第十章立體幾何

1.12015高考浙江，文4】設(shè)a,，是兩個(gè)不同的平面，I,四是兩條不同的直線，且/ua,

mu/31）

A.若1」尸,則B.若a",則

C.若〃//?,則a/少D.若a///，則///m

【答案】A

【解析】采用排除法，選項(xiàng)A中，平面與平面垂直的判定，故正確；選項(xiàng)B中，當(dāng)時(shí),

/,機(jī)可以垂直，也可以平行，也可以異面；選項(xiàng)C中，/〃，時(shí)，a,尸可以相交；選項(xiàng)D中，

a〃尸時(shí),也可以異面.故選A.

【考點(diǎn)定位】直線、平面的位置關(guān)系.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線、平面的位置關(guān)系.解答本題時(shí)要根據(jù)空間直線、平面的

位置關(guān)系，從定理、公理以及排除法等角度，對(duì)個(gè)選項(xiàng)的結(jié)論進(jìn)行確認(rèn)真假.本題屬于容易題,

重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力以及排除錯(cuò)誤結(jié)論的能力.

2.[2015高考新課標(biāo)1,文6]《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的

數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題："今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，制

問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：”在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為-

個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的

體積和堆放的米各為多少？"已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率

約為3,估算出堆放的米有（）

（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛

【答案】B

【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r,貝八x2x3r=8,所以r=3，所以米堆的體積為

43

2

lxlx3x（—）x5=—,故堆放的米約為型+1.62心22,故選B.

43399

【考點(diǎn)定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式

【名師點(diǎn)睛】本題以《九章算術(shù)》中的問(wèn)題為材料，試題背景新穎，解答本題的關(guān)鍵應(yīng)想到

米堆是上圓錐，底面周長(zhǎng)是兩個(gè)底面半徑與工圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的

44

方程，解出底面半徑，是基礎(chǔ)題.

3.[2015高考浙江，文21某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是

)

B.12cm3c.王面

3

:干:二圣

【答案】C

【解析】由三視圖可知，該兒何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體與個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為2的正

17?

四棱錐的組合體，故其體積為V=2,+上x2?x2=絲?！?故選c

33

【考點(diǎn)定位】1.三視圖；2.空間幾何體的體積.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的體積.解答本題時(shí)要能夠根據(jù)三視圖確定該幾何體的

結(jié)構(gòu)特征，并準(zhǔn)確利用幾何體的體積計(jì)算方法計(jì)算求得體積.本題屬于中等題，重點(diǎn)考查空間

想象能力和基本的運(yùn)算能力.

4.12015高考重慶，文5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

側(cè)視圖

1315冗

(B)—(D)y

O

【答案】B

【解析】由三視圖可知該幾何體是山一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱，再加上一個(gè)半圓錐：

其底面半徑為1,高也為1,構(gòu)成的一個(gè)組合體，故其體積為乃xl2x2+!x》xl2xl=史，

66

故選B.

【考點(diǎn)定位】三視圖及柱體與錐體的體積.

【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖的概念和組合體體積的計(jì)算，采用三視圖還原成直觀圖，再利

用簡(jiǎn)單幾何體的體積公式進(jìn)行求解.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

5.【2015高考陜西，文5】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.3）B.4乃C.27+4D.3萬(wàn)+4

俯視圖

【答案】D

【解析】由幾何體的三視圖可知該兒何體為圓柱的截去一半，所以該幾何體的表面積為

^-xlx2+—x^-xl2x2+2x2=3^+4,故答案選。

2

【考點(diǎn)定位】1.空間幾何體的三視圖；2.空間幾何體的表面積.

【名師點(diǎn)睛】1.本題考查空間幾何體的三視圖及幾何體的表面積，意在考查考生的識(shí)圖能力、

空間想象能力以及技術(shù)能力；2.先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計(jì)算出幾何體各

個(gè)面的面積即可；3.本題屬于基礎(chǔ)題，是高考?？碱}型.

