線(xiàn)性規(guī)劃模型第一節(jié)線(xiàn)性規(guī)劃模型一、線(xiàn)性規(guī)劃及其數(shù)學(xué)模型1．線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題在生產(chǎn)管理和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常提出一類(lèi)問(wèn)題，既如何合理地利用有限的人力、物力、財(cái)力等資源，以便得到最好的經(jīng)濟(jì)效益。問(wèn)題１擬定生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題提出某公司生產(chǎn)炊事用具需要兩種資源—?jiǎng)趧?dòng)力和原材料，某公司計(jì)劃生產(chǎn)三種不同產(chǎn)品，生產(chǎn)管理部門(mén)提供的數(shù)據(jù)如下：ＡＢＣ勞動(dòng)力（小時(shí)／件）７３６原材料（千克／件）４４５利潤(rùn)（元／件）４２３每天可供應(yīng)原材料為２００千克，每天可使用的勞動(dòng)力為１５０小時(shí)，問(wèn)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能是公司總收益最大？模型建立設(shè)每天生產(chǎn)Ａ、Ｂ、Ｃ三種產(chǎn)品的件數(shù)分別為最大利潤(rùn)為則該問(wèn)題就是在條件下，求利潤(rùn)的最大值。問(wèn)題２運(yùn)輸問(wèn)題問(wèn)題的提出兩個(gè)煤炭廠(chǎng)每月進(jìn)煤分別為60t和100t，聯(lián)合供應(yīng)三個(gè)居民區(qū)三個(gè)居民區(qū)每月對(duì)煤的需求量依次為50t、70t、40t，煤廠(chǎng)離居民區(qū)的距離分別為10km、5km、6km，煤廠(chǎng)離居民區(qū)的距離分別為4km、8km、12km，如何分配供煤量才能使總運(yùn)輸量達(dá)到最?。磕Ｐ徒⒃O(shè)表示煤廠(chǎng)提供給居民區(qū)的煤量，表示總運(yùn)輸量，則所求問(wèn)題就是在條件下，求總運(yùn)輸量的最小值。２．線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)模型從以上兩個(gè)實(shí)例可以看出，它們都屬于一類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題，其共同特點(diǎn)是：（１）所給問(wèn)題都用一組決策變量表示某一方案，這組決策變量的值就代表一個(gè)具體方案，一般這些變量的取是非負(fù)的；（２）存在一定的約束條件，這些約束條件可以用一組線(xiàn)性等式或線(xiàn)性不等式來(lái)表示；（３）都有一個(gè)要求達(dá)到的目標(biāo)，它可以用決策變量的線(xiàn)性函數(shù)來(lái)表示，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)。按問(wèn)題的不同，要求目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)最大化或最小化。滿(mǎn)足以上三個(gè)條件的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，其一般形式為：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：3.線(xiàn)性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)際問(wèn)題的線(xiàn)性規(guī)劃模型是多種多樣的，在多種多樣的模型中，可規(guī)定一種形式為標(biāo)準(zhǔn)型，以便于研究和求解。（1）線(xiàn)性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)型如果在線(xiàn)性規(guī)劃模型中，有n個(gè)決策變量m個(gè)約束條件，約束條件為等式約束，決策變量非負(fù)，求目標(biāo)函數(shù)的最小值，這種線(xiàn)性規(guī)劃模型就叫做標(biāo)準(zhǔn)型。其表達(dá)式為：在標(biāo)準(zhǔn)型中，規(guī)定否則等式兩端乘以“-1”，其矩陣形式為：其中，稱(chēng)為約束條件的系數(shù)矩陣，一般有稱(chēng)為價(jià)值向量；向量稱(chēng)為資源向量；稱(chēng)為決策向量；為零向量。（2）任意一線(xiàn)性規(guī)劃模型都可以化為標(biāo)準(zhǔn)型若原模型要求目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)最大化，即則即目標(biāo)函數(shù)可化為這就與標(biāo)準(zhǔn)型的目標(biāo)函數(shù)一致了。若原模型中的約束條件為不等式，有兩種情況：①若原模型中的約束條件為不等式：左端右端，則在左端加上“非負(fù)松弛變量”使不等式化為等式：左端+非負(fù)松弛變量=右端。②若原模型中的約束條件為不等式：左端右端，則在左端減去“非負(fù)松弛變量”使不等式化為等式：左端-非負(fù)松弛變量=右端。例1將問(wèn)題1的模型化為標(biāo)準(zhǔn)型。二、應(yīng)用舉例1．食譜問(wèn)題

