函數的零點1.概念對于函數y=f(x),我們把使①

f(x)=0

的實數x叫做函數y=f(x)的零點.2.等價關系方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)的圖象與②

x軸

有交點?函數y=f(x)有③

零點

.

函數零點存在定理如果函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有④

f(a)·f(b)<0

,那么,函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有⑤零點

,即存在c∈(a,b),使得⑥

f(c)=0

,這個c也就是方程f(x)=0的根.3.1函數與方程3.1.1方程的根與函數的零點

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.1.函數的零點不是點,它是函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標,是方程f(x)=0的

根.

(√)2.f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,若f(x)在[a,b]上為單調函數,且f(a)·f(b)<0,則f(x)在(a,b)內有且只有一個零點.

(√)3.若f(a)·f(b)>0,則f(x)在[a,b]內無零點.

(

?)4.設f(x)=

,由于f(-1)·f(1)<0,所以f(x)=

在(-1,1)內有零點.

(

?)由于f(x)=

的圖象在[-1,1]上不是連續(xù)不斷的曲線,所以不能得出其有零點的結論.5.若函數f(x)在[a,b]內有零點,則f(a)·f(b)<0.

(

?

)如:f(x)=x2-2x在區(qū)間[-1,3]內有零點,但f(-1)·f(3)>0.如果把函數比作一部電影,那么函數的零點就像電影的一個瞬間,一個鏡頭.雖然

有時我們會忽略一些鏡頭,但是我們仍然能推測出被忽略的片段.現在有兩組鏡

頭(如圖,第一組為第一行兩圖,第二組為第二行兩圖).

函數的零點1.哪一組能說明他的行程中一定曾渡過河?提示:第一組能說明他的行程中一定曾渡過河,而第二組中他的行程不一定曾渡

過河.2.將河流抽象成x軸,將前后的兩個位置視為A,B兩點.請問:當A,B與x軸有怎樣的

位置關系時,A,B間的一段連續(xù)不斷的函數圖象與x軸一定有交點?提示:A,B兩點在x軸的兩側.問題

函數零點的兩種求法(1)代數法:求方程f(x)=0的實數根,若存在實數根,則函數f(x)存在零點,否則函數f(x)不存在零點.(2)幾何法:與函數y=f(x)的圖象聯系起來,圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的

零點.

確定函數f(x)零點所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法:當對應方程f(x)=0易解時,可先解方程,再看求得的根是否落在給定

區(qū)間內.(2)利用函數零點存在定理:首先看函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看

是否有f(a)·f(b)<0.若函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象連續(xù),且f(a)·f(b)<0,則函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內必有零點.(3)數形結合法:通過畫函數圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.(1)函數f(x)=lgx-

的零點所在的區(qū)間是

()A.(6,7)

B.(7,8)C.(8,9)

D.(9,10)(2)求函數f(x)=(lgx)2-lgx的零點.解析

(1)易知函數f(x)=lgx-

在(0,+∞)上是增函數,且是連續(xù)函數,∵f(6)=lg6-

=lg6-

<0,f(7)=lg7-

<0,f(8)=lg8-

<0,f(9)=lg9-1<0,f(10)=lg10-

>0,∴f(9)·f(10)<0,∴f(x)=lgx-

的零點所在的區(qū)間為(9,10).(2)令(lgx)2-lgx=0,則lgx(lgx-1)=0,∴l(xiāng)gx=0或lgx=1,∴x=1或x=10,因此函數f(x)的零點是1,10.答案(1)D跟蹤訓練1(

)求函數f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點個數.思路點撥思路一:利用單調性及零點存在定理.思路二:設h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1)

在同一平面直角坐標系中作出h(x)、g(x)的草圖

h(x)、g(x)圖象的交點個數即為函數f(x)的零點個數.解析解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg2-2>0,∴f(x)在(0,1)上必定存在零點.

易知f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上為增函數,故函數f(x)有且只有一個零點.解法二:令f(x)=2x+lg(x+1)-2=0,則可化為lg(x+1)=2-2x,設g(x)=lg(x+1),h(x)=2-2x,在同

一平面直角坐標系下作出g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的草圖.由圖象知,g(x)=lg(x+1)的圖象和h(x)=2-2x的圖象有且只有一個交點,即f(x)=2x+lg(x

+1)-2有且只有一個零點.1.為了便于利用零點個數或零點所在區(qū)間,通常要對已知條件進行變形,變形的方向是:(1)化為常見的基本初等函數;(2)盡量使參數與變量分離,實在不能分離,也要使含參數的部分盡可能簡單.2.解題時可借助函數的圖象,也可轉化為函數的值域問題來解決.利用函數零點求參數的值或取值范圍若函數f(x)=lnx+x2+a-1在區(qū)間(1,e)內有唯一的零點,則實數a的取值范圍是(

)A.(-e2,0)

B.(-e2,1)

C.(1,e)

D.(1,e2)解析

易知f(x)在(1,e)內是單調遞增函數,因為f(x)在(1,e)內有唯一的零點,所以

解得-e2<a<0.答案

A跟蹤訓練2(

)若f(x)=2x·(x-a)-1在(0,+∞)內有零點,則a的取值范圍是

()A.(-∞,+∞)

B.(-2,+∞)C.(0,+∞)

D.(-1,+∞)思路點撥思路一(分離變量法):由f(x)=2x(x-a)-1=0得,a=x-

令g(x)=x-

(x>0),求出g(x)的值域D

由a∈D,求出實數a的取值范圍.思路二(數形結合法):由f(x)=2x·(x-a)-1=0得,x-a=

在同一平面直角坐標系中作出直線y=x-a和函數y=

的圖象

利用函數圖象求出實數a的取值范圍.D解法一:令f(x)=0,則2x·(x-a)-1=0,化簡得a=x-

.令g(x)=x-

(x>0),易知函數g(x)在(0,+∞)上為增函數,可得g(x)的值域為(-1,+∞),故當a>-1時,f(x)在(0,+∞)內有零點.解法二:令f(x)=0,得x-a=

,在同一平面直角坐標系內作出直線y=x-a和函數y=

的圖象如圖所示,由圖知-a<1,即a>-1,故當a>-1時,f(x)在(0,+∞)內有零點,故選D.

二次函數的零點問題的解法

設x1,x2是二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的零點,則x1,x2的分布如下表所示:根的分布圖象條件x1<x2<k

k<x1<x2

x1<k<x2

f(k)<0x1,x2∈(k1,k2)

x1,x2有且僅有一個在(k1,k2)內

f(k1)·f(k2)<0或

或

一個根在(k1,k2)內,另一根在(k3,k4)內

兩個根均在(k1,k2)外

已知函數f(x)=-x2+2ax+4a+3的兩個零點x1,x2滿足x1<-1<