6.12015高考廣東，文6】若直線4和是異面直線，4在平面a內(nèi)，（在平面/內(nèi)，/是平

面a與平面月的交線，則下列命題正確的是（）

A./至少與/『4中的一條相交B./與小4都相交

C./至多與/],中的一條相交D./與小[都不相交

【答案】A

【解析】若直線4和6是異面直線，4在平面a內(nèi)，4在平面夕內(nèi)，/是平面2與平面夕的交

線，貝h至少與4中的一條相交，故選A.

【考點(diǎn)定位】空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬于容易題.解題時(shí)一定要注

意選項(xiàng)中的重要字眼“至少”、“至多”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解決空間點(diǎn)、線、面的位置

關(guān)系這類試題時(shí)一定要萬(wàn)分小心，除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊圖形進(jìn)行檢驗(yàn)，

也可作必要的合情推理.

7.12015高考浙江，文7】如圖，斜線段AB與平面。所成的角為60°,B為斜足，平面a上

的動(dòng)點(diǎn)P滿足NPAB=30°,則點(diǎn)P的軌跡是（）

A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線的

一支

【答案】C

【解析】

由題可知，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間中，滿足條件的AP繞AB旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐，用一個(gè)與圓

錐高成60。角的平面截圓錐，所得圖形為橢圓.故選C.

【考點(diǎn)定位】1.圓錐曲線的定義；2.線面位置關(guān)系.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐曲線的定義以及空間線面的位置關(guān)系.解答本題時(shí)要能夠根據(jù)

給出的線面位置關(guān)系，通過(guò)空間想象能力，得到一個(gè)無(wú)限延展的圓錐被一個(gè)與之成60。角的平

面截得的圖形是橢圓的結(jié)論.本題屬于中等題，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力以及對(duì)圓錐曲線

的定義的理解.

8.12015高考湖北，文5】4,4表示空間中的兩條直線，若P：44是異面直線；q：4，，2不相

交，貝IJ()

A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C.p是q的充分必要條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

【答案】A.

【解析】若P：4是異面直線，由異面直線的定義知，/“4不相交，所以命題q：乙/不相交

成立，即p是q的充分條件；反過(guò)來(lái)，若q：4,4不相交，貝"4可能平行，也可能異面，所

以不能推出4人是異面直線，即p不是q的必要條件，故應(yīng)選A.

【考點(diǎn)定位】本題考查充分條件與必要條件、異面直線，屬基礎(chǔ)題.

【名師點(diǎn)睛】以命題與命題間的充分條件與必要條件為契機(jī)，重點(diǎn)考查空間中直線的位置關(guān)

系，其解題的關(guān)鍵是弄清誰(shuí)是誰(shuí)的充分條件誰(shuí)是誰(shuí)的必要條件，正確理解異面直線的定義，

注意考慮問(wèn)題的全面性、準(zhǔn)確性.

9>[2015高考新課標(biāo)1,文11]圓柱被一個(gè)平面截去一部分?

后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中I_|t/

的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為X/

[6+20萬(wàn)，貝卜=()k---------4-J-I

(A)1(B)2r

(C)4(D)8—

0

【答案】B

【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半

徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為+乃7'2廠+萬(wàn)廠2+2r*2尸=5萬(wàn)「2+4/=16+

2

2°不，解得r=2,故選B.

【考點(diǎn)定位】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；球的表面積公式；圓柱的測(cè)面積公式

【名師點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖的識(shí)別，是常規(guī)提，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三三視圖問(wèn)題，

先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖利側(cè)視圖，確定組合體的形狀，再根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，

寬相等，高平齊”的法則組合體中的各個(gè)量.

10.[2015高考福建，文9]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

的表面積等于（）

A.8+272B.11+272C.14+28D.15

【答案】B

【解析】由三視圖還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，

高為2的直四棱柱，且底面直角梯形的兩底分別為1,2,直角腰長(zhǎng)為1,

斜腰為V2.底面積為2XLX3=3,側(cè)面積為2+2+4+2啦=8+20,

2

所以該幾何體的表面積為11+2拒，故選B.

