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（學(xué)生用書）

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第一章集合與函數(shù)概念

1.1集合

一、集合的概念

1.集合與元素

一般地，我們把統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母a,。,c,…表示.把組成的總體叫

做集合，用大寫拉丁字母A…表示.

說明：組成集合的元素可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式，也可以是人或物等.

2.元素與集合的關(guān)系

如果a是集合A的元素，就說。屬于集合A,記作；如果a不是集合A中的元素，就說。不

屬于集合A,記作.

注意：aeA與a走A取決于元素“是否是集合A中的元素.根據(jù)集合中元素的確定性可知，對任何元

素a與集合A,aeA與a任A這兩種情況中必有一種且只有一種成立.

3.集合中元素的特征

（1）：集合中的元素是否屬于這個(gè)集合是確定的，即任何對象都能明確它是或不是某個(gè)集

合的元素，兩者必居其一.這是判斷一組對象是否構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn).

（2）：給定集合的元素是互不相同的.即對于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不

同的.

（3）：集合中各元素間無先后排列的要求，沒有一定的順序關(guān)系.

4.集合相等

只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.

二、常用的數(shù)集及其記法

1.全體組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；

2.所有組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N+；

3.全體組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；

4.全體組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；

5.全體組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R.

易錯(cuò)點(diǎn)：N為非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集），包括0,而N*表示正整數(shù)集，不包括0,注意區(qū)分.

三、集合的表示方法

2

1.列舉法

把集合的元素___________出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

注意：（1）用列舉法表示的集合，集合中的元素之間用“，”隔開，另外，集合中的元素必須滿足確定

性、互異性、無序性.

（2）“{}”含有“所有”的含義，因此用{R}表示所有實(shí)數(shù)是錯(cuò)誤的，應(yīng)是R.

2.描述法

用集合所含元素的表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集

合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的

說明：用描述法表示集合應(yīng)寫清楚該集合中的代表元素，即代表元素是數(shù)、有序?qū)崝?shù)對、集合，還是其

他形式.

四、Venn圖，子集

1.Venn圖的概念

我們經(jīng)常用平面上的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.

說明：（1）表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線.

（2）Venn圖表示集合時(shí)，能夠直觀地表示集合間的關(guān)系，但集合元素的公共特征不明顯.

2.子集

（1）子集的概念

一般地，對于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有

包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作或讀作“A含于B”（或“B包含A”）.用

Venn圖表示如圖所示：

（2）子集的性質(zhì)

①任何一個(gè)集合是它自身的子集，即4cA.

②傳遞性，對于集合A,B,C,如果AqB,且那么AqC.

五、從子集的角度看集合的相等

如果集合4是集合B的（4=3）,且集合B是集合A的（B^A）,此時(shí),

3

集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B.用Venn圖表示A=5如

圖所示.

六、真子集

1.真子集的概念

如果集合4=8,但存在元素，我們稱集合A是集合B的真子集，記作A爭B（或3*4）.

如果集合A是集合B的真子集，在Venn圖中，就把表示A的區(qū)域畫在表示B的區(qū)域的內(nèi)部.如圖所示：

2.真子集的性質(zhì)

對于集合A,B,C,如果B峰C,那么

辨析：子集與真子集的區(qū)別：若AqB,則A專8或A=3；若A*8,則

七、空集

1.空集的概念

我們把___________任何元素的集合叫做空集，記作0,并規(guī)定：空集是任何集合的子集.

2.空集的性質(zhì)

（1）空集是任何集合的,即0=A；

（2）空集是任何非空集合的,即。目A.

注意：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往容

易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解.

八、并集

1.并集的概念

一般地，由__________屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與8的并集，記作:

4

(讀作“A并B")，即AU8={xkeA,或xeB}.用Venn圖表示如圖所示:

由上述圖形可知，無論集合A,8是何種關(guān)系，AUB恒有意義，圖中陰影部分表示并集.

注意：并集概念中的“或”指的是只需滿足其中一個(gè)條件即可，這與生活中的“或”字含義不同.生活

中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的.

