淺析“數(shù)形結(jié)合”思想在高考解題中的應(yīng)用首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院祁權(quán)

論文主體內(nèi)容結(jié)構(gòu)第一部分：

關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”思想第二部分：“數(shù)形結(jié)合”思想在我國(guó)數(shù)學(xué)高考中的應(yīng)用第三部分：“數(shù)形結(jié)合”思想在全國(guó)各省市2008年高考題的體現(xiàn)及分類解析：第四部分運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想切實(shí)提高解題能力第一部分

關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”思想一、“數(shù)形結(jié)合”思想的歷史

二、什么是“數(shù)形結(jié)合”

三、“數(shù)形結(jié)合”的意義

一、“數(shù)形結(jié)合”思想的歷史“數(shù)形結(jié)合”由來(lái)已久，早在數(shù)學(xué)被抽象、分離為一門學(xué)科之前，人們?cè)谏钪?，度量長(zhǎng)度、面積和體積時(shí)，就已經(jīng)把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)了。在宋元時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關(guān)系描述成代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)上半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾通過(guò)坐標(biāo)系建立了數(shù)與形之間的聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。后來(lái)，幾何學(xué)中許多長(zhǎng)期不得解決的問(wèn)題，最終也是借助于代數(shù)方法得到圓滿解決。這些都說(shuō)明了“數(shù)形結(jié)合”思想有著悠久的歷史。二、什么是“數(shù)形結(jié)合”

恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。數(shù)形結(jié)合包括“以形助數(shù)”和以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。

三、“數(shù)形結(jié)合”的意義

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象大致可以分成兩類：一類是研究數(shù)量關(guān)系的；一類是研究空間形式的。數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本概念，全部數(shù)學(xué)內(nèi)容大體就是圍繞這兩個(gè)概念提煉、演變、發(fā)展而逐步展開的。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要意義，正如法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日在《數(shù)學(xué)概要》一書中所說(shuō)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！蔽覈?guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚也曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！庇纱丝梢娦魏蛿?shù)的相互依賴、相互制約的辯證關(guān)系第二部分：“數(shù)形結(jié)合”思想在我國(guó)數(shù)學(xué)高考中的應(yīng)用一、“數(shù)形結(jié)合”思想方法在高考內(nèi)容中的體現(xiàn)二、“數(shù)形結(jié)合”思想方法在高考中占有非常重要的地位。一、“數(shù)形結(jié)合”思想方法在高考內(nèi)容中的體現(xiàn)可以說(shuō)，用數(shù)形結(jié)合解題在高中數(shù)學(xué)各個(gè)板塊中都有應(yīng)用，像函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”。而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識(shí)平臺(tái)。二、“數(shù)形結(jié)合”思想方法在高考中占有非常重要的地位巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，可起到事半功倍的效果，在選擇、填空題的解答中更能體現(xiàn)其優(yōu)越性，近年在解答題中也加重了對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查．通過(guò)下表2008年各地高考數(shù)學(xué)理科試卷涉及數(shù)形結(jié)合的題目及分值來(lái)看，其重要程度不言而喻。2008年高考數(shù)學(xué)理科試卷涉及數(shù)形結(jié)合的題目及分值統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)

題號(hào)高考卷種集合函數(shù)不等式線性規(guī)劃解析幾何立體幾何總計(jì)分?jǐn)?shù)全國(guó)卷一2，810，1315，2111，16，1859全國(guó)卷二13，8514，2112，1954寧夏海南卷1，102411，14，2012，15，1864江蘇卷415，18，204，149，121675廣東卷16128，11，185，2065山東卷3，4，1710，11，226，2068第三部分：“數(shù)形結(jié)合”思想在全國(guó)各省市2008年高考題的體現(xiàn)及分類解析：（一）利用數(shù)形結(jié)合解決集合問(wèn)題（二）利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)（也包括三角函數(shù)）問(wèn)題（三）利用數(shù)形結(jié)合解決不等式和線性規(guī)劃問(wèn)題（四）利用數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問(wèn)題（五）利用數(shù)形結(jié)合解決立體幾何問(wèn)題（一）利用數(shù)形結(jié)合解決集合問(wèn)題

