210a122222nnnn222(教版數(shù)中的常見思想與方法分討論210a122222nnnn222（教師）數(shù)學(xué)解題中的常見思想和方法之分類討論與特殊一般第一部分：分類討論明確分類討論的依據(jù)（注意審題，概念等）x，－1<，【例數(shù)f)＝，≥0

若f(1)＋f(a＝，a的有可能值為____________.解析f(1)＝＝，即f＝當(dāng)時(shí)fa)＝＝－，∴aπ1當(dāng)－a<0時(shí)f)＝a)＝1，∴a＝2π＋(k∈Z)．a(chǎn)＝＋(∈Z，取0，此2時(shí)＝∵－1<，∴a＝－【例】已知數(shù)列{}前和＝n

－p是數(shù)，則數(shù){}n

()A等差數(shù)列

B．比數(shù)列

C．等差數(shù)列或等比數(shù)列

．以上都不對(duì)解析∵＝－，∴a＝－1，＝－S＝p－pn1nnn1

－(n2)當(dāng)p≠1且≠0時(shí)，{}等數(shù)列；當(dāng)p時(shí)，{}等差數(shù)列；n當(dāng)p＝0時(shí)，a＝1＝0(n2)此{(lán)}不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列．1n【例知數(shù)列{}足＝為整＝n1n1則m所有可能的取值．

，當(dāng)為數(shù)，na＋，當(dāng)為數(shù)時(shí)n

若＝，6答案4,5,32解析根題意可知，a為數(shù)時(shí)為數(shù)∴a＝1為數(shù)可以判n＋定為數(shù)∴＝a＝又a為數(shù)時(shí)若是被3除1的數(shù)則為數(shù)或56n1＋1偶數(shù)，否則仍偶數(shù)．可為奇數(shù)也可能為偶數(shù)∴a＝，依次有＝，a＝，an4＝4即＝4.者a＝8＝，a＝32或＝3【例】向邊長(zhǎng)為米的正方形木框內(nèi)機(jī)投擲一粒綠豆，記綠豆落在點(diǎn)則Pπ點(diǎn)到A點(diǎn)距離大于1米同時(shí)∈，)的率為解析由題意，易知：點(diǎn)P在A點(diǎn)圓心1半徑的圓外；π若點(diǎn)P在DC為徑的圓上，∠＝，若點(diǎn)P在DCπ為直徑的圓內(nèi)，∠>，只有點(diǎn)在為徑的圓外時(shí)滿3π足∠為銳角．因此，點(diǎn)落入圖中的陰影部分，故所求概率1－.

1），≤0【例】設(shè)fx)＝x＋＋a＞x

若f(0)是f(x的最小值，的值范圍()A[，2]B．[－，0]C．[12]D．[02]＋2，≤0，(2)設(shè)函數(shù)fx)＝若ffa))＝，則a＝________＞18

2222222222222222212112113|12(教版數(shù)中的常見思想與方法分討論2222222222222222212112113|12解析

(1)∵x≤0時(shí)f(x)＝(－a)，f(0)是f(x)的最小值，a≥；當(dāng)x＞時(shí)，fx)＝x＋＋≥2＋且當(dāng)x＝1取“＝滿f(0)是f)的最小值＋af(0)x＝a，a－－2≤，解之，得－1≤，的值范圍是≤a≤選D.【例】四根長(zhǎng)都為的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的鐵條，使這根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是____________答案(0,4)解析根條件根為的鐵條與兩根長(zhǎng)為的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：①面是邊長(zhǎng)為正三角形，三條側(cè)棱長(zhǎng)為，a，圖(，此時(shí)可以取最大值，可知AD3＝

－，則有

－＋3即

＋3(62)，即有a62又，a62②構(gòu)成三棱錐的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為a各長(zhǎng)為2(2)a<40<a綜上分析可知∈．【例】正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為6和矩形，則它的體積________.答案或3.析分側(cè)面矩形長(zhǎng)、寬分別為6和或4和6兩種情況．【例】物線＝4(的點(diǎn)為F，為上的一點(diǎn)，為標(biāo)原點(diǎn)，為腰三角形，則這樣的點(diǎn)的數(shù)為A2B．