2.并集的性質(zhì)

對于任意兩個(gè)集合A,B,根據(jù)并集的概念可得：

(1)Ac(AljB),5c(Alj5)；(2)A\JA=A；

(3)A\J0=A；(4)=

九、交集

1.交集的概念

一般地，由__________的所有元素組成的集合，稱為A與8的交集，記作：(讀作“A交

B"),即AnB={x|xeA,且xeB}.用Venn圖表示如圖所示：

(1)A與8相交(有公共元素)(2)A號8,則=4(3)A與8相離(=0)

注意：(1)交集概念中的“且”即“同時(shí)”的意思，兩個(gè)集合的交集中的元素必須同時(shí)是兩個(gè)集合的元素.

(2)定義中的“所有”是指集合A和集合8中全部的公共元素，不能是一部分公共元素.

2.交集的性質(zhì)

(1)(AQB)oS;(2)AC\A=A；

(3)AH0=0；(4)AC\B^B^\A.

十、全集與補(bǔ)集

1.全集的概念

一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U,

5

是相對于所研究問題而言的一個(gè)相對概念.

說明：“全集”是一個(gè)相對的概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問題來加以選擇的.例如：我

們常把實(shí)數(shù)集R看作全集，而當(dāng)我們在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題時(shí)，就把整數(shù)集Z看作全集.

2.補(bǔ)集的概念

對于一個(gè)集合A,由全集U中集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)

集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作品A,即心,A={x|xeU,且/任4}.用Venn圖表示如圖所示：

說明：(1)補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，同時(shí)也是集合之間的一種運(yùn)算.求集合4的補(bǔ)集的前提是A

是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的

兩個(gè)概念.(2)若xeU,則xeA或xe。4,二者必居其一.

3,全集與補(bǔ)集的性質(zhì)

設(shè)全集為U,集合4是全集U的一個(gè)子集，根據(jù)補(bǔ)集的定義可得：

⑴為。=0；(2)樂0=U；(3)瘠(t/A)=A；

(4)AU@A)=U；⑸AA(d(/A)=0.

例題講解

1.集合的概念

判斷指定的對象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對于任何一個(gè)對象，都

能確定它是否是給定集合中的元素.注意：構(gòu)成集合的元素除常見的數(shù)、式、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對象外，還可以

是其他任意確定的對象.

［例1］下列各組對象中不能構(gòu)成集合的是()

A.正三角形的全體B.所有的無理數(shù)

C.高一數(shù)學(xué)第一章的所有難題D.不等式2x+3>l的解

集合中元素的三個(gè)特性：

(1)確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對象都必須明確它是或不是某個(gè)集合的元素，兩者必居

其一.

(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個(gè)給定的集合，它的任意兩個(gè)元素都是不同的.

6

（3）無序性：集合中元素的排列無先后順序，任意調(diào)換集合中元素的位置，集合不變.

判斷指定的對象能不能組成集合，關(guān)鍵是看作為集合的元素是否具有確定性，也就是能否找到一個(gè)明確的

標(biāo)準(zhǔn).

2.元素與集合之間的關(guān)系

元素與集合之間有且僅有“屬于（W）”和“不屬于（史）”兩種關(guān)系，且兩者必居其一.判斷一個(gè)對象

是否為集合中的元素，關(guān)鍵是看這個(gè)對象是否具有集合中元素的特征.

若集合是用描述法表示的，則集合中的元素一定滿足集合中元素的共同特征，可據(jù)此列方程（組）或不等

式（組）求解參數(shù)；若aeA,且集合A是用列舉法表示的，則4一定等于集合A的其中一個(gè)元素，由此

可列方程（組）求解.

【例2】已知M={x|x=2a+l,aeZ},則有（）

A.B.OeA/C.2GMD.-leM

3.集合的表示方法

對于元素較少的集合宜采用列舉法表示，用列舉法表示集合時(shí)，要求元素不重復(fù)、不遺漏、不計(jì)次序；

對于元素較多的集合宜采用描述法表示.

但是對于有些元素較多的集合，如果其中的元素具有規(guī)律性，那么也可以用列舉法表示，常用省略號表

示多個(gè)元素.但要注意不要忽略集合中元素的代表形式.

【例3］選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海ǎ?/p>

（1）1和70組成的集合；

（2）大于1且小于70的自然數(shù)組成的集合.

（3）大于1且小于70的實(shí)數(shù)組成的集合.

（4）（4）平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)y=—x+2圖象上的所有點(diǎn)組成的集合.

4.集合相等

從集合相等的概念入手，尋找兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系，看一個(gè)集合中的元素與另一集合中的哪個(gè)

元素相等，一般需要分類討論，在求出參數(shù)值后，要注意檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性及是否使有關(guān)

的代數(shù)式有意義.

