高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)球和立體幾何中的創(chuàng)新問題【知識(shí)要點(diǎn)】1．球定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體叫做球。2．截面性質(zhì)：球的截面都是圓，其中恰好經(jīng)過球心的半徑最大，叫做大圓?？深惐葓A被直線所截的有關(guān)問題。3．球的表面積、體積公式：S=4πR2，V=πR34.球中的切接問題：可以正方體，長方體，正四面體為例做推導(dǎo)。*5．球面距離：球面上兩點(diǎn)的大圓劣弧長，是球面上兩點(diǎn)間的最短距離*6．地球儀中的經(jīng)緯度：緯度為線面角，經(jīng)度為二面角【實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練】【球的問題】1.64個(gè)直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個(gè)直徑為的球，記其體積為，表面積為，則（C）

（A）（B）

（C）（D）2.球的面積膨脹為原來的兩倍，膨脹后的球的體積變?yōu)樵瓉淼模–）倍。

（A）（B）2（C）（D）43．在球面上有四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C，且滿足PA=PB=PC=，PA,PB,PC兩兩垂直，則球的表面積為_______；體積為__________．（）4．自球面上一點(diǎn)P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，球的半徑為R，則（A）

（A）（B）3R（C）2R（D）5.兩球的表面積之差為，它們的大圓周長之和為，則這兩球的直徑之差為（D）

（A）1（B）2（C）3（D）46．半徑為4的球面上有A,B,C,D四點(diǎn)，且滿足，則的最大值為（為三角形的面積）____________．327．與棱長為的正方體各條棱都相切的球的直徑為____________．8．正四面體的內(nèi)切球半徑與其外接球半徑的比為_____________．9．球的外切正四面體的高是球的直徑的________倍．210．半徑為R的球的內(nèi)接正四面體的高為________________．11．正四面體的棱長為1，球O與正四面體的各棱均相切，且O在正四面體的內(nèi)部，則球O的表面積為_．12．將半徑都為1的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（C）A．B．C．D．13．在一個(gè)大空心球的內(nèi)部裝有四個(gè)半徑為1的實(shí)心球，那么這個(gè)大球的表面積至少是（A）A．B．C．D．14．三個(gè)半徑為R的小球兩兩相切放在水平桌面上，又一個(gè)半徑為r的小球同時(shí)與這三個(gè)小球相切，且和桌面也相切，則R：r為（D）A．B．C．D．17．已知球面上三點(diǎn)A,B,C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC=BC=6，AB=4，則球的半徑等于________；球的表面積等于________；球的體積等于_________．（）18．正四棱錐P－ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為，且它的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的半徑為__________．19．在北緯60o圈上有A，B兩地，它們經(jīng)度相差180o，則A，B兩地沿緯度圈的弧長與A，B兩地的球面距離之比是_____________．3：220．設(shè)地球的半徑為R，若甲地位于北緯45o，東經(jīng)120o，乙地位于南緯75o，東經(jīng)120o，則甲、乙兩地的球面距離為(D)A．B．C．D．21．球面上有三點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為，那么這個(gè)球的半徑為____________．22．已知球O的半徑為1，A,B,C三點(diǎn)都在球面上，且每兩點(diǎn)間的球面距離為，則球心O到平面ABC距離為_____________．23．半徑為1的球面上有A,B,C三點(diǎn)，已知A和B，A和C之間的球面距離均為，B和C之間的球面距離為，則A,B,C三點(diǎn)的截面到球心的距離是____________．24.如圖，在斜三棱柱中，，側(cè)面與底面ABC所成的二面角為，E、F分別是棱的中點(diǎn)（Ⅰ）求與底面ABC所成的角（Ⅱ）證明∥平面（Ⅲ）求經(jīng)過四點(diǎn)的球的體積。（Ⅰ）解：過A1作A1H⊥平面ABC，垂足為H.連結(jié)AH，并延長交BC于G，連結(jié)EG，于是∠A1AH為A1A與底面ABC所成的角.∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG為∠BAC的平分線.又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G為BC的中點(diǎn)因此，由三垂線定理，A1A⊥BC.∵A1A//B1B，且EG//B1B，EG⊥BC于是∠AGE為二面角A—BC—E的平面角，即∠AGE=120°由于四邊形A1AGE為平行四邊形，得∠A1AG=60°，所以，A1A與底面ABC所成的角為60°，（Ⅱ）證明：設(shè)EG與B1C的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P為EG的中點(diǎn)，連結(jié)PF.在平行四邊形AGEA1中，因F為A1A的中點(diǎn)，故A1E//FP.而FP平面B1FC，A1E//平面B1FC，所以A1E//平面B1FC.（Ⅲ）解：連結(jié)A1C，在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，A1A=A1A，則△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B，由已知得A1A=A1B=A1C=a.又∵A1H⊥平面ABC，∴H為△ABC的外心.設(shè)所求球的球心為O，則O∈A1H，且球心O與A1A中點(diǎn)的連線OF⊥A1A.在Rt△A1FO中，故所求球的半徑，球的體積.