問(wèn)題提出一飼養(yǎng)場(chǎng)飼養(yǎng)供實(shí)驗(yàn)用的動(dòng)物，已知?jiǎng)游锏纳L(zhǎng)對(duì)飼料中的三種營(yíng)養(yǎng)成分：蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)和維生素特別敏感，每個(gè)動(dòng)物每天至少需要蛋白質(zhì)７０克，礦物質(zhì)３克，維生素１０毫克。該場(chǎng)能買(mǎi)到５種飼料，各種飼料每千克的成本及所含營(yíng)養(yǎng)成分如下表所示，請(qǐng)確定既能滿(mǎn)足動(dòng)物需要，又使總成本最低的飼料配方。飼料成本（元）蛋白質(zhì)（克）礦物質(zhì)（克）維生素（克）0.20.300.100.050.72.000.050.100.41.000.020.020.30.600.200.200.51.800.050.08設(shè)每個(gè)動(dòng)物每天食用的混合飼料中所含的第種飼料的數(shù)量為千克，混合飼料的總成本為z,則上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為２．連續(xù)投資問(wèn)題問(wèn)題提出某部門(mén)在今后五年內(nèi)考慮給下列四個(gè)項(xiàng)目投資，項(xiàng)目Ａ，從第一年到第四年年初需要投資，并于次年末回收本利的115%；Ｂ項(xiàng)目，第三年年初需要投資，到第五年年末能回收本利125%，但規(guī)定最大投資不超過(guò)４萬(wàn)元；Ｃ項(xiàng)目，第二年年初需要投資，到第五年年末能回收本利140%，但規(guī)定最大投資不超過(guò)３萬(wàn)元；項(xiàng)目Ｄ，五年內(nèi)每年年初購(gòu)買(mǎi)公債，于當(dāng)年末歸還，并加利息6%。該部門(mén)現(xiàn)有資金10萬(wàn)元，問(wèn)如何分配這些項(xiàng)目每年的投資額，使到第五年末擁有資金的本利總額最大？問(wèn)題分析（１）五年中每年年初該部門(mén)擁有的資金是變化的，設(shè)表示第i年年初給第j項(xiàng)項(xiàng)目的投資額，顯然（２）該部門(mén)每年的投資額等于部門(mén)年初所擁有的資金，下面分年度討論：第一年，年初擁有資金１０萬(wàn)元，所以有第二年，年初擁有資金僅為項(xiàng)目Ｄ在第一年末回收的本息所以有第三年，年初擁有資金為所以有第四年，年初擁有資金為所以有第五年，年初擁有資金為所以有又，由題意知目標(biāo)函數(shù)：模型建立將上述分析整理，可得此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：3.下料問(wèn)題問(wèn)題的提出計(jì)劃做100套鋼架,每套用長(zhǎng)為2.9米、2.1米、1.5米的圓鋼各一根。設(shè)原材料長(zhǎng)7.4米，問(wèn)如何下料，才能使所用原料最少？分析最簡(jiǎn)單的做法是在每一根原料上截取三種長(zhǎng)度不同的圓鋼各一根組成一套，但浪費(fèi)較大。若改為套截，則可節(jié)省原料。8種套截方案如下表：方案配件123456782.9211100002.1021032101.510130234余料0.10.30.901.10.20.81.4設(shè)按第i種方案下料的原料根數(shù)為表示總余料,則所求問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為注:該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)也可以為:其中表示使用原料總根數(shù).第二歌節(jié)碌整狐數(shù)規(guī)涼劃模喪型在一示般的刻線(xiàn)性熄規(guī)劃銳模型朝中,卸再加雙上決涌策變爛量取株整的堡條件惕,所妄得到沙的一類(lèi)以規(guī)劃缺問(wèn)題先稱(chēng)為畝整數(shù)惠線(xiàn)性裝規(guī)劃素.問(wèn)題蓮1貨物皮托運(yùn)找問(wèn)題某公婦司擬飼用集噸裝箱廢托運(yùn)A,腿B兩種狼貨物閑，每款箱的隱體積尋、重定量、槳可獲得淋利潤(rùn)對(duì)以及槍托運(yùn)樂(lè)所受泊限制怨如下斃表所晴示。次問(wèn)兩指種貨籃物各賢運(yùn)多榴少箱可獲旅得最搖大利者潤(rùn)？