湖南省益陽市沅江小波中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一焦點(diǎn)距離為(

)A．2

B．3

C．5

D．7參考答案：D2.有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法有（A）240種

（B）192種

（C）96種

（D）48種參考答案：B略3.不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C略4.已知F1、F2是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥．若△PF1F2的面積為9，則b=（）A．3 B．6 C．3 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意畫出圖形，利用⊥及△PF1F2的面積為9列式求得|PF1||PF2|=18．再由勾股定理及橢圓定義即可求得b．【解答】解：如圖，∵⊥，∴△PF1F2為直角三角形，又△PF1F2的面積為9，∴，得|PF1||PF2|=18．在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓定義及余弦定理在解焦點(diǎn)三角形問題中的應(yīng)用，是中檔題．5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)u在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在單調(diào)遞增.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6.直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．參考答案：AD7.函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略8.下圖是把二進(jìn)制的數(shù)化成十進(jìn)制數(shù)的一個(gè)程序框圖，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C9.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（

）A.34種 B.48種C.96種 D.144種參考答案：C試題分析：,故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線l1：為參數(shù)）與直線l2：為參數(shù)）垂直，則k=

參考答案：-112.過原點(diǎn)的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是

．參考答案：y=X

略13.若關(guān)于的不等式的解集中整數(shù)恰好有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

．

參考答案：14.設(shè)函數(shù)，存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的值是______.參考答案：【分析】將看作動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間距離的平方，將問題變?yōu)橹本€上的點(diǎn)到的最小距離的求解問題；利用導(dǎo)數(shù)求解出與平行的切線的切點(diǎn)，從而得到最小距離，根據(jù)能成立的不等式可確定和的位置，利用斜率關(guān)系求得結(jié)果.【詳解】由題意得：可將看作動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間距離的平方則動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，在直線圖象上，令，解得：，上的點(diǎn)到直線的距離最小

若存在，使得成立，則此時(shí)，為垂足

本題正確結(jié)果：15.如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，則a的值等于。參考答案：216.命題，命題，若的必要不充分條件，則

參考答案：略17.設(shè)點(diǎn)是橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某市居民2009～2013年貨幣收入x與購買商品支出Y的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：（單位：億元）年份20092010201120122013貨幣收入x4042464750購買商品支出Y3334374041（Ⅰ）畫出散點(diǎn)圖，判斷x與Y是否具有相關(guān)關(guān)系；（Ⅱ）已知=0.84，請(qǐng)寫出Y對(duì)x的回歸直線方程y=x+；并估計(jì)貨幣收入為52（億元）時(shí)，購買商品支出大致為多少億元？參考答案：【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】（I）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)作出散點(diǎn)圖，由圖可判斷x與Y的相關(guān)性；（II）求出樣本的中心點(diǎn)坐標(biāo)（，），代入回歸直線方程求出系數(shù)，可得回歸直線方程，再代入x=52，求預(yù)報(bào)變量y的值．【解答】解：（Ⅰ）由某市居民貨幣收入x、預(yù)報(bào)支出y，得點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），作散點(diǎn)圖如圖：從圖中可看出x與Y具有正相關(guān)關(guān)系；（Ⅱ）==45，==37，∵樣本中心點(diǎn)（45，37）在回歸直線上，且=0.84，∴37=0.84×45+∴=﹣0.8．∴回歸直線方程為y=0.84x﹣0.8，當(dāng)貨幣收入為52（億元）時(shí)，即x=52時(shí)，y=42.88，∴購買商品支出大致為43億元．19.已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是9和1

(1)

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)

若橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積為m，求當(dāng)m取最大值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,焦距為2c.

解得,b=3

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|·|PF2|()2＝25.當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5時(shí)，取得最大值，此時(shí)P點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，略20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線相交于不同的A、B兩點(diǎn)．（1）如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；（2）如果，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．參考答案：（1）-3（2）過定點(diǎn)(2,0)，證明過程詳見解析.【分析】(1)根據(jù)拋物線的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達(dá)出兩個(gè)向量的數(shù)量積．(2)設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】(1)由題意：拋物線焦點(diǎn)為設(shè)l：代入拋物線消去x得，，設(shè)，則，．(2)設(shè)l：代入拋物線，消去x得設(shè)，則，令，．直線l過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】從最近幾年命題來看，向量為每年必考考點(diǎn)，都是以選擇題呈現(xiàn)，從2006到現(xiàn)在幾乎各省都對(duì)向量的運(yùn)算進(jìn)行了考查，主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合最近幾年的高考題，向量同解析幾何，三角函數(shù)，立體幾何結(jié)合起來考的比較多．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．（1）寫出C的方程；（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)？參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的軌跡問題；直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】（1）由題意可知P點(diǎn)的軌跡為橢圓，并且得到，求出b后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后得到判別式大于0，然后利用根與系數(shù)關(guān)系得到直線和橢圓兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，寫出兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示，最后代入根與系數(shù)的關(guān)系后可求得k的值．【解答】解：（1）由條件知：P點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中，所以b2=a2﹣c2==1．故軌跡C的方程為：；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由?（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48＞0，可得：，再由，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，所以，．22.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠ABC=60°，N是BC的中點(diǎn)．將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)90°，得到梯形ABC′D′（如圖）．（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABC′；（Ⅱ）求證：C′N∥平面ADD′；（Ⅲ）求二面角A﹣C′N﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）由梯形的性質(zhì)和N是BC的中點(diǎn)可得四邊形ANCD是平行四邊形，得到AN=DC；利用等腰梯形可得AN=AB，又∠ABC=60°，得到△ABN是等邊三角形，于是AN=BN=NC，由出可得△ABC是直角三角形，即AC⊥AB，再利用面面垂直的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（Ⅱ）由已知可得：AD∥BC，AD′∥BC′，利用面面平行的判定定理即可得出；（Ⅲ）如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的夾角即可得到二面角的一余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：∵，N是BC的中點(diǎn)，∴AD=NC，又AD∥BC，∴四邊形ANCD是平行四邊形，∴AN=DC．又∵等腰梯形，∴AN=AB．又∠ABC=60°，∴△ABN是等邊三角形．∴，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵平面C′BA⊥平面ABC，∴AC⊥平面ABC′．（Ⅱ）證明：∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD′∩AD=A，BC∩BC′=B，∴平面ADD′∥平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′．（Ⅲ）∵AC⊥平面ABC′，同理AC′⊥平面ABC，建立如圖如示坐標(biāo)系設(shè)AB=1，則B（1，0，0），C，，，則，．設(shè)平面C′NC的法向量為，則，即，令z=1，則x=，y=1，得．∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN