對數(shù)：.

則

，故選D幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，在接下來的三項式，，，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（）

A． B． C． D．A設(shè)首項為第1組，接下來兩項為第2組，再接下來三項為第3組，以此類推．

設(shè)第組的項數(shù)為，則組的項數(shù)和為

由題，，令→且，即出現(xiàn)在第13組之后

第組的和為

組總共的和為

若要使前項和為2的整數(shù)冪，則項的和應(yīng)與互為相反數(shù)

即

→

則

故選A填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知向量，的夾角為，，，則________．

∴設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為_______．不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示

由得，

求的最小值，即求直線的縱截距的最大值

當(dāng)直線過圖中點時，縱截距最大由解得點坐標為，此時已知雙曲線，（，）的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為_______．如圖，，

∵，∴，∴又∵，∴，解得∴

如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，、、為元上的點，，，分別是一，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱錐．當(dāng)?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_______．由題，連接，交與點，由題，

，即的長度與的長度或成正比

設(shè)，則，

三棱錐的高

則

令，，

令，即，

則

則

體積最大值為

解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為．

（1）求；

（2）若，，求的周長．本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用.

（1）面積.且

由正弦定理得，由得.

（2）由（1）得，

又

，，

由余弦定理得①

由正弦定理得，

②

由①②得

，即周長為

（12分）

如圖，在四棱錐中，中，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．（1）證明：∵

∴，

又∵，∴

又∵，、平面

∴平面，又平面

∴平面平面

（2）取中點，中點，連接，

∵

∴四邊形為平行四邊形

∴

由（1）知，平面

∴平面，又、平面

∴，

又∵，∴

∴、、兩兩垂直

∴以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

設(shè)，∴、、、，

∴、、

設(shè)為平面的法向量

由，得

令，則，，可得平面的一個法向量

∵，∴

又知平面，平面

∴，又

∴平面

即是平面的一個法向量，

∴

由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為（12分）

為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，實驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查．

（=1\*ROMANI）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性：

（=2\*ROMANII）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．

用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到）．

附：若隨機變量服從正態(tài)分布,則．

，．（1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為，落在之外的概率為．

由題可知

（2）（i）尺寸落在之外的概率為，由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理．

（ii）

，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查．

因此剔除

剔除數(shù)據(jù)之后：．

（12分）

已知橢圓：，四點，，，中恰有三點在橢圓上．

（1）求的方程；

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點，若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點．（1）根據(jù)橢圓對稱性，必過、

又橫坐標為1，橢圓必不過，所以過三點

將代入橢圓方程得

，解得，

∴橢圓的方程為：．

（2）當(dāng)斜率不存在時，設(shè)

得，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足．

當(dāng)斜率存在時，設(shè)

聯(lián)立，整理得

，

則

又

，此時，存在使得成立．∴直線的方程為當(dāng)時，

所以過定點．（12分）

已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍．（1）由于

故

當(dāng)時，，．從而恒成立．

在上單調(diào)遞減

當(dāng)時，令，從而，得．單調(diào)減極小值單調(diào)增綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)減，故在上至多一個零點，不滿足條件．

當(dāng)時，．

令．

令，則．從而在上單調(diào)增，而．故當(dāng)時，．當(dāng)時．當(dāng)時

若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件．

若，則，故僅有一個實根，不滿足條件．

若，則，注意到．．

故在上有一個實根，而又．

且．

故在上有一個實根．

又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個實根．

又在及上均至少有一個實數(shù)根，故在上恰有兩個實根．

綜上，．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參考方程]

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）若，求與的交點坐標；

（2）若上的點到距離的最大值為，求．（1）時，直線的方程為．

曲線的標準方程是，

聯(lián)立方程，解得：或，

則與交點坐標是和

（2）直線一般式方程是．

設(shè)曲線上點．

則到距離，其中．

依題意得：，