【考點(diǎn)定位】三視圖和表面積.

【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖和表面積計(jì)算，關(guān)鍵在于根據(jù)三視圖還原體，要掌握常見幾

何體的三視圖，比如三棱柱、三棱錐、圓錐、四棱柱、四棱錐、圓錐、球、圓臺(tái)以及其

組合體，并且要弄明白幾何體的尺寸跟三視圖尺寸的關(guān)系；有時(shí)候還可以利用外部補(bǔ)形

法，將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體或者正方體等常見幾何體，屬于中檔題.

11.12015高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為，將該三角形繞其斜邊所

在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）

（）2丘兀（）4立兀

【答案】B

【解析】由題意知，該等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為28,斜邊上的高為后，所得旋轉(zhuǎn)體為

同底等高的全等圓錐，所以，其體積為:萬(wàn)x（后=￡號(hào)，，故選3.

【考點(diǎn)定位】1.旋轉(zhuǎn)體的兒何特征；2.兒何體的體積.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的幾何特征及幾何體的體積計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵，是理解

所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計(jì)算體枳所需要的幾何量.

本題屬于基礎(chǔ)題，在考查旋轉(zhuǎn)體的幾何特征及幾何體的體積計(jì)算方法的同時(shí).，考查了考生的

空間想象能力及運(yùn)算能力，是“無(wú)圖考圖”的?道好題.

12.12015高考湖南，文10】某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過(guò)切削，加工成一個(gè)

體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料

的利用率為（材料利用率=新工件的體枳/原工件的體積）（)

8%824(近-Ip8(72-I)2

A、—C、D、

9兀n

側(cè)視圖

【答案】A

x2一〃

【解析】由題可得,問(wèn)題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積，如圖所示，則有「丁C=2-2x,

所以長(zhǎng)方體體積為/&=（2x門2-2用=4x?心（2-2xA4|"十"十’一八?,當(dāng)且僅當(dāng)

3)

32

2”16

x=2-2x,gPx=-時(shí)，等號(hào)成立，故利用率為二二^——=—>故選A.

39T

【考點(diǎn)定位】三視圖、基本不等式求最值、圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體

【名師點(diǎn)睛】運(yùn)用基本不等式求最值要緊緊抓住“一正二定三相等”條件，本題“和為定”

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.空間想象能力是解決三視圖的關(guān)鍵，可從長(zhǎng)方體三個(gè)側(cè)面進(jìn)行想象幾何體.

求組合體的體枳，關(guān)鍵是確定組合體的組成形式及各部分幾何體的特征，再結(jié)合分割法、補(bǔ)

體法、轉(zhuǎn)化法等方法求體積.

13.【2015高考北京，文7】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為（）

C.垂）D.2

俯視圖

【答案】C

【解析】四棱錐的直觀圖如圖所示:

由三視圖可知，5C_L平面ABCD,SA是四棱錐最長(zhǎng)的棱，

SA=yJsC2+AC2=ylSC2+AB2+BC2=V5,故選C.

【考點(diǎn)定位】三視圖.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三視圖，屬于容易題.解題時(shí)一定要抓住三視圖的特點(diǎn)，否

則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計(jì)算出幾何體中最長(zhǎng)棱的

棱長(zhǎng)即可.

14【2015高考安徽，文9】?個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）

正(主)?BA(￡)

A

人

mtn

?(9)?明

(A)1+73(B)I+2V2(C)2+百(D)272

【答案】C

【解析】由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖，如卜一圖所示：

其中側(cè)面以CJ_底面A8C,且△P4CgAABC,由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知：

PA=PC=A8=8C=五，取4c中點(diǎn)0,連接P0,3。，則放AP08中，

20=8。=1=28=拒.,.S=2-"-2+L?2?2=2+石，故選C.

42

【考點(diǎn)定位】本題主要考查空間兒何體的三視圖、錐體表面積公式.

【名師點(diǎn)睛】在利用空間幾何體的三視圖求幾何體的體積或者表面積時(shí)，一定要正確還原幾

何體的直觀圖，然后再利用體積或表面積公式求之；本題主要考查了考生的空間想象力和基

本運(yùn)算能力.

