第五講全微分方程與積分因子三、積分因子法一、全微分方程與原函數(shù)二、全微分方程判定定理與不定積分法四、小結(jié)1

定義:即若例如全微分方程或恰當(dāng)方程是全微分方程，一、全微分方程與原函數(shù)的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，則稱(chēng)（1）為全微分方程或恰當(dāng)方程，稱(chēng)為（1）的一個(gè)原函數(shù)。是方程的一個(gè)原函數(shù)。2容易證明，如果是微分方程（1）的一個(gè)原函數(shù)，則（1）的通積分為其中C為任意常數(shù)。于是，求解全微分方程的關(guān)鍵在于求出它的一個(gè)原函數(shù)。例如3我們通過(guò)觀察尋找方程的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于一個(gè)一般的方程，怎樣判斷它是否是全微分方程呢？若是，又怎樣求原函數(shù)？4二、全微分方程判定定理與不定積分法定理：設(shè)函數(shù)M(x,y)、N(x,y)在xoy平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)可微，那么方程(1)是全微分方程的充要條件是在D內(nèi)恒成立演示證明。56一般地，若為全微分方程，則它的通積分為從而求得一個(gè)原函數(shù)7解是全微分方程,原方程的通解為例28解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例39定義:問(wèn)題:如何求方程的積分因子?3、積分因子法

前面我們討論了全微分方程的求解問(wèn)題，而對(duì)于給定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其中有些則可利用積分因子化為全微分方程。10我們用反推的辦法來(lái)求積分因子為了求出積分因子，必須求解上式，不容易。但對(duì)于某些特殊情況，上式可求解。（2）為全微分方程1112以上求積分因子的方法稱(chēng)為公式法。13思考與練習(xí)：試求一階線(xiàn)性方程和Bernoulli方程的積分因子例1:求解微分方程：例2:求解微分方程：14例3解則原方程化為可積組合法15原方程的通解為(公式法)觀察銅法:憑觀察湊微分得到常見(jiàn)郵的全逗微分識(shí)表達(dá)地式16受上竿述結(jié)識(shí)論的柔啟發(fā)駕通常躬我們執(zhí)經(jīng)常談可以眼選用阿的積翼分因蔽子有傻：這種白方法俊給我的們又拒提供民了一評(píng)種求蹄解微粱分方臣程的主方法--逃-可積菜（微匪）組心合法扯，請(qǐng)都看下挨面的兔例子賞：17解將方辨程左盾端重蝦新組扯合,有例4求微侍分方泡程原方弟程的巾通解貢為18解將方建程左榮端重鵲新組惜合,有原方孩程的店通解中為可積效組合麥法例5求微盤(pán)分方往程19解1整理揭得A常數(shù)咳變易滋法:B公式幻玉法:例6一題授多解瞎：20解2整理壘得A用公納式:B湊微犬分法:21C不定烤積分法:原方棚程的型通解靈為22作業(yè)勺：P3檔8震T隨1（1）（3）（5）,T2亞,原T5拓展格思維洽訓(xùn)練羅題：23若能浙從(1忘)解出y的一汗階導(dǎo)娃數(shù)，食那么押會(huì)得背到一抬個(gè)或扮幾個(gè)到顯式郊方程蠶，用霉前面某的辦略法求搏解。前面討論的方程都是可解出一階導(dǎo)數(shù)的微分方程，即顯式方程（）一階陽(yáng)隱式策微分測(cè)方程擴(kuò)是指第六鑒講啞一階填隱式耗方程棋的解喝法例1:試求解微分方程：24本節(jié)般主要擊介紹知三種施類(lèi)型永隱式摔微分古方程康的求怪解方廣法。（1）不眉含y（或x）的噴方程（2）可哨解出x的方不程（3）可圖解出y的方?jīng)_程若不噸能從(1枕)解出y的一紅階導(dǎo)污數(shù)，缺或者丟即使輕能解奇出，塔但很買(mǎi)難求鏡解，鵲則需殊要借很助于世其它屢辦法附進(jìn)行導(dǎo)討論芽。251、若方程（1）不含y，即26例12728例2：若方程（1）不含x，即則完全類(lèi)似求解。例3：例4：292、若為可從忘方程疫（1）解痕出x，即解法牛：這個(gè)孫方程定可化題為顯醋式形塵式，蒜用前昨面類(lèi)洲似的呼方法朵能求造出（1）的其解。30例531323、若窗可從草方程澆（1）解姨出y，即解法悲：333435例63637例7383940小笨結(jié)（1）可憲解出y的方園程（2）可灶解出x的方與程（3）不亡含x（或y）的方虛程**

借助于一些變量代換，可將隱式形式的方程化為顯式