()C．

D．答案C解析當(dāng)PO＝時(shí)點(diǎn)P在段的垂線上，此時(shí)，點(diǎn)的置有兩個(gè)；當(dāng)|＝OF時(shí)的位置也有兩個(gè)對(duì)FO＝FP的形點(diǎn)P不在事實(shí)上(p,0)，若設(shè)Px，y，則FO＝，F(xiàn)P＝

x－

＋y，

x－p

＋y＝p，則有

x－pxy＝，∵y＝∴＋px＝0解得＝0或＝－，當(dāng)＝0時(shí)，不構(gòu)成三角形．當(dāng)x＝－p時(shí)，與點(diǎn)在拋物線上矛盾．所以符合要求的P點(diǎn)一共有個(gè)x【例】設(shè)、為圓＋＝1兩個(gè)焦點(diǎn)P為圓上一點(diǎn)，已知、、是個(gè)1942直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，＞1

PF求的．2解若∠F＝90°，則＝PF＋F|，又∵|＋212|PF|7解得＝，＝，＝若∠PF＝90°，122

2

＝6

FF|12

＝2528

1212111211||2c－22222c－a22222266(教版數(shù)中的常見思想1212111211||2c－22222c－a22222266則FF|2＝＋|2∴PF＋(6－)2＝又PF∴＝41|PF7，＝2.上知，＝或22【例10已知雙曲線的漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為5答案或43b9解析當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸時(shí)，＝，＝＝－＝，a16∴＝，e；416255當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在軸時(shí)，＝，∴＝＝－＝，＝，e.a99

＝【例已函數(shù)fx)＝2，求常數(shù)a，的值．

πx－3xcos＋＋b(a的義域是，值是－解(x)2(12)－3x＋a＝－22x＋sin2x2

＋2＋b＝－2sin

πx＋＋2＋b，πππ71π又∵0≤，≤x＋≤，∴≤x＋≤因，由f(x)值域?yàn)椋傻茫?＋＝，－2a×1＋2a＋＝－，

或

，×1＋＝1，－a×－＋2＋b＝－5解得或

【例12將紅、黃、綠、黑種同的顏色分別涂入圖中的五個(gè)區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同涂色方法？解法一

本題利用了分步原理求涂色問題．給出區(qū)域標(biāo)記號(hào)A，B，，，E如圖，則A區(qū)域有4種同的涂色方法，區(qū)有，區(qū)有種D區(qū)有2種，但區(qū)域的涂色依賴于與涂的顏色，如果B與D色相同有種色法，不相同，則只有一種．因此應(yīng)先分類后分步．①當(dāng)與同時(shí)，有4×3×2×1×2＝種)．②當(dāng)與不色時(shí)，有4×3×2×1×1＝種．故共有4824＝72(種)不同的涂色的方法．注：本例若按，BEDC序涂色，在最后給區(qū)域涂色時(shí)，就應(yīng)考慮AE與是同色這兩種情況．38

342(教版數(shù)中的常見思想與方法分討論342法二按種用種色分兩類，第一類用3種此時(shí)A與E，BD分同色，于是涂法種數(shù)為A＝24()第類用4種時(shí)與B與D有只有一組同色，4涂法種數(shù)為＝48(種)．4由分類加法計(jì)數(shù)原理知涂法總數(shù)為＋＝72(種)利用枚舉法（游碼法，字典法，屬性圖，圖表法等）保證不重不漏【例】位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品．已知位同學(xué)之間共進(jìn)行了13交換，則收到紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為