【例4】已知集合M中含有三個(gè)元素2,a,b,集合N中含有三個(gè)元素2a,2,且兩集合相等，求a,

》的值.

7

5.判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系

(1)從集合關(guān)系的定義入手，對兩個(gè)集合進(jìn)行分析，

首先，判斷一個(gè)集合A中的任意元素是否屬于另一集合8,若是，則AU8,否則A不是B的子集；

其次，判斷另一個(gè)集合B中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合A,若是，則BUA,否則8不是A的子集；若

既有AUB,又有BUA,則4=從

(2)確定集合是用列舉法還是描述法表示的，對于用列舉法表示的集合，可以直接比較它們的元素；

對于用描述法表示的集合，可以對元素性質(zhì)的表達(dá)式進(jìn)行比較，若表達(dá)式不統(tǒng)一，要先將表達(dá)式統(tǒng)一，

然后再進(jìn)行判斷.也可以利用數(shù)軸或它”〃圖進(jìn)行快速判斷.

【例5】指出下列各組中兩個(gè)集合的包含關(guān)系：

(1)A={1,2,4},B={x|x是8的約數(shù)};

(2)A-{x\x-3k,keN},B={x|x=6z,zeN}；

(3)A={x|x是平行四邊形},B={x|x是菱形},C={x|x是四邊形},O={x|x是正方形}.

6.確定集合的子集的個(gè)數(shù)

有限集子集的確定問題，求解關(guān)鍵有三點(diǎn)：

(1)確定所求集合；

(2)注意兩個(gè)特殊的子集：。和自身；

(3)依次按含有一個(gè)元素的子集，含有兩個(gè)元素的子集，含有三個(gè)元素的子集……寫出子集.就可避免

重復(fù)和遺漏現(xiàn)象的發(fā)生.

【例6】集合A={xwN|-l<x<4}的真子集個(gè)數(shù)為()

A.7B.8C.15D.16

8

【解析】方法一：A={0,1,2,3}中有4個(gè)元素，按真子集中所含元素的個(gè)數(shù)分類寫出真子集.

0是任何非空集合的真子集；

由一個(gè)元素構(gòu)成的真子集：{0卜{1}，{2}，{3}；

由兩個(gè)元素構(gòu)成的真子集：{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3}；

由三個(gè)元素構(gòu)成的真子集：{0,1,2},{0,2,3},{1,2,3},{0,1,3}.

故集合A={xeN|—l<x<4}的真子集個(gè)數(shù)為15.故選C.

方法二：4={0,1,2,3}中有4個(gè)元素，則真子集個(gè)數(shù)為24—1=15.故選C.

【名師點(diǎn)睛】如果有限非空集合A中有〃個(gè)元素，則：

(1)集合A的子集個(gè)數(shù)為2"；

(2)集合A的真子集個(gè)數(shù)為2"-1；

(3)集合A的非空子集個(gè)數(shù)為2"-1；

(4)集合A的非空真子集個(gè)數(shù)為2"-2.

7.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

(1)“AU8”是指所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素并在一起所構(gòu)成的集合.注意對概念中“所

有”的理解：不能認(rèn)為“AU3”是由A中的所有元素和2中的所有元素組成的集合，即簡單拼湊，要

滿足集合中元素的互異性，A與8的公共元素只能作并集中的一個(gè)元素.

(2)“ADB”是指屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合.注意對概念中“且”的理解：不

能僅認(rèn)為中的任意元素都是A和8的公共元素，它同時(shí)還表示集合A與8的公共元素都屬于AQ8,

而且并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素，當(dāng)集合A和集合B沒有公共元素時(shí)，AAB=0.

(3)電A={x|xwU,KxeA}.

全集與補(bǔ)集的性質(zhì)：①一個(gè)集合與其補(bǔ)集的并集是全集，即AU(2A)=U；②一個(gè)集合與其補(bǔ)集的交集

是空集，即An(jA)=0；③一個(gè)集合的補(bǔ)集的補(bǔ)集是其本身，即瘩("A)=A；④空集的補(bǔ)集是全集，即

⑤全集的補(bǔ)集是空集，即4々=0.⑥若A=則(瘠A)口(一)；反之，若(番A)u(°B),

則8=A；⑦若A=8,則瘠A=*；反之，若翔A=°B,則A=8；⑧德?摩根定律：并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)

9

集的交集，即帝(4U8)=(u4)n(?”8)；交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集，即帝(408)=(〃4)3?[,8).

