典型例題第三章習(xí)題課主要內(nèi)容1拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系羅爾定理柯西中值定理泰勒中值定理主要內(nèi)容22.微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論33.有關(guān)中值問題的解題方法利用逆向思維,設(shè)輔助函數(shù).一般解題方法:證明含一個中值的等式或根的存在,(2)若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理.必須多次應(yīng)用中值定理.(4)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),多考慮用泰勒公式,(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理.4常用函數(shù)的麥克勞林公式5二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點,漸近線,曲率2.解決最值問題目標(biāo)函數(shù)的建立與簡化最值的判別問題3.其他應(yīng)用：求不定式極限；幾何應(yīng)用；相關(guān)變化率；證明不等式；研究方程實根等。6求極值的步驟:7步驟:1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)最大值、最小值問題8利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步函數(shù)圖形的描繪9第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢;第五步10弧微分曲率曲率圓曲率的計算公式11定義12例1.且試證存在證：欲證故有將①代入②,化簡得故有①②即要證因

在[a,b]上滿足拉氏中值定理條件,典型例題13例2.分析:所給條件可寫為(03考研)試證必存在想到找一點c,使所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點由羅爾定理知,必存在設(shè)函數(shù)

在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且且

在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),證:因

在[0,3]上連續(xù),使14例3.設(shè)實數(shù)滿足下述等式證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.證:令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點使即1516(2私)解17例5.設(shè)求解例6.求代入愁上式叼原式不＝－18例7求函貫數(shù)的單調(diào)滔、凹卡凸區(qū)雕間,極值撐、拐點遣和漸搖近線徹。解定義燈域得駐點列表燃可見汪單調(diào)闖、凹猾凸區(qū)姨間極小無定義拐點＋＋＋＋－＋－＋＋1x19極小無值為曲線各拐點倡（0,緣瑞0）則x＝1是垂秩直漸扣近線樣。且為斜漸近挨線。20.利用匠函數(shù)年單調(diào)叨性證重明不靜等式例8證明樓：21利用拴函數(shù)而的極目值與悠最值裳證明同不等偉式設(shè),且0<詞<鵲1，證許明證明書：作懲函數(shù)令，得當(dāng)另時斥，她當(dāng)約時門，跳；故在綱處殲取得牛極大演值因為找在區(qū)喇間上鎖只有瞎一個蠶極大切值，卷而無蝕極小循值，故極漏大值制就是挪最大犧值，因此炸當(dāng)居時，22.利用賞函數(shù)煎的凹劣凸性散證明除不等孫式.例10設(shè)為正懶實數(shù),試證證明夢：只隨要證知明作函生數(shù)是凹北函數(shù),所以止對任航意桌有,23利用杯泰勒劈燕公式乳證明掛不等慢式設(shè)且嫁證粱明.證明償：由墻條件蛾知由泰虧勒公供式在哭與病之券間24（以沈前的碎期中杰考試般題）已知經(jīng)函數(shù)在[0橫,1役]上連溪續(xù),在(0巖,1臺)內(nèi)可仿導(dǎo),且證明:(1爪)代數(shù)懼方程至少殿存在陽一個灰實根(2唐)存在蛛兩個蒼不同久的點使得證明:(1厘)且至少霸存在差一個狼實根例1225(2孩)根據(jù)腫拉格栽朗日站中值季定理,存在使得26上應(yīng)區(qū)用拉炕格朗駱日中腎值定要理的預(yù)“中親值”域，則設(shè)為在(A)1；(B)(C)(D)提示筑：利用名拉格晃朗日膠中值液定理于可得尤：例1327設(shè)其中二階綱可導(dǎo)濃，及解:其中在與之間例14試求所以（以撥前的耕考試爸題）28設(shè)函數(shù)和都為扯可導(dǎo)煌函數(shù)鵝，且鉛當(dāng)時，證明:設(shè)因為即所以（1）（2）例15試證：當(dāng)時，同理譯可證展：綜合喉（1）（2）得快證.（以兵前的指考試瞧題）29設(shè)函捧數(shù)求在上拉格朗日中值定理的解因為即解出總位拴于區(qū)茂間的中矩點.例16酷.值.(統(tǒng)考)30試確卸定常嬸數(shù)使有一躲個拐吹點（1，－1），裝且在處有酸極大刻值解因為又知可知所以例17耀.(統(tǒng)考)31設(shè)在上連縮慧續(xù)，內(nèi)可欺導(dǎo)試證陶明方答程在內(nèi)必晌有惟遇一實漲根.所以而，得必有,易知所以切必有緣瑞根，充又單減例18幼.解：容因為有惟一實根.故在(統(tǒng)考)且32試確扛定常盟數(shù)的值桐，使構(gòu)曲線在處取寬極值杜且與統(tǒng)直線解：因為喂切點凝（1，0），有且為極侄值點驚，所以易解蹦得相切村于點濤（1，0）.例19益.(統(tǒng)考)33證明奇：當(dāng)時，證明毒：設(shè)（惟柴一駐囑點）所以為極滿小值梁，也冰是最籃小值例20鞠.即(統(tǒng)考)34是凸漠的設(shè)，證蓄明：證明她：設(shè)所以即因而后有例21酷.(統(tǒng)考)35設(shè)在上，證明果：方頁程證明阿：因為單減即在單減，得必有所以有且擋僅有昌一實分根。例22煌.內(nèi)有奇且僅氧有一皮個實搶根.所以又因朽為(統(tǒng)考)36例23撞.試求御內(nèi)接它于半泰徑為的半英圓，深且周苦長最乓大的抄矩形由實脾際意礎(chǔ)義可來知,周長臉最大史的矩在形存但在,且只臉有惟西一駐聽點,所以依邊長訊分別此為和使其灑矩形齒周長汁最大.解逮如店圖所督示，叨周長役為的邊跑長.37設(shè)，求解當(dāng)時，

所以，在點不可導(dǎo)。

例2438例25（1）寫弊出（2）確沙定常繭數(shù)A、B、C的值準，使解：田（1）麥衣克勞亞林公伴式（2）由煙（1）代夸入已止知等梯式比較兩邊同次冪系數(shù)得

B+1=A ，C+B+=0，解得的帶津有佩拾亞諾尺型余主項的3階麥克皂勞林掘公式悠；39例26設(shè)在上具準有二負階導(dǎo)餓數(shù)，貍且及證明:(1崖)在區(qū)敲間內(nèi)至依少存鉛在一模點使（2）在電區(qū)間內(nèi)至艇少存浴在一答點使證(1差)不妨缸設(shè)，因為由保蒼號性騎定理腳知40類似賀地，由零榜點定棄理知,由羅掃爾定嫌理知使得（2）戀由融（1）及徐已知棉條件使得對再用貝羅爾引定理使得證畢至。必有4142提示:(介值向定理)(拉格狂朗日刊中值網(wǎng)定理)42在上連脅續(xù)，紙在內(nèi)可雁導(dǎo)，柱且例28．設(shè)證明贊存鑄在證明海：只識要證傅明令43再對在用拉續(xù)格朗秤日中剃值定限理得44例29．設(shè)函數(shù)若在處連邀續(xù),則(2彎01右5年考恰研題)45例30．下查列曲嘩線有燥漸近裳線的治是(只需腦判斷是有斜者的即葉可)提示:(2甜01恢5年考很研題)46例31．設(shè)桐函數(shù)(2