緝私艇追擊走私船

(7)西安交通大學(xué)魏平實(shí)驗(yàn)7

緝私艇追擊走私船

7.2

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

通過本次實(shí)驗(yàn)，目的在于提高學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題建立微分方程模型的能力，學(xué)會(huì)求微分方程解析解與數(shù)值解的方法，并會(huì)做簡單的計(jì)算機(jī)仿真。

7.1

實(shí)驗(yàn)問題

海上邊防緝私艇發(fā)現(xiàn)距c公里處有一走私船正以勻速a沿直線行駛,緝私艇立即以最大速度b追趕,在雷達(dá)的引導(dǎo)下，緝私艇的方向始終指向走私船。問緝私艇何時(shí)追趕上走私船?并求出緝私艇追趕的路線。

xyco7.3

建立模型

xcoy走私船初始位置在點(diǎn)(0,0)，行駛方向?yàn)閥軸正方向，緝私艇的初始位置在點(diǎn)(c,0)，緝私艇行駛的歷程為s

。在時(shí)刻t：緝私艇到達(dá)點(diǎn)

走私船的位置到達(dá)點(diǎn)7.4

模型求解

(1)

求解析解

令：，，1)當(dāng)

x=0

時(shí)，

c=3千米，a=0.4km/s，分別取b=0.6,0.8,1.2km/s時(shí)，緝私艇追趕路線的圖形。

追趕時(shí)間分別為：t=9，5，2.8125（分鐘）

Matlab2)當(dāng)時(shí)，緝私艇不可能追趕上走私船。3）當(dāng)時(shí)緝私艇不可能追趕上走私船。

（2）用MATLAB軟件求解析解

MATLAB軟件5.3以上版本提供的解常微分方程解析解的指令是dsolve，完整的調(diào)用格式是:dsolve('eqn1','eqn2',...)其中‘eqn1’,‘eqn2’,...是輸入宗量，包括三部分：微分方程、初始條件、指定變量，若不指定變量，則默認(rèn)小寫字母t為獨(dú)立變量。微分方程的書寫格式規(guī)定：當(dāng)y是因變量時(shí)，用“Dny”表示y的n階導(dǎo)數(shù)。

例求微分方程的通解。

dsolve('Dy=x+x*y','x')Ans=-1+exp(1/2*x^2)*C1Matlab（2）用MATLAB軟件求解析解dsolve('Dy=1/2*((x/c)^r-(c/x)^r)‘,'y(c)=0','x')

ans=1/2*exp(-r*(log(c)-log(x)))*c^r*(1/c)^r/(r+1)*x+1/2*exp(r*(log(c)-log(x)))/(-1+r)*x-1/2*c*(-(1/c)^r*c^r+c^r*(1/c)^r*r+r+1)/(r^2-1)

（3）用MATLAB軟件求數(shù)值解c=3，a=0.4，b=0.8，

程序zx.mfunctiony=zx(t,y)y=0.5*((t/3)^0.5-(3/t)^0.5)

執(zhí)行下面的命令：ode23('zx',3,0.0005,0)

matlab若想看圖中“o”點(diǎn)的坐標(biāo)可執(zhí)行下面的命令：[t,y]=ode23('zx',3,0.0005,0)plot(t,y)此時(shí)緝私艇的位置坐標(biāo)是（0.00050000000000，1.96013657712118）

執(zhí)行下面的命令:ode45('zx',3,0.0005,0)

若想看圖中“o”點(diǎn)的坐標(biāo)可執(zhí)行下面的命令：[t,y]=ode45('zx',3,0.0005,0)plot(t,y)此時(shí)緝私艇的位置坐標(biāo)是（0.0005，1.9675）

(4)用MATLAB軟件防真法

當(dāng)建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的微分方程模型很困難時(shí)，我們可以用計(jì)算機(jī)仿真法對系統(tǒng)進(jìn)行分析研究。所謂計(jì)算機(jī)仿真就是利用計(jì)算機(jī)對實(shí)際動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和行為進(jìn)行編程、模擬和計(jì)算，以此來預(yù)測系統(tǒng)的行為效果。xcoy方向?yàn)閥軸正方向，緝私艇的位置：