(4)解決集合的混合運(yùn)算時(shí)，一般先運(yùn)算括號內(nèi)的部分，如求(6/1)08時(shí)，先求出為A,再求交集；求

g(AUB)時(shí)，先求出AUB,再求補(bǔ)集.

【例7】設(shè)集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},則珊=()

A.{458}B.{0,2,6)C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}

(2)已知集合屈={》52—2x=0},N={0,l,2},則MC|N=()

A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2)

(3)已知全集。=尺4="|%<0},3={幻工21},則集合g(AUB)=()

A.[x\x>()}B.1x|x<l}C.{%|()<%<1}D.(x|()<%<1)

基砒

1.下列選項(xiàng)正確的是()

A.0￡N"B.兀GRC.侔QD.Oez

2.在下列命題中，不正確的是()

A.{l}e{0,1,2}B.0c(0,1,2}

C.{0,1,2}c{0,1,2}D.{0,1,2}={2,0,1)

3.下列哪組對象不能構(gòu)成集合()

A.所有的平行四邊形B.高一年級所有高于170厘米的同學(xué)

C.數(shù)學(xué)必修一中的所有難題D.方程f-4=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解

4.已知集合A二{2,3},下列說法正確的是()

A.2a4B.2RAC.5GAD.3由4

5.集合{3,x,--加中，元應(yīng)滿足的條件是()

A.B."0C.且*：0且/3D.#-1或x^O或#3

1

6.已知集合A二{2,-1},B=[m-mf-1},則則實(shí)數(shù)zn=()

A.2B.-1C.2或一1D.4

7.集合A={x|—2姿2},B={0f2,4},則AG8=()

10

A.{0}B.{0,2}C.[0,2]D.{0,1,2}

2

8.已知集合A={L2,3},B={X\X-X-2<09XGZ},則（）如果已經(jīng)銜接了二次不等式就可以留，

沒有就有點(diǎn)超

A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

9.已知集合4={1,2},B={0,2,5},則AUB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

10.設(shè)全集U={3,1,層_2。+1},集合A={1,3},CM={0},則。的值為（）

A.0B.1C.-2D.-1

11.已知全集止{0,1,2,3,4},A={2,4},B={1,3,4},貝U（[淵）（）

A.0B.{0}C.{1,3}D.{0,1,3,4}

12.如果集合（/={1,2,3,4,5,6,7,8},A={2,4,8},B={1,3,4,7},那么（[（4）G8等于（）

A.{4}B.{1,3,4,5,7,8}C.{1,3,7}D.{2,8}

犍力

13.已知集合〃=口62|以區(qū)3},則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①2.5CM②OUM③{0}0例={0}④0GM⑤集合M是無限集.

A.0B.1C.2D.3.

14.設(shè)集合A={xWZ|x>-l},則（）

A.04AB.72C.母@AD.{垃}UA

15.設(shè)AU{-1,l}={0,-1,1},則滿足條件的集合A共有個(gè)（）.

A.1B.2C.3D.4

16.設(shè)4=*|2娑6},B=[x\2a<x<(i+3],若8UA,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[1,3]B.[3,+8)C.[1,+8)D.(1,3)

17.如圖所示的韋恩圖中，若4={衛(wèi)0q<2},B={x|x>l},則陰影部分表示的集合為()

A.{x|0<x<2}B.{x|l<x<2}C.302或企2}D.國0勺區(qū)1或x>2}

18.若全集0,1,2},P={xSZ|x2-x-2<0},則[UP=()如果已經(jīng)銜接了二次不等式就可以留，沒

有就有點(diǎn)超

11

A.{0,1}B.{0,-1)C.{-1,2}D.{-1,0,2)

P={x||<2'<2,XE則圖中陰影部分表示的集合為()

19.已知集合〃={劃,—1|<2,XGZ},R},

8

A.{1}B.{-1,0)C.{0,1}D.{-1,0,1}還未學(xué)函數(shù)

20.設(shè)全集U={xGNhW9},集合A={2,5,8,9),8={1,4,6,7,9},則圖中陰影部分表示的集合為()

A.{1,4,6}B.{1,4,7}C.{1,4,9}D.{1,4,6,7}

21.已知集合A是由0,加，蘇-3/M+2三個(gè)元素構(gòu)成的集合，且26A,則實(shí)數(shù)機(jī)為

22.由實(shí)數(shù)3川，I2,-t,戶所構(gòu)成的集合M中最多含有個(gè)元素.