[2015高考上海，文6]若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為a,且其體積為16百，則

a=.

【答案】4

i

【解析】依題意，一XQXIX——XQ=16百，解得a=4.

22

【考點(diǎn)定位】等邊三角形的性質(zhì)，正三棱柱的性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】正三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面.柱體的體積等于底面積乘以高.

邊長(zhǎng)為。的正三角形的面積為—a2.

4

15.[2015高考天津，文10]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m)，則該幾何體的體積為

m'.

【解析】該幾何體是由兩個(gè)高為1的圓錐與一個(gè)高為2的圓柱組合而成,所以該幾何體的體積

為2x1x7txl+7ix2=S(m3).

33

【考點(diǎn)定位】本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.

【名師點(diǎn)睛】由于三視圖能有效的考查學(xué)生的空間想象能力，所以以三視圖為載體的立體幾何

題基本上是高考每年必考內(nèi)容,高考試題中三視圖一般常與幾何體的表面積與體積交匯.由三

視圖還原出原幾何體，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

16.【2015高考四川，文14]在三樓住A8C—481G中，ZBAC=90°,其正視圖和側(cè)視圖都

是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是AB,

BC,BiQ的中點(diǎn)，則三棱錐P—4MN的體積是.

【答案】—

24

【解析】由題意，三棱柱是底面為直角邊長(zhǎng)為1的

等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，底面積為L(zhǎng)

2

如圖，因?yàn)锳4〃PN,故A4〃面PMN,

AM

故三棱錐P—AiMN與三棱錐P—AMN體積相等,

三棱錐P—AMN的底面積是三棱錐底面積的一，高為1

4

故三棱錐P—AiMN的體積為』x'x4=J-

32424

【考點(diǎn)定位】本題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖及空間線面關(guān)系、三棱柱與三棱錐

的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、圖形分割與轉(zhuǎn)換的能力，考查基本運(yùn)算能力.

【名師點(diǎn)睛】解決本題，首先要正確畫出三棱柱的直觀圖，包括各個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)字母所在位置,

結(jié)合條件，三棱錐P—4MN的體積可以直接計(jì)算，但轉(zhuǎn)換為三棱錐P—AMN的體積，使得計(jì)

算更為簡(jiǎn)便，基本上可以根據(jù)條件直接得出結(jié)論.屬于中檔偏難題.

17.[2015高考安徽，文19]如圖，三棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC,

PA=1,AB=1,AC=2,ZBAC=60°.

(I)求三棱錐P-ABC的體積；

(II)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M,使得并求工的PM值.

【解析】

(I)解：由題設(shè)AB=1,AC=2,ABAC=60"

1J3

可得S&BC=2，A8AC-sin60°=^-

22

由PAJ.面48c

可知PA是三棱錐P-ABC的高，又PA=1

1

所以三棱錐P-ABC的體積V=--S-PA=—

3MHC6

(H)證：在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)8作8N1AC,垂足為N,過(guò)N作MNHPA交.PC于M,

連接8M.

由24J?面ABC知PA_LAC,所以MNJ,AC.由于BNc〃N=N,故AC上面M6N,

又BMu面MBN,所以

13

在直角A8AN中，AN=ABcosZBAC=-,仄而NC=AC-AN=3.由MN〃PA,得

22

PMAN_I

MCNC-3-

【考點(diǎn)定位】本題主要考查錐體的體積公式、線面垂直的判定定理和其性質(zhì)定理.

【名師點(diǎn)睛】本題將正弦定理求三角形的面積巧妙地結(jié)合到求錐體的體積之中，本題的第（H）

問(wèn)需要學(xué)生構(gòu)造出線面垂直，進(jìn)而利用性質(zhì)定理證明出面面垂直，本題考查了考生的空間想

象能力、構(gòu)造能力和運(yùn)算能力.

18.12015高考北京，文18］（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VABJ.

