.2第1課時直線與平面垂直的定義及判定定理學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解直線與平面垂直的定義．(重點)2．理解直線與平面垂直的判定定理，并會用其推斷直線與平面垂直．(難點)3．理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡潔的線面角問題．(易錯點)4．能利用直線與平面垂直的判定定理進行證明．(重點)1．通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理，提升直觀想象、規(guī)律推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次，如圖．假如兩次檢查時，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直．問題：(1)用“L〞形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？(2)上述問題說明白直線與平面垂直的條件是什么？學(xué)問點1直線與平面垂直的定義定義一般地，假如直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α相互垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線〞是否可以換成“全部直線〞“很多條直線〞？[提示]定義中的“任意一條直線〞與“全部直線〞是等效的，但是不行說成“很多條直線〞，由于一條直線與某平面內(nèi)很多條平行直線垂直，該直線與這個平面不肯定垂直．1．直線l與平面α內(nèi)的很多條直線垂直，那么()A．l和α相互平行B．l和α相互垂直C．l在平面α內(nèi)D．不能確定D[直線l和α相互平行或直線l和α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能，如下圖．①②③]學(xué)問點2直線與平面垂直的判定定理文字語言假如一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語言符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α作用推斷直線與平面垂直2．思索辨析(正確的畫“√〞，錯誤的畫“×〞)(1)假設(shè)直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與平面垂直． ()(2)假設(shè)直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，那么這條直線垂直于兩底邊所在的直線． ()(3)假設(shè)直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，那么這條直線垂直于兩腰所在的直線． ()[答案](1)×(2)√(3)×3．假設(shè)三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，那么直線OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC．]學(xué)問點3直線與平面所成的角1．相關(guān)概念：斜線一條直線l與一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線斜足斜線與平面的交點射影過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO2．定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．3．直線與平面所成的角θ的取值范圍：0°≤θ≤90°．4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________；AB1與平面ADD1A1AB1與平面DCC1D1所成的角等于________．45°45°0°[∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°．類型1直線與平面垂直的判定【例1】如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，且SA＝SB＝SC．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)假設(shè)AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC．[證明](1)由于SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，由SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC．(2)由于AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC．由(1)知SD⊥BD．又由于SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC．證線面垂直的方法(1)線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)；②判定定理最常用：要著力查找平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時作幫助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點，AN⊥PM，垂足為N．求證：AN⊥平面PBM．[證明]設(shè)圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM．又∵AB為⊙O的直徑，點M為圓周上一點，∴AM⊥BM．由于直線PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN．又AN⊥PM，∴AN與PM、BM兩條相交直線相互垂直．故AN⊥平面PBM．類型2直線與平面所成的角【例2】(對接教材P152例4)在正方體ABCD-A1B1C1D1中(1)求直線A1C與平面ABCD(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．1．假設(shè)圖中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角，那么需具備哪些條件？[提示]需要PA⊥α，A為垂足，OA為斜線PO的射影，這樣∠POA就是斜線PO與平面α所成的角．2．空間幾何體中，確定線面角的關(guān)鍵是什么？[提示]在空間幾何體中確定線面角時，過斜線上一點向平面作垂線，確定垂足位置是關(guān)鍵，垂足確定，那么射影確定，線面角確定．[解](1)∵直線A1A⊥平面ABCD∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD設(shè)A1A＝1，那么AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2)．(2)連接A1C1交B1D1于O在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1∴BB1⊥A1C1又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°．在本例正方體中，假設(shè)E為棱AB的中點，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．[解]連接AC交BD于點O，過E作EO1∥AC交BD于點O1，易證AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長為a．∵E是AB的中點，EO1∥AC，∴O1是BO的中點，∴EO1＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2)a,2)＝eq\f(\r(2)a,4)，B1O1＝eq\r(BO\o\al(2,1)＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,4)))eq\s\up12(2)＋a2)＝eq\f(3\r(2)a,4)，∴tan∠EB1O1＝eq\f(EO1,B1O1)＝eq\f(\f(\r(2)a,4),\f(3\r(2)a,4))＝eq\f(1,3)．求直線與平面所成角的步驟是什么？[提示](1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，留意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中量有關(guān)，才能便于計算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．[解]如下圖，取A′B′的中點D，連接C′D，BD．由于底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′．由于AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D．又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥側(cè)面ABB′A′，所以BD是斜線BC′在平面ABB′A′上的射影，∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成的角．等邊三角形A′B′C′的邊長為1，C′D＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△BB′C′中，BC′＝eq\r(B′B2＋B′C′2)＝eq\r(5)，故直線BC′與平面ABB′A′所成的角的正弦值為sin∠C′BD＝eq\f(C′D,BC′)＝eq\f(\r(15),10)．1．(多項選擇題)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()ABCDBD[對于A，由AB與CE所成角為45°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；對于C，由AB與CE所成角為60°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于D，連接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE．應(yīng)選BD．]2．如下圖，假設(shè)斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，那么AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°A[∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°．應(yīng)選A．]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1[證明]如圖，連