貨物體積（立方米/箱）重量（公斤/箱）利潤(rùn)（元/箱）A51002000B42501000托運(yùn)限制24650一、整數(shù)撈規(guī)劃鍬模型設(shè)分別嗚表示果這兩塑種貨畫(huà)物的事托運(yùn)縣箱數(shù)晚，則跡該問(wèn)尚題的巧數(shù)學(xué)懶模型為：一般溝地，狀某公暮司擬永用集榨裝箱齊托運(yùn)n種貨滲物每箱鋪的體喬積、重量恰、可佩獲得隱利潤(rùn)以及戲托運(yùn)號(hào)所受比限制橡為V和M，問(wèn)怎哲么裝近箱可寨獲得資最大虛利潤(rùn)心？問(wèn)題后2分派顆問(wèn)題分配n個(gè)人撫去完院成n項(xiàng)任肺務(wù)，悄第i個(gè)人磨完成樣第j項(xiàng)任木務(wù)的守效率注為每個(gè)銳人恰像好完敢成一溪項(xiàng)任泛務(wù)，造如何席分配執(zhí)使總沒(méi)效率最大膽？設(shè)0找-1份變量則此荒問(wèn)題鼠的數(shù)學(xué)榆模型濤為二、即0-兼1整數(shù)迅規(guī)劃斃模型0-蕩1整數(shù)經(jīng)規(guī)劃園模型橫是整基數(shù)規(guī)煩劃模仰型中忠的特唱殊情涉形，蒸它的決策而變量?jī)H取運(yùn)0或甜1。換這時(shí)又叫畜0-在1變吃量。問(wèn)題守2分派迷問(wèn)題就是0-有1整數(shù)橋規(guī)劃膏模型問(wèn)題竭3策選哭址問(wèn)躺題問(wèn)題釀提出某公唱司欲就在城駐市的躬東、咽西、端南三夏區(qū)建柴立門(mén)再市部釘，擬議中績(jī)有7伐個(gè)位械置可供穗選擇規(guī)，規(guī)愿定在東鵝區(qū)，朋由三個(gè)納位置貌中至乓多選醬兩個(gè)縣；在西穿區(qū)，澇由兩個(gè)辛個(gè)位像置中霉至少元選一株個(gè)；在南炭區(qū)，辨由兩個(gè)世個(gè)位減置中寸至少速選一漏個(gè)。如果宗選用則設(shè)淺備投強(qiáng)資費(fèi)籍用為每年衡可獲膛利潤(rùn)界為但投海資總崇額不殖能超未過(guò)B元，它問(wèn)應(yīng)兆選擇乳哪幾栗個(gè)位纏置，茫可使蓄年利辜潤(rùn)最從大？模型屠建立商首先鴨引入僻0-夕1變守量則此達(dá)問(wèn)題拋的數(shù)拐學(xué)模青型為習(xí)題1.恰某晝蹤蝶夜服駐務(wù)的遵公交卡線(xiàn)路末每天匹各時(shí)讀間段倦內(nèi)所瘋需要棄司機(jī)煙和乘爸務(wù)員飼如下表贏(yíng)。設(shè)條司機(jī)穴和乘買(mǎi)務(wù)員買(mǎi)分別哈在各姜時(shí)間血區(qū)段墻一開(kāi)挨始時(shí)幼上班辯，并瞧連續(xù)鄰工作8小乖時(shí)。妥問(wèn)該借公交糾線(xiàn)路漲至少堤要配屆備多猜少司剩機(jī)和栽乘務(wù)忘員？班次時(shí)間段所需人數(shù)班次時(shí)間段所需人數(shù)16:00~10:0060418:00~22:0050210:00~14:0070522:00~2:0020314:00~18:006062:00~6:0030設(shè)每演人每川天只權(quán)上一榮輪班無(wú)(8艇小時(shí)她),霉第i時(shí)間麥段開(kāi)肯始時(shí)猶有名人注員上米班,扁則2.倚背包報(bào)問(wèn)題一個(gè)族旅行真者必柔須決甚定在掛旅途剪中要雕攜帶迫哪些攔物品圾,才能使彼攜帶竿的總悉重量財(cái)不超吹過(guò)b公斤報(bào),以巨使總陷的“晃價(jià)值滔”最節(jié)大,澇這樣麗的問(wèn)寺題稱(chēng)為背情包問(wèn)額題.差設(shè)有n件物驚品,滋第i件物求品的膝重量薦為公斤愧,攜宗帶的就“價(jià)湯值”為試建鋼立背晨包問(wèn)膊題的桿數(shù)學(xué)塞模型晴.首先確引入竊0-征1變糞量則此蟻問(wèn)題統(tǒng)的數(shù)序?qū)W模灶型為3.副比賽華安排險(xiǎn)問(wèn)題已知忠下列嶺5名敬運(yùn)動(dòng)餡員各竿種游爺泳項(xiàng)鹿目的澡成績(jī)綢(各為5酬0米留)如壘下表娛所示猜,問(wèn)源如何連從中控選拔控一個(gè)嚼參加花20育0米惱混合逢游泳桂的接力隊(duì)筑,使素預(yù)期鳥(niǎo)成績(jī)怒最好們.項(xiàng)目趙錢(qián)張王周仰泳37.332.933.837.035.4蛙泳43.433.142.234.741.8蝶泳33.328.538.930.433.6自由泳29.226.429.628.531.14.加工恩任務(wù)械安排某工篩廠(chǎng)用兩臺(tái)鏈機(jī)床洪加工三種不同順的零描件.氣已知娛在一還個(gè)生右產(chǎn)周喂期內(nèi)只能易工作倘80肯機(jī)時(shí)沈;只能挽工作10悟0機(jī)厲時(shí).炊一個(gè)稱(chēng)生產(chǎn)細(xì)周期堡內(nèi)計(jì)域劃加認(rèn)工三種滾不同駁的零泛件分碼別為研:70喪件、齡50川件、窯20初件。敞兩臺(tái)們機(jī)床遺加工霞每個(gè)敘零件魔的時(shí)黑間和艦