走私船的位置：走私船初始位在點(diǎn)(0,0)，緝私艇的初始位在點(diǎn)(c,0)，追趕方向可用方向余弦表示為：

時(shí)間步長為則在時(shí)刻

時(shí)：仿真算法：

第一步：設(shè)置時(shí)間步長,速度a,b及初始位置第二步：計(jì)算動(dòng)點(diǎn)緝私艇D在時(shí)刻時(shí)的坐標(biāo)

計(jì)算走私船R在時(shí)刻

時(shí)的坐標(biāo)

第三步：計(jì)算緝私艇與走私船這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離：

根據(jù)事先給定的距離，判斷緝私艇是否已經(jīng)追上了走私船，從而判斷退出循環(huán)還是讓時(shí)間產(chǎn)生一個(gè)步長，返回到第二步繼續(xù)進(jìn)入下一次循環(huán)；第四步：當(dāng)從上述循環(huán)退出后，由點(diǎn)列

和可分別繪制成兩條曲線即為緝私艇和走私船走過的軌跡曲線。

取c=3千米，a=0.4千米/分鐘，b=0.8千米/分鐘，，程序zhuixiantu.mc=3;a=0.4/60;b=0.8/60;jstxb=[];jstyb=[];zscxb=[];zscyb=[];d=0.01;dt=2;t=0;jstx=c;jsty=0;zscx=0;zscy=0;while(sqrt((jstx-zscx)^2+(jsty-zscy)^2)>d)t=t+dt;jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);jstxb=[jstxb,jstx];jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);jstyb=[jstyb,jsty];zscy=a*t;zscyb=[zscyb,zscy];endzscxb=zeros(length(zscyb));plot(jstxb,jstyb,zscxb,zscyb,'*')

matlab歷時(shí)：296秒，艇：（0.00004135527497，1.97150212967435）船：（0，1.97333333333333）

顯示船與艇行進(jìn)路線程序c=3;a=0.4/60;b=0.8/60;d=0.01;dt=2;t=0;jstx=c;jsty=0;zscx=0;zscy=0;while

(sqrt((jstx-zscx)^2+(jsty-zscy)^2)>d)

plot(jstx,jsty,'rO',zscx,zscy,'y*')pause(0.00001)holdont=t+dt;jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);zscy=a*t;plot(jstx,jsty,'rO',zscx,zscy,'y*')end7.5

結(jié)果分析

用求解析解的方法算得的解是最為精確的；用數(shù)值方法計(jì)算的結(jié)果依賴于迭代終值的設(shè)定，減小迭代終值可以提高計(jì)算精度；用計(jì)算機(jī)仿真法計(jì)算的結(jié)果依賴于時(shí)間迭代步長的選取和程序終止條件的設(shè)定，修改終止條件的設(shè)定和減小時(shí)間迭代步長可以提高計(jì)算精度，減小誤差。

7.6實(shí)驗(yàn)任務(wù)

1.

有一只獵狗在B點(diǎn)位置發(fā)現(xiàn)了一只兔子在正東北方距離它200米的地方O處，此時(shí)兔子開始以8米/秒的速度向正西北方距離為120米的洞口A全速跑去，假設(shè)獵狗在追趕兔子的時(shí)候始終朝著兔子的方向全速奔跑，用計(jì)算機(jī)仿真法等多種方法完成下面的實(shí)驗(yàn)：

(1)問獵狗能追上兔子的最小速度是多少？

(2)在獵狗能追上兔子的情況下，獵狗跑過的路程是多少？

(3)畫出獵狗追趕兔子奔跑的曲線圖。

(4)假設(shè)在追趕過程中，當(dāng)獵狗與兔子之間的距離為30米時(shí)，兔子由于害怕,奔跑的速度每秒減半，而獵狗卻由于興奮奔跑的速度每秒增加0.1倍，在這種情況下，再按前面的（1）—（3）完成實(shí)驗(yàn)任務(wù)。

ABNWO2.使用方計(jì)算歲機(jī)仿塘真方稍法求舊解下溉述問損題：哨在正鳴方形遙的四壁個(gè)頂塊點(diǎn)上各有純一人位，如揚(yáng)下圖菠所示代，在鄭