平面ABC,AVAB為等邊三角形，

AC_LBC且AC=BC=J5,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).

（I）求證：VB〃平面MOC；

(II)求證：平面MOC，平面VAB；

(III)求三棱錐V-ABC的體積.

【答案】(I)證明詳見解析；(II)證明詳見解析；(IH)

【解析】

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體

積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力'空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)

算能力.(D在三角形ABV中，利用中位線的性質(zhì)得,最后直接利用線面平行的判定得到結(jié)論;

(II)先在三角形ABC中得到。。，.旬，再利用面面垂直的性質(zhì)得。C_L平面VAB,最后利用面面垂直

的判定得出結(jié)論，(HI)將三棱錐進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化，利用尸.；十=4_?,先求出三角形VAB的面積，由

于。平面VAB,所以O(shè)C為錐體的高，利用錐體的體積公式計(jì)算出體積即可.

試題解析：(I)因?yàn)椤?，迎分別為AB,Vh的中點(diǎn)，

所以。出”“力.

又因?yàn)镻3U平面MOC,

所以「3"平面MOC.

(II)因?yàn)锳C=8。，。為AB的中點(diǎn)，

所以。CJ_A8.

又因?yàn)槠矫鎂AB±平面ABC,且。Cu平面ABC,

所以。CJ_平面VAB.

所以平面MOCL平面VAB.

(HI)在等腰直角三角形AC8中，AC=BC=C,

所以AB=2,。。=1.

所以等邊三角形VAB的面積SAVAB=G.

又因?yàn)?。。_1_平面丫人8,

所以三棱錐C-VAB的體積等于-3xOCxSAVVAll=—3.

又因?yàn)槿忮FV-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，

n

所以三棱錐V-ABC的體積為—.

3

考點(diǎn)：線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公

式.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線面平行、面面垂直和幾何體的體積，屬于中檔題.證明線

面平行的關(guān)鍵是證明線線平行，證明線線平行常用的方法是三角形的中位線和構(gòu)造平行四邊

形.證明面面垂直的關(guān)鍵是證明線面垂直，證明線面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直

得到線面垂直一定要注意找兩個(gè)面的交線，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.求幾何體的體積的方法主

要有公式法、割補(bǔ)法、等積法等，本題求三棱錐的體積，采用了等積法.

19.12015高考福建，文20］如圖，A8是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓。上異于4,8的點(diǎn)，PO垂

直于圓O所在的平面，且PO=OB=1.

(I)若。為線段AC的中點(diǎn)，求證AC_L平面PDO；

(II)求三棱錐P-A8C體積的最大值；

(III)若BC=正，點(diǎn)E在線段P8上，求CE+OE的最小值.

【答案】（I）詳見解析；（II）（III）Y1±

32

【解析】解法一：（I）在AAOC中，因?yàn)镺A=OC,D為AC的中點(diǎn)，

所以ACLOD.又PO垂直于圓O所在的平面，所以PO_LAC.

因?yàn)镈OnPO=O,所以AC,平面PDO.

（II）因?yàn)辄c(diǎn)C在圓0匕

所以當(dāng)COJ_AB時(shí)，C到AB的距離最大，且最大值為1.

又AB=2,所以AABC面積的最大值為，x2xl=l.

2

又因?yàn)槿忮FP-ABC的高PO=1,故三棱錐P-ABC體積的最大值為-xlxl=-.

33

（川）在APOB中，PO=OB=1,ZPOB=90\所以PB=Jf+F=亞.

同理PC=J^,所以PB=PC=BC.

在三棱錐P—ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC'P,使之與平面ABP共面，如圖

所示.

當(dāng)O,E,C'共線時(shí)，CE+0E取得最小值.

又因?yàn)?P=0B,C'P=C'B,所以0C'垂直平分PB,

即E為PB中點(diǎn).從而0C'=0E+EC'=Y2+逅=詆+、,

222

解法二：（I）、（II）同解法一.

（川）在APOB中，PO=OB=1,ZPOB=90°,

所以NOPB=45°,PB=Vl2+12=V2.同理PC=J^.