【創(chuàng)新問題】1.若正方體的棱長為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為A.B.C.D.答案C2.（2008海南、寧夏理）某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為（）A． B． C． D．答案C【解析】結(jié)合長方體的對(duì)角線在三個(gè)面的投影來理解計(jì)算。如圖設(shè)長方體的高寬高分別為，由題意得，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。3.（2008海南、寧夏文）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為_________答案【解析】∵正六邊形周長為３，得邊長為，故其主對(duì)角線為１，從而球的直徑∴∴球的體積.4.棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是.答案例：某四面體異面對(duì)棱的棱長分別相等，分別是，求四面體的體積.分析：做起來很簡單，只要把這個(gè)四面體嵌入到棱長分別為的長方體中，如圖，由把看作三個(gè)元，解這個(gè)三元方程組得：這樣都可以用這個(gè)四面體的對(duì)棱長來表達(dá).四面的體積＝長方體的體積－4個(gè)三棱錐的體積所以.四面體中異面對(duì)棱長分別為的四面體的體積的算法——嵌入法.這種方法叫做嵌入法，“嵌入”的意思就是把不容易找到體積的空間圖形放到能夠嵌住的一個(gè)大的長方體，而那個(gè)大的長方體的體積是比較好求的.這就是長方體模型的一個(gè)利用.例:如圖，三棱錐中，，在△內(nèi)，，求的度數(shù).分析：在三棱錐內(nèi)部嵌入一個(gè)長方體，長方體的三個(gè)面與三棱錐的三個(gè)面是吻合的，這樣PM是這個(gè)長方體的對(duì)角線.根據(jù)，可得，從而.如果在圖中隨便連MC，解△MPC那恐怕不是好辦法.這說明思路不同常常造成解題繁簡相差是很大的.我們這個(gè)題比較成功的是把長方體嵌到三棱錐里面去，而這個(gè)三棱錐是一個(gè)大長方體的一個(gè)角，以PM為對(duì)角線的長方體嵌到三棱錐是完全可能的.【二】直角四面體模型在三棱錐中，，且.①以P為公共點(diǎn)的三個(gè)面兩兩垂直；②△ABC是銳角三角形證明：設(shè)△ABC中.所以為銳角，同理也為銳角.③P在底面ABC的射影是△ABC的垂心④三棱錐的高設(shè)直線AH交BC于D點(diǎn)，由于H點(diǎn)一定在△ABC內(nèi)部，所以D點(diǎn)一定在BC上，連結(jié)PD.在△PAD中，這個(gè)結(jié)果也可以這樣說：如果在三棱錐中，在底面上作于D，連結(jié)PD，則.或者說：作則.這將來對(duì)二面角的平面角有好的影響.⑤體積：;⑥它的外接球直徑是.例：直二面角中，ABCD是邊長為2的正方形（見圖）AE＝BE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，BF⊥面ACE，求D到面ACE的距離.分析：這是一道高考中的大題.因?yàn)镈－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，當(dāng)然面ABCD⊥面ABE，又因?yàn)锳BCD是正方形，BC要垂直于面ABE.在ABE中，AE就是面內(nèi)的一條線，而BE就是BF在該面內(nèi)的射影，而AE是垂直于BF，這是因?yàn)锽F垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.這一小段是熟悉幾何環(huán)境的過程.圖形中特殊的位置關(guān)系約束△ABE的形狀.補(bǔ)充圖形，在正方體看問題.在這里看直二面角的局部圖形.問題就轉(zhuǎn)化為：求D到面ACE的距離，就是求O點(diǎn)到面AB1C的距離因?yàn)镺，B到面ACB1的距離相等，所以只須求B到面ACB1的距離即可，考慮三棱錐B－ACB1，它是模型2.所以，D到面ACE的距離為.【三】正四面體模型正四面體如同平面幾何中的正三角形，是立體幾何中最常見的基礎(chǔ)四面體，特別在多球問題中有廣泛的應(yīng)用.正四面體的主要數(shù)量特征都集中在它的對(duì)稱面上.如圖，正四面體，E、F分別是對(duì)棱BC、AD的中點(diǎn)，△AED是它的對(duì)稱面，若正四面體的棱長為1，通過解△AED，可得它的對(duì)棱距離.高，內(nèi)切球半徑，外接球的半徑，表面積為，體積為，相鄰面所成的角的平面角為，側(cè)棱與底面成的角為.【四】直四面體模型如圖3，四面體A－BCD，AB⊥面BCD，CD⊥面BCA，這種四面體構(gòu)成許多簡單多面體的基本圖形，不妨稱為直四面體，主要性質(zhì)：（1）它的四個(gè)面都是直角三角形；（2）；（3）以BD、BC和AC為棱的二面角都是直二面角，以AB、BC為棱的二面角的平面角，分別是與；（4）以AD為棱的二面角為，則；（5）對(duì)棱AB與CD垂直，且BC是它們的公垂線；（6）對(duì)棱AD與BC為異面直線，它們夾角為，則，等等.例：如圖6，直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE＝EB，F(xiàn)為CE上