23.設(shè)4={衛(wèi)14<4},B={x\x-a<0],若AUB,則a的取值范圍是.

24.已知集合4={0,1},B={-1,0,a+3},且AU8,則a等于.

25.已知{1}=A={1,2,3},則這樣的集合A有個(gè).

26.已知“WR,bWR,若{a,l}={a2,a+b,0),貝ij於)19+/019=.

a

27.已知集合4二{a,b,2},B={2,b1,2a},且A=8,則a=.

28.己知集合A={x|-2g爛5},B={x\m+1<x<2m-1}.若AU8=A,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

29.已知集合A=或心>4},B={x\2a<x<a^3],若5￡A,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

12

30.(新課標(biāo)H)已知集合人={1,3,5,7),8二{2,3,4,5},則AAB=()

A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7)

31.(天津)設(shè)集合4二{1,2,3,4},0,2,3),C={xGR|-l<x<2},則(AUB)AC=()

A.{-1,1}B.{0,1}C.{-b0,1}D.{2,3,4}

32.(新課標(biāo)I)已知集合A={兄/一42>0},則[叢二()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}C.{x\x<-i}U{x|x>2}D.{x|x<-l}U{x\x>2]

33.(新課標(biāo)I)己知集合A={0,2),B={-2,-1,0,1,2),則AG8=()

A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2)

34.(浙江)已知全集。=[1,2,3,4,5},A={\f3},貝比以=()

A.0B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

35.(北京)已知集合4={x||x|v2},B={-290,1,2),則4nB=()絕對值不等式？

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,b2}D.{-b0,1,2}

36.(新課標(biāo)HI)已知集合A={X(A1K)},B={0,1,2},則4nB=()

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

37.(新課標(biāo)II)已知集合4={(x,y)上+32s3,x￡Z,y^Z),則A中元素的個(gè)數(shù)為()

A.9B.8C.5D.4

38.(北京)已知集合4=但叩<2},B={-2,0,1,2},則4nB=()絕對值不等式？

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{—2,0,L2}D.{-1,0,1,2)

39.(天津)設(shè)全集為R,集合A={x[0<x<2},8={#21},則AH([RB)=()

A.{X|0<A<1}B.{x\0<x<1]C.{x|l<x<2}D.{^|0<x<2}

40.(江蘇)已知集合4={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么AA5=.

13

1.2函數(shù)及其表示

一、函數(shù)的概念

i.函數(shù)的概念

設(shè)A、B是,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力使對于集合4中的x,在集合B中都有

的數(shù)/*）和它對應(yīng)，那么就稱8為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=/（x）,xeA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集

合"（x）|xwA｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.

解讀函數(shù)概念

（1）“A,B是非空的數(shù)集”，一方面強(qiáng)調(diào)了A,B只能是數(shù)集，即A,B中的元素只能是實(shí)數(shù)；另一

方面指出了定義域、值域都不能是空集，也就是說定義域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的.

（2）理解函數(shù)的概念要注意函數(shù)的定義域是非空數(shù)集4,但函數(shù)的值域不一定是非空數(shù)集B,而是集

合B的子集.

（3）函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空數(shù)集A中的任意一個(gè)（任意性）

元素x,在非空數(shù)集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y與之對應(yīng).

（4）函數(shù)符號“y=f（x）”是數(shù)學(xué)中抽象符號之一，"y=〃x）”僅為y是x的函數(shù)的數(shù)學(xué)表示，不

表示y等于7與x的乘積，“X）也不一定是解析式，還可以是圖表或圖象.學(xué)科網(wǎng)

2.函數(shù)的構(gòu)成要素

由函數(shù)概念知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為,由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以確定

一個(gè)函數(shù)只需要兩個(gè)要素：定義域和對應(yīng)關(guān)系.

辨析與表示當(dāng)自變量x="時(shí)函數(shù)的值，是一個(gè)常量，而是自變量

x的函數(shù)，它是一個(gè)變量，*。）是f（x）的一個(gè)特殊值.

3.相等函數(shù)（同一函數(shù)）

對于兩個(gè)函數(shù)，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才相等，即是同一函數(shù).

