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作業(yè)P366利用極坐標計算二重積分其中D是由圓周及直線y=0，y=x所圍成的在象限內(nèi)的閉區(qū)域。在極坐標系中，2021/5/91[知識整理]（1）

直角坐標系下二重積分的計算I、x型區(qū)域（先y后x）II、y型區(qū)域（先x后y）2021/5/92（2）

極坐標系下二重積分的計算III、方法與步驟①繪出區(qū)域D的圖形：②

確定積分限：③計算積分：④利用奇偶性簡化運算。2021/5/93計算二重積分可利用區(qū)域D的對稱性和被積函

數(shù)的奇偶性簡化計算。對有

x

yD關于x、y軸對稱

f(x,y)是x、y的偶函數(shù)（奇函數(shù)）

y

x

注：2021/5/94例1求以xOy面上的圓域為底，圓柱面為側面，拋物面為頂?shù)那斨w的體積。并在極坐標系下求其二重積分值xyzO2解：如圖所示，所求曲頂柱體的體積為其中積分區(qū)域D可表示為2021/5/95由D的對稱性及被積函數(shù)關于x，y均為偶函數(shù)可知其中為D在第一象限部分，于是2021/5/96解法2：（極坐標系下解）在極坐標系中，閉區(qū)域D可表示為于是2021/5/97例2計算二重積分D是頂點分別為的三角形閉區(qū)域解：xyD2021/5/98續(xù)解2021/5/99例3計算二重積分其中解：xyD1D2-1-111如圖因此2021/5/910【相關練習】①②③D為圓域D為半圓域2021/5/911例4把下列二重積分化為二次積分（寫出兩種積分次序）積分區(qū)域為拋物線與直線及x軸所圍成的閉區(qū)域xyD解：解方程組得1所以2021/5/912例5化出積分區(qū)域，把積分表示為極坐標形式的二次積分rxyO解：如圖，在極坐標系中，所以aa-a2021/5/913【相關練習】①交換二次積分的次序②把積分化為極坐標形式2021/5/914例6【平均利潤問題】設公司銷售商品甲x個單位，商品乙y個單位的利潤是由下列函數(shù)式確定：現(xiàn)已知一周內(nèi)甲商品的銷售量在150～200之間變化，乙商品的銷售量在80～100之間變化，試求銷售這兩種商品一周的平均利潤。2021/5/915解：因x,y的變化范圍D:150≤x≤200,80≤y≤100,這個區(qū)域D的面積為這家公司銷售兩種

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