()A1或

B．1或．或3D2或答案D解析設(shè)6位學(xué)分別用，b，d，表．若任意兩位同學(xué)之間都進(jìn)行交換共進(jìn)行C＝次)交換，現(xiàn)共進(jìn)行了次交換，說明6有兩次交換沒有發(fā)生，此時(shí)可能有兩種情況：(1)由人構(gòu)成的2次換，如a和a－c之的交換沒有發(fā)生，則收到4份念品的有，兩．(2)由人成的次換，如a和c－之的交換沒有發(fā)生，則收到份念品的有，b，c，e四人．故選【例14】項(xiàng)專業(yè)技術(shù)認(rèn)證考試按科目和目B依進(jìn)行，只有當(dāng)科目成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目的試．已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績(jī)均合格方可獲得證書，現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目每考試成績(jī)合格的概率均為，科目每次考試成績(jī)合格的概率均為，設(shè)各次考試成績(jī)合格與否互不影響．(1)求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書概率．(2)在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不棄所有的考試機(jī)會(huì)，求他分別參加2次3次、4次考試的概率．解設(shè)科目A第次考試合格為件，科目補(bǔ)考合格為件A，科目B第1次考試合格為事件，科B補(bǔ)考合”為事件，A，A，B，B相互獨(dú)立(31221分)(1)設(shè)不需要補(bǔ)考就可獲得證書為件M，1則()＝PA)＝(APB＝×＝.111即他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率為.(6分)48

2222212kk－1k＋3(教版數(shù)中的常見思想與方法分討論2222212kk－1k＋3(2)設(shè)參加考試次數(shù)為2次、、次分別為事件E，C，.(E)＝(＋A)1112＝(A)PB＋P(A)P()＝×＋×＝，)112233PC)＝(AB＋A＋AB)112112＝(A)P(B)PB)＋P(A(B(B)＋)·P)P(B)121121211114＝×＋×＋××＝，分22329PD＝(AAB＋AB)1221＝(A)PA)P(B)P(B＋A)(AB)P(B)12122111＝×＋×＝33941即他分別參加2次、次、考試的概率分別為，，.(12)941(另解：P()＝－P(E∪)＝1－P(E)－P(C＝1－－＝)99防止“燈下黑”【例15若集合A＝{－＋＝，實(shí)a的的集合是()A{|0<aB{|0．{|0<a≤4}

D．{aa≤4}答案D解析由意知＝0時(shí)，滿足條件a時(shí)由得0<a，所以0a－40【例】若＝{x＋(p＋2)x＋1，x∈R}＝{，A＝，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_解析當(dāng)＝時(shí)，＝(＋－，－4<p<0.當(dāng)A時(shí)方程x＋(＋＋＝0有負(fù)根，p，

∴p綜上所述，p>【例17l＋－)y－3＝和l－1)x＋k＋3)y－＝0互相垂＝12答案1或－3析若＝1直線l＝ly＝滿兩直線垂直若≠1直線l121kl的率分別為＝，k＝，k＝1得k＝－3綜上＝1或＝－2121【例18＝1)λ與的角為鈍角的取值范圍．解析由a·b，即2－3<0解得λ<.∥b得58

nnnnn－2nnα424312312222245222ax2axnnnnn－2nnα424312312222245222ax2ax22＝－，λ＝－6.此時(shí)b＝－3aab，但夾角為，因此<，且λ－【例19若數(shù)列{a}前項(xiàng)S＝－，則它的通項(xiàng)公式a＝________.nn答案2×3

n

解析當(dāng)時(shí)a＝－＝3－－(3－－1)＝2×3－；當(dāng)n時(shí)n－

1＝＝，也滿足式子＝1

－，∴數(shù)列{}通項(xiàng)公式為＝2×3n

n【例20(2013四，理16)在等差數(shù)列{}，＋＝，且為a和a的比中項(xiàng)，n142求數(shù)列{}首、公差及前項(xiàng)．n由已知，可得2＋d＝8，＋3d＝＋)(＋d．11所以a＋d＝(d－3＝0得a＝4d或＝＝3數(shù)列{}首項(xiàng)為412公差為，或首項(xiàng)為1公差為3.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和＝4n或S＝.2π【例21(2014四，理16)已知函數(shù)f)＝sinx＋求f)的單調(diào)遞增區(qū)間；若α是二象限角f＝α2，α－α值．π解：(1)為函數(shù)＝x單調(diào)遞增區(qū)間為－＋2k，＋k，∈，πππ2ππk由－＋k≤3x＋≤＋k，k∈Z得－＋≤≤＋，k∈Z.π2π2π所以，函數(shù)fx)單調(diào)遞增區(qū)間為－＋，＋，∈Z.(2)由已知，得