名師提醒

（1）判斷兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同.定義域、對應(yīng)關(guān)系兩

者中只要有一個(gè)不相同就不是相同函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是相同函數(shù).

（2）函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.

（3）在化簡解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.

二、區(qū)間及其表示

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1.區(qū)間的概念

設(shè)a,6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<4我們規(guī)定：

（1）滿足不等式的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為；

（2）滿足不等式的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為；

（3）滿足不等式或的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為.

其中實(shí)數(shù)a,人都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).我們可以在數(shù)軸上表示上述區(qū)間，為了區(qū)別開區(qū)間、閉區(qū)間的端

點(diǎn)，我們用表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn).

定義名稱符號數(shù)軸表示

{x|a<x<Z?}閉區(qū)間[a,b]_J_____1

a6X

{x\a<x<b}開區(qū)間(a,b)-1____I

a6X

{x\a<x<b}半開半閉區(qū)間[a.b)—1_____

a6X

{x\a<x<b}半開半閉區(qū)間(a,b]-J___1__.

a；X

注意：區(qū)間符號里面的兩個(gè)字母（或數(shù)字）之間用“，”隔開.

2.無窮大的概念

實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為,“8”讀作“無窮大”，“一8”讀作“負(fù)無窮大”，“+00”

讀作“正無窮大”.把滿足的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為［a,包）,（a,+8）,

（-8,句

三、函數(shù)的三種表示方法

1.解析法用表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法叫做解析法.

2.圖象法用來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法叫做圖象法.

3.列表法通過列出來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法叫做列表法.

對三種表示法的說明

解析法：利用解析式表示函數(shù)的前提是變量間的對應(yīng)關(guān)系明確，且利用解析法表示函數(shù)時(shí)要注意注明其定

義域.

圖象法：圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是離散的點(diǎn).

列表法：采用列表法的前提是函數(shù)值對應(yīng)清楚，選取的自變量要有代表性.

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四、分段函數(shù)

1.分段函數(shù)的概念

在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量X的不同,有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).

知識提升

（1）分段函數(shù)每一段都有一個(gè)解析式，這些解析式組成的整體才是該分段函數(shù)的解析式.分段函數(shù)是一個(gè)

函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).

（2）分段函數(shù)的定義域：一個(gè)函數(shù)只有一個(gè)定義域，分段函數(shù)的定義域是所有自變量取值區(qū)間的并集，分

段函數(shù)的定義域只能寫成一個(gè)集合的形式，不能分開寫成幾個(gè)集合的形式.

（3）分段函數(shù)的值域：求分段函數(shù)的值域，應(yīng)先求出各段函數(shù)在對應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值的集合，

再求出它們的并集.

2.分段函數(shù)的圖象

分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成，作圖的關(guān)鍵是根據(jù)每段的定義區(qū)間和表達(dá)式在同一

坐標(biāo)系中作出其圖象，作圖時(shí)要注意每段曲線端點(diǎn)的,橫坐標(biāo)相同的地方不能有兩個(gè)或兩

個(gè)以上的點(diǎn).

名師提醒

作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其

圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.

五、映射

一般地，設(shè)A,B是兩個(gè),如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系力使對于集合A中的

元素x,在集合B中都有的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)為從集合A到集合B的一

個(gè)映射.

對映射的理解

（1）映射包括非空集合A,8以及對應(yīng)關(guān)系了,其中集合A,8可以是數(shù)集，可以是點(diǎn)集，也可以是其他任

何形式的集合.當(dāng)A,8為數(shù)集時(shí)，此時(shí)的映射就是函數(shù)，即函數(shù)是一種特殊的映射.

（2）集合A,8是有先后次序的，即A到B的映射與B到A的映射是不同的.

（3）集合A中每一個(gè)元素在集合8中必有唯一的元素和它對應(yīng)（有，且唯一），但允許B中元素沒有A

中元素與之對應(yīng).

（4）A中元素與B中元素對應(yīng)，可以是“一對一”、“多對一”，但不能是“一對多”.

知識提升

對于映射-我們通常把集合A中的元素叫原象，而把集合8中與A中元素相對應(yīng)的元

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素叫象，集合A叫原象集，象集為C,則C=象是對原象而言的，原象也是對象而言的，原象和象

不可以互換.設(shè)A,B是兩個(gè)集合，/:4-8是從集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映射下，對于

集合A中不同的元素，在集合8中有不同的象，而且8中的每一個(gè)元素都有原象，那么這個(gè)映射叫做A

到B上的——映射.

