第十一節(jié)

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)若

f'(x)>0

,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù);

若

f'(x)<0

,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù);

若

f'(x)=0

,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

(2)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟①確定f(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)f'(x);③令

f'(x)>0

或

f'(x)<0

,解出相應(yīng)的x的取值范圍;

④當(dāng)

f'(x)>0

時(shí),f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù),

當(dāng)

f'(x)<0

時(shí),f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù).

2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn)若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f'(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)

f'(x)<0

,右側(cè)

f'(x)>0

,則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn)若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f'(b)=0;而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)

f'(x)>0

,右側(cè)

f'(x)<0

,則點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

(3)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的方法解方程f'(x)=0,當(dāng)f'(x0)=0時(shí):①如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極大值;②如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極小值.3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)最值的概念設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),函數(shù)f(x)在[a,b]上一切函數(shù)值中的最大(最小)值,叫做函數(shù)y=f(x)的最大(最小)值.(2)求函數(shù)最值的步驟設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最值,可分兩步進(jìn)行:(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.4.常用的數(shù)學(xué)方法與思想分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想.1.(2016·鄭州一中調(diào)研)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)的圖象如下圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的極大值點(diǎn)有

(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)1.B

【解析】對導(dǎo)函數(shù)的圖象研究發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值正負(fù)構(gòu)成是(+,-),(-,+),(+,-),所以可畫出原函數(shù)的大致圖象,數(shù)形結(jié)合,易知其在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有兩個(gè)極大值點(diǎn).【變式訓(xùn)練】

(2015·廣東高考)設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)f(x)=(1+x2)ex-a,f'(x)=2xex+(1+x2)ex=(2x+1+x2)ex=(1+x)2ex≥0,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).(2)由題意可得,f(0)=(1+02)e0-a=1-a<0,而f(a)=(1+a2)·ea-a>a·e0-a=0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,由于f(0)·f(a)<0,故f(x)在(0,a)內(nèi)存在零點(diǎn).結(jié)合(1)中所得f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,由此可得,f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn).(2趨01紋5·南通竭三模)設(shè)函頓數(shù)f(x)=x2+bln么(x+1).(1共)若x=1時(shí),函數(shù)f(x)取最喇小值,求實(shí)延數(shù)b的值;(2服)若函亦數(shù)f(x)在定背義域界上是腔單調(diào)昌函數(shù),求實(shí)湖數(shù)b的取正值范間圍.【解熱題思鳳路】①注意蜻定義肅域優(yōu)閉先;②利用櫻單調(diào)沈性確眉定最騙值對照應(yīng)的奮自變謙量的缺取值;③分單料調(diào)遞笛增與暫遞減薪討論.【參鞋考答咬案】(1耍)由x+1>0得x>在-1,∴f(x)的定嗽義域贊為(-1,+∞).對x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1滔),∴f(1麻)是函櫻數(shù)f(x)的最兆小值,故有f'(1蹄)=0,【變怎式訓(xùn)鋸練】(2董01勵(lì)5·張掖節(jié)診斷)已知壁函數(shù)f(x)=(ax2+x煮-1)陷ex,其中e是自貴然對副數(shù)的罵底數(shù),a∈R.(1饑)若曲濫線f(x)在點(diǎn)(1成,f(1此))處的刻切線浩的斜睬率為4e典,求切毒線方便程;(2佛)試求f(x)的單脆調(diào)區(qū)絲式間并殃求出壯當(dāng)a>0時(shí)f(x)的極補(bǔ)小值.【解全析】(1衛(wèi))∵f'(x)=(2ax疾+1)蒙ex+(ax2+x瘡-1)麗ex=[ax2+(2a+1)x]ex,∴f'(1列)=(3a+1)幕e=4e專,解得a=1.∴f(1灰)=e,∴切點(diǎn)閉坐標(biāo)蛋為(1你,e宰).∴切線港方程被為y-e=4e轟(x-1).即所稠求切芝線方父程為4ex-徹y-3e=0.與導(dǎo)脈數(shù)有將關(guān)的居不等樸式恒殼成立英與存惑在性暈兩大紡問題站的求擋解策抹略由不杏等式借恒成減立或引存在然性求浩參數(shù)潔范圍凍是每艙年高工考的卵命題接熱點(diǎn)或、難歌點(diǎn),綜合剩性強(qiáng),難度腫高,通常笑以兩膛種情元況體端現(xiàn):(塔1)不等著式恒最成立卵問題吩求參抄數(shù)范駁圍;(縫2)不等漆式存燦在性棵問題糊求參排數(shù)范汁圍.1.不等叛式恒購成立餃問題斃求參提數(shù)范爆圍典例1(2都01說5·北京降通州悄區(qū)?？輸M)已知諷函數(shù)f(x)=ae-x-x匙+1,a∈R.(1間)若對彎任意x∈(0弟,+∞),f(x)<0恒成損立,求a的取俗值范類圍;【參梅考答熟案】(1鍋)由f(x)<0可得ae-x-x楊+1<0,即a<(x-1)努ex.令g(x)=(x-1)梁ex,所以g'(x)=xex>0,所以g(x)在(0丹,+∞)上單恐調(diào)遞逢增.所以-1<g(x),所以a≤-1.2.不等以式存濟(jì)在性柳問題致求參灰數(shù)范賊圍典例2(2軍01串5·新課歌標(biāo)全上國卷Ⅰ)設(shè)函雁數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax侍+a,其中a<1,若存益在唯似一的承整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取助值范披圍是()1.(2傻01紛4·新課漁標(biāo)全枕國卷Ⅰ)已知盲函數(shù)f(x)=a索x3-3x2+1,若f(x)存在隔唯一慚的零暢點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取采值范么圍是()A.察(2及,+∞)旺B.旺(-∞,-2)C.倘(1丑,+∞)愉D.莫(-∞,-1)1.B【解析】當(dāng)a=0時(shí),顯然澤不滿猶足條背件,故a≠0篩;由f(x)=a尸x3-3x2+1可得f'(x)=