ππα＝＋

α

α，ππ4ππ所以sincos＋αsin＝cos－αsinα－sinα)，即sin＋cosα＝α－sinα)αcos)．當(dāng)sin＋cosα＝0時(shí)，由α是二象限角，3π得α＝＋k，∈，時(shí)cos－sinα－當(dāng)sin＋cosα≠0時(shí)(cos－sinα)＝.由α是二象限角，得－α<0，此時(shí)cosα－α＝綜上所述，cos－α＝－或－利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)保持不重不漏（先讓能定下來的相對(duì)靜止）【例22已知函數(shù)f)＝x(>0)，求函數(shù)在[上最大值．解∵(x＝e(′()＝2e＋x·(－＝(＋2)x)>0

(－2ax＋x)>0，得0<x<.∴f()在(，，，∞上減函數(shù)，在0，上是增函數(shù)．①當(dāng)0<<1，a>2，f(x在[上減函數(shù)，∴()＝＝

a2②當(dāng)≤≤2即≤2時(shí)，(在，上增函數(shù)在，2上減函數(shù)，68

222ex222248222(教版數(shù)中的常見思想222ex222248222∴(x)＝f＝a.③當(dāng)>2即0<時(shí)()在[1,2]是增函數(shù)，fx)＝f(2)4e綜上所述，當(dāng)0<a<1時(shí)，()的最大值為

2a

；當(dāng)1a時(shí)f()的最大值為4

2

；當(dāng)a>2時(shí)，(x)的最大值為

a洞察本質(zhì)，減少討論【例23設(shè)a>0求f()在區(qū)間[a,a]上的最小值解(1)函數(shù)fx)的定義域?yàn)?∞)x)＝a

－－(>0)fx)＝a0<x<e；由fx，得故fx)在，上單調(diào)遞增，在，＋∞)單調(diào)遞減．(2)∵()在(0上單調(diào)遞增，在，＋∞)上調(diào)遞減，a∴()在[a,2]的最小[(x)]＝(a，(2)}∵f)－fa)＝，min∴當(dāng)0<a≤2時(shí)[fx)]＝a當(dāng)時(shí)[f(x＝min第二部分：特殊一般此處只講一下利用特殊和一般作檢查的方法sin－cossin2x【例24已知函數(shù)f)＝sin

ln

(1)求fx)定義域及最小正周期(2)fx的單調(diào)遞增區(qū)間．解由≠0得π(∈Z)，故fx)定義域?yàn)閧∈Rxπ，k∈Z}因?yàn)閒x)

sin－2x＝2cosxx－cosx)sinx－xsinππ＝sinx－(1＋cosx)＝2－－，所以f(x)最小正周期T＝＝ππ函數(shù)＝x單調(diào)遞增區(qū)間為k－，k＋(kZ)ππππ3π由k－－≤2π＋，xkk∈，得k－≤k＋，≠π(∈Z．π3π所以fx)單調(diào)遞增區(qū)間為k－，k和π，k＋(∈Z)．【例25如圖四錐P－中PC⊥底面ABCDABCD是角梯形，⊥，AB∥，AB＝2E是PB的點(diǎn)．求證：平面EAC⊥平面若二面角－AC的弦值為

，求直線與面成角的正弦值．(1)證明∵PC平ABCD，?平，∴⊥PC∵AB＝2ADCD＝1，∴＝＝，∴ACBC＝，ACBC，又∩PCC，∴⊥面，∵平EAC∴面⊥平面.(2)解

→→→如圖，以C原點(diǎn)DA、、分別為x軸、78

→→2→3*．．*52nnnnnn*(教版數(shù)中的常見思想與方法分討論→→2→3*．．*52nnnnnn*y軸軸向，建立空間直角坐