例題講解

1,函數(shù)概念

判斷所給對應(yīng)是否是函數(shù)，首先觀察兩個(gè)數(shù)集4,8是否非空；其次驗(yàn)證對應(yīng)關(guān)系下，集合A中數(shù)x的

任意性和集合8中數(shù)y的唯一性(即不能沒有數(shù)y對應(yīng)數(shù)羽也不能有多于一個(gè)的數(shù))，對應(yīng)數(shù)x).

【例1］給出下列兩個(gè)集合A3及A38的對應(yīng)

①A={-1,0,1},B={—1,0,1}J:A中的數(shù)的平方；

②A={0』},B={-1,0,1},f:A中的數(shù)的開方；

③A=Z,B=QJ:A中的數(shù)的倒數(shù)；

④A=R,B={正實(shí)數(shù)}:A中的數(shù)取絕對值；

⑤A={l,2,3,4},B={2,4,6,8,10},/：n=2/n,其中〃eA加€8.

其中是A到B的函數(shù)有個(gè).

2.函數(shù)相等

討論兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，要樹立“定義域優(yōu)先”的原則，若定義域相同，再化簡函數(shù)解析式，看對應(yīng)

關(guān)系是否相同.

注意：定義域、對應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一函數(shù).

【例2】下列各組函數(shù)中，/(%)與g(x)表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=x-l與g(x)=Jx2—2》+1B./(x)=x與g(x)=—

X

2A

c./(%)=彳與8(幻=螃D./(幻=土二不與8(乃=%+2

x-2

3,函數(shù)的定義域

(1)當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，求函數(shù)定

義域的一般方法有：

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①分式的分母不為0;

②偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)；

③y=尤°要求x00；

④當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義

的公共部分的集合；

⑤已知/(x)的定義域，求力gO)］的定義域，其實(shí)質(zhì)是由g(x)的取值范圍，求出x的取值范圍；

⑥已知力g(x)］的定義域，求/(x)的定義域，其實(shí)質(zhì)是由x的取值范圍，求g(x)的取值范圍；

⑦由實(shí)際問題建立的函數(shù)，還要符合實(shí)際問題的要求.

注意：定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集

符號“u”連接.

(2)已知函數(shù)的定義域，逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值或取值范圍，需運(yùn)用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的方

法，轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問題，根據(jù)方程或不等式的解集情況來確定參數(shù)的值或取值范圍.這種

思想方法即通過某種轉(zhuǎn)化過程，將一個(gè)難以解決的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，

從而獲解.

【例3】函數(shù)/(x)=4=5+一］一的定義域是()

x-3

A.［2,3)B.(3,+oo)c.［2,3)U(3,+oo)D.(2,3)U(3,+?O)

4,求函數(shù)值或函數(shù)的值域

(I)函數(shù)求值即用數(shù)值或字母代替表達(dá)式中的x,而計(jì)算出對應(yīng)的函數(shù)值的過程.注意所代入的數(shù)值或

字母應(yīng)滿足函數(shù)的定義域要求.

求函數(shù)值應(yīng)遵循的原則：

①已知的表達(dá)式求/(a)時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的X.

②求/［/(a)］的值應(yīng)遵循由里往外的原則?

③用來替換表達(dá)式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值.

(2)求函數(shù)的值域，應(yīng)根據(jù)各個(gè)式子的不同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇不同的方法：

①觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；

②配方法：此方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即通過配方把函數(shù)轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法.求

18

值域時(shí)一定要注意定義域的影響.如函數(shù)y=Y-2x+3的值域與函數(shù)y=x2—2x+3,xe{x|0Wx<3}

的值域是不同的；

③分離常數(shù)法:此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式,便于求值域.分

離常數(shù)的目的是為了減少“變量”，變換后x僅出現(xiàn)在分母上，這樣》對函數(shù)的影響就比較清晰了；(可

否增加例題，很抽象，轉(zhuǎn)化也是一個(gè)難點(diǎn)，可否增加例題)

④換元法：對于一些無理函數(shù)(如f(x)^ax±b±>!cx±d),通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后

利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域.

在利用換元法求解函數(shù)的值域時(shí)，一定要注意換元后新元的取值范圍，否則會產(chǎn)生錯(cuò)解.求新元的范圍，

要根據(jù)己知函數(shù)的定義域.