圖示法是集合的重要表示法之一，對(duì)一些比較抽象的集合問(wèn)題，在解題時(shí)若借助韋恩圖或用數(shù)軸、圖象等數(shù)形結(jié)合的思想方法，往往可以使問(wèn)題直觀化、形象化，從而靈活、直觀、簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解。1、利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算和集合的關(guān)系問(wèn)題．如：當(dāng)幾個(gè)集合的解集是不等式形式，要求它們的交集或并集時(shí)，經(jīng)常借助于數(shù)軸，把不等式的解集在數(shù)軸表示出來(lái)，通過(guò)數(shù)軸觀察它們的交集或并集，這樣比較直觀。2、利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題．一般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素．若利用韋恩圖法則能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問(wèn)題．例1.（2008北京卷,理1）例2.（2008四川卷,理1）統(tǒng)計(jì)：2008全國(guó)Ⅱ1、天津6、重慶11、上海2、陜西2、遼寧1、安徽2、浙江2、江西2山東1、江蘇4均為與例1例2相似利用數(shù)形結(jié)合解答的集合問(wèn)題（二）利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)（也包括三角函數(shù)）的問(wèn)題函數(shù)的圖象是函數(shù)關(guān)系的一種表示，它是從“形”的方面來(lái)刻畫函數(shù)的變化規(guī)律。函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，實(shí)質(zhì)是相同的，在解題時(shí)經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化，在解決函數(shù)問(wèn)題，尤其是較為繁瑣的（如分類討論、求參數(shù)的范圍等）問(wèn)題時(shí)要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題。如方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題。不等式f（x）＞g（x）的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象位于函數(shù)y=g（x）的圖象上方的那部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合。有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問(wèn)題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來(lái)處理。例3.（2008浙江卷,理5）例4.（2008山東卷，文12）例5.（2008福建卷，理12）例6.(2008山東卷、理3)統(tǒng)計(jì)：2008全國(guó)?2，6，8、全國(guó)Ⅱ3，8、北京8、天津3，7，9、重慶4，6，13、上海4，6，11、陜西7，11、四川3，5，11、遼寧12，13，16、浙江5，8，15、安徽9,11,13、福建4、江西3，6，12、湖南6，10，13，14、湖北4，13、山東4，5廣東12、寧夏海南1，7、均為函數(shù)與圖像相結(jié)合的典型題目。（三）利用數(shù)形結(jié)合解決不等式和線性規(guī)劃問(wèn)題處理不等式問(wèn)題時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，利用圖象的直觀性,通過(guò)對(duì)問(wèn)題的定性分析,可以無(wú)需進(jìn)行計(jì)算就可以求解，從圖形上找出解題的思路，是為數(shù)形結(jié)合在解不等式問(wèn)題中的應(yīng)用；線性規(guī)劃問(wèn)題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問(wèn)題。從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例7．（2008江西卷,理14）例8．（2008年浙江,理17）統(tǒng)計(jì)：2008全國(guó)?9、全國(guó)Ⅱ4、北京2，13、天津8，16、上海1，8江西9，14、山東16、寧夏海南6、江蘇11全國(guó)?13、全國(guó)Ⅱ5、北京5天津2、陜西10、安徽15、浙江17福建8、湖南3、廣東4、山東12（四）利用數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問(wèn)題圓錐曲線及其解析式是高中階段的重要知識(shí)，數(shù)形結(jié)合方法在圓錐曲線中的應(yīng)用是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問(wèn)題，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合方法是圓錐曲線解題中一種十分重要的思維策略。例9.（2008海南卷，理11）例10（2008廣東卷，理18）統(tǒng)計(jì)：2008全國(guó)?10，14，15，21全國(guó)Ⅱ9，11，15、21北京4，7天津5，13、重慶3，7，8，15陜西5，8、四川4，12，14遼寧10、安徽8、浙江7，11，12福建11，14、江西15、湖南8，12湖北9、廣東11、山東10，11寧夏海南11，14、江蘇9，12均為有關(guān)利用數(shù)形結(jié)合解答解析幾何的典型題目

（五焰）利闖用數(shù)鳳形結(jié)遠(yuǎn)合解慢決立葵體幾從何問(wèn)糾題引進(jìn)富向量干的方削法后缸，立覺(jué)體幾脖何中油用坐蠢標(biāo)的輸方法鄭將幾薪何中消的點(diǎn)別、線逢、面繪的性萄質(zhì)及栽其相籍互關(guān)廊系進(jìn)喂行研勾究，丑可將雪抽象蹤蝶的幾舅何問(wèn)真題轉(zhuǎn)綱化純畏粹的檔代數(shù)謊運(yùn)算爭(zhēng)。從南而大田大簡(jiǎn)犧化解包題。例11（20臨08年安焦徽卷曉，理18）20靈08山東嗓卷(2鄰0)和20化08江蘇采卷（16）和測(cè)（22）為粥新課毫標(biāo)卷朱靈活舉應(yīng)用未向量甚法解憂立體探幾何撒題的勸代表迅。第四訓(xùn)部分研運(yùn)用兇“數(shù)升形結(jié)燥合”秩思想懲切實(shí)糞提高父解題蹤蝶能力通過(guò)滔以上栽高考退題的犧解答革我們失可以線很清劉楚地宏看到殘如果端能給暫數(shù)學(xué)坊命題淺以直罰觀圖獻(xiàn)像的扎描述鄙，揭代示出閱命題街的幾鞭何特旁征，趟就能徹變抽岡象為冶形象詞，就窄能形皂成概哭念的無(wú)相互繡轉(zhuǎn)化曲，就當(dāng)能使魚抽象級(jí)思維封與形云象思膚維在拘解題徑過(guò)程近中交敵互運(yùn)禿用，這也就易是說(shuō)錄數(shù)形捧結(jié)合帝思想惕的“餃數(shù)”追與“保形”賴結(jié)合纏，相賺互滲蚊透，壟把代怪?jǐn)?shù)式鋪的精存確刻將畫與犬幾何楚圖形摘的直皮觀描北述相你結(jié)合印，使悄代數(shù)樣問(wèn)題緩、幾睜何問(wèn)擁題相趙互轉(zhuǎn)脖化，切使抽菌象思鞠維和桑形象幕思維債有機(jī)貞結(jié)合怨；從仗而提疤高解決題速這度與求質(zhì)量耍。那如捕何準(zhǔn)業(yè)確地嘗運(yùn)用預(yù)數(shù)形土結(jié)合烏思想靠進(jìn)行勺思考詠解答箱數(shù)學(xué)有命題宅呢？應(yīng)用細(xì)數(shù)形通結(jié)合泡思想途，就怎是要頃充分倍考查遵數(shù)學(xué)膜問(wèn)題筍的條匆件和極結(jié)論哲之間灣的內(nèi)漢在聯(lián)肚系，檢既分貢析其掉代數(shù)樸意義應(yīng)又揭敗示其憐幾何衣意義友，將堤數(shù)量播關(guān)系齡和空佩間形帳式巧項(xiàng)妙結(jié)宵合，默來(lái)尋杠找解閃題思銅路，落使問(wèn)款題得末到解應(yīng)決。浴應(yīng)用構(gòu)數(shù)形債結(jié)合恨解題蛛時(shí)要撫注意莖以下均兩點(diǎn)卡：其一壩，注賀意數(shù)章與形拖轉(zhuǎn)化服的等緞價(jià)性葛，將灶復(fù)雜調(diào)的問(wèn)橡題轉(zhuǎn)洽化成鉤簡(jiǎn)單拼、熟飽知的紛數(shù)學(xué)悲問(wèn)題盛，轉(zhuǎn)滴化前精后的續(xù)問(wèn)題鋒應(yīng)是差等價(jià)匪的；其二萌，注辮意利恰用“狡數(shù)”歇的精滋確性摧和“滑形”居的全慨面性阿，像參判斷腸公共艷點(diǎn)個(gè)酸數(shù)問(wèn)衡題，霞轉(zhuǎn)化跳成圖豆形后例要保慚證“紡數(shù)”秘的精贏確性忠，才柴能得什出正聲確結(jié)帳論。耐有些乖問(wèn)題刺所對(duì)著應(yīng)的參圖形夾不唯單一，凍要根級(jí)據(jù)不興同的榆情況虹畫出塊相應(yīng)雁的圖召形后福，再夫進(jìn)行拳討論注求解得。參考弟文獻(xiàn)汁：[1畝]鄭國(guó)落萊.《高中浮生數(shù)拘學(xué)辭鄭海》.上海束人民夜出版驢社20及01披-0績(jī)5-闖01[2爐]裘光懼明.《數(shù)學(xué)昨辭?！?第1卷)盤.山西開教育喘出版井社遇中國(guó)清科學(xué)來(lái)技術(shù)各出版掩社.派20摩02纖.8[3盈]邱海爹泉.《淺談鐘數(shù)形灣結(jié)合傅思想郊在高