【例4】函數(shù)y=7TR的值域?yàn)?)

A.{x|x>-l}B.{x|x>0}C.{x|x<0}D.{x|x<-l}

【例5】函數(shù)y=Y—4x+3,xe[—1,1]的值域?yàn)?)

A.[-1,0]B.[0,8]C.[-1,8]D.[3,8]

5.函數(shù)解析式的求法

(1)已知函數(shù)的模型求函數(shù)解析式，常采用待定系數(shù)法，由題設(shè)條件求待定系數(shù).

(2)已知/(g(x))=h(x),求/(x),常用的有兩種方法：學(xué)科網(wǎng)

①換元法，即令Kg(x),解出x,代入九(x)中，得到一個(gè)含f的解析式，即為所求解析式；

②配湊法，即從/(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示〃(x),然后將解析式中

的g(X)用X代替即可.利用這兩種方法求解時(shí)一定要注意g(X)的取值范圍的限定.

(3)已知/'(x)與八g(x))滿足的關(guān)系式，要求/(x)時(shí)，可用g(x)代替兩邊所有的x,得到關(guān)

于/(X)與/(g(X))的方程組，消去/(g(x))解出/(X)即可?常見的有/(x)與fC-X),f

(x)與/(').可否加一個(gè)例題？

X

(4)所給函數(shù)方程含有兩個(gè)變量時(shí)，可對這兩個(gè)變量交替使用特殊值代入，或使這兩個(gè)變量相等代入,

再利用已知條件，可求出未知的函數(shù)，至于取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定.

【例6】已知/(、6+1)=工+2《，求/(x).

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6.函數(shù)圖象

(1)要判斷一個(gè)圖象是否為某個(gè)函數(shù)的圖象，其方法是：任作垂直于x軸的直線，若此直線與該圖象最

多有一個(gè)交點(diǎn)，則該圖象為在此定義域內(nèi)的函數(shù)圖象，否則不是.

(2)識別函數(shù)圖象的關(guān)鍵是明確函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)圖象的限制，再利用特殊點(diǎn)確定函數(shù)的圖象.若函

數(shù)是分段函數(shù)，需注意分段函數(shù)的圖象由幾部分構(gòu)成.

(3)函數(shù)圖象主要應(yīng)用于研究函數(shù)的性質(zhì)，如最值、值域等；也常用于研究方程的解、不等式的解集以

及圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題，應(yīng)用時(shí)注意將所給的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再通過畫函數(shù)的圖象，借助于圖

象的直觀性來處理.

【例7】函數(shù)/(x)=x+?的圖象是()

X

7.分段函數(shù)

(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法：先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式

求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)/(/(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)在分段函數(shù)的前提下，求某條件下自變量的值的方法：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義域的各段上，

然后相應(yīng)求出自變量的值，切記代入檢驗(yàn).

-2x,x>044

【例8】已知/(x)='則/?(—)+/()=__________.

_/(x+l),x<033

8.映射

判斷一個(gè)對應(yīng)是不是映射，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：

(1)對于A中的任意一個(gè)元素，在B中是否有元素與之對應(yīng);

(2)8中的對應(yīng)元素是不是唯一的.

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對于---映射力A—>8,應(yīng)滿足：

(1)A中每一個(gè)元素在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)；

(2)A中的不同元素對應(yīng)B中的元素也不同；

(3)B中每一個(gè)元素在A中都有唯一的元素與之對應(yīng).

【例9】給出下列兩個(gè)集合間的對應(yīng)：

(1)A=(你班的同學(xué)},8={體重},/：每個(gè)同學(xué)對應(yīng)自己的體重；

(2)〃={1,2,3,4},N={2,4,6,8},/：n=2m；

(3)X=R,Y={非負(fù)實(shí)數(shù)},/：)，=/.

其中是映射的有個(gè)，是函數(shù)的有個(gè).

9.求函數(shù)的解析式時(shí)忽略函數(shù)的定義域

【例10】已知等腰三角形的周長是20,底邊長y是一腰長x的函數(shù)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

基礎(chǔ)

1.函數(shù)/(尤)=?+’的定義域是()

X

A.{x\x>0]B.{x\x>0}C.{小HO}D.R

2.下列圖形中，不能表示以x為自變量的函數(shù)圖象的是()

3.下面哪個(gè)點(diǎn)不在函數(shù)y=-2r+3的