所以PB=PC=BC,所以NCPB=60°.

在三棱錐P—ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC'P,使之與平面ABP共面，如圖

所示.

當(dāng)O,E,C'共線時(shí)，CE+0E取得最小值.

所以在AOC'P中，由余弦定理得：

OC,2=l+2-2xlxV2xcos(45^+60°)

fV21V2

1+2-2V2-------X----------------X

222

=2+6

從而0C'=12+百=一.

所以CE+OE的最小值為&+

2

【考點(diǎn)定位】1、直線和平面垂直的判定；2、三棱錐體積.

【名師點(diǎn)睛】證明直線和平面垂直可以利用判定定理，即線線垂直到線面垂直；也可以利用

面面垂直的性質(zhì)定理，即面面垂直到線面垂直；決定棱錐體積的量有兩個(gè)，即底面積和高，

當(dāng)研究其體積的最值問(wèn)題時(shí)，若其中有一個(gè)量確定，則只需另??個(gè)量的最值；若兩個(gè)量都不

確定，可通過(guò)設(shè)變量法，將體積表示為變量的函數(shù)解析式，利用函數(shù)思想確定其最值；將空

間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一個(gè)平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間距離

最短求解.

20.【2015高考廣東，文18](本小題滿分14分)如圖3,三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形

ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,

AB=6,BC=3.

(1)證明：BC〃平面PDA；

(2)證明：BC1PD；

(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.

IK

'-----------------------H

國(guó)3

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）—.

2

【解析】

試題分析：（1）由四邊形ABCD是長(zhǎng)方形可證BC〃AD,進(jìn)而可證BC〃平面PDA；（2）先

證BC1CD,再證BCJ?平面PDC,進(jìn)而可證BC1PD；（3）取CD的中點(diǎn)E,連結(jié)AE

和PE,先證PE_L平面ABCD,再設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為/?,利用

V：極錐C-PDA=V枝錐P_ACD可得〃的值，進(jìn)而可得點(diǎn)C到平面PDA的距離?

試題解析：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BC〃AD,因?yàn)锽C（Z平面PDA,ADu

平面PDA,所以BC〃平面PDA

（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BC_LCD,因?yàn)槠矫鍼DC_L平面ABCD,平面

PDCn平面ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以BCJ.平面PDC,因?yàn)镻Du平面

*3

（3）取CD的中點(diǎn)E,連結(jié)AE和PE,因?yàn)镻D=PC,所以PEJ.CD,在RtAPED中，

PE=VPD2-DE2

=^42-32=V7,因?yàn)槠矫鍼DC_L平面ABCD,平面PDC口平面ABCD=CD,PEu平

面PDC,所以PE_L平面ABCD,由（2）知：BC_L平面PDC,由（1）知：BC//AD,

所以ADJ.平面PDC,因?yàn)镻Du平面PDC,所以AD_LPD,設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離

為h，因?yàn)閂_：極錐c_PDA=V.：棱維P-ACD，所以§S^PDA?'=§S.ACD?PE，即

1x3x6x77

cDC—,所以點(diǎn)到平面的距離是亞

/LSAACD，PE：2CPDA

SAPDA-X3X422

2

【考點(diǎn)定位】1、線面平行：2、線線垂直；3、點(diǎn)到平面的距離.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線面平行、線線垂直和點(diǎn)到平面的距離，屬于中

檔題.證明線面平行的關(guān)鍵是證明線線平行，證明線線平行常用的方法是三角形

的中位線和構(gòu)造平行四邊形.證明線線垂直的關(guān)鍵是證明線面垂直，證明線面垂

直可山面面垂直得到，但山面面垂直得到線面垂直一定要注意找兩個(gè)面的交線，

否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.點(diǎn)到平面的距離是轉(zhuǎn)化為幾何體的體積問(wèn)題，借助等積法

來(lái)解決.

21.12015高考湖北，文20】《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四

棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉腌.在如圖所示的陽(yáng)馬

P-A8C。中，側(cè)棱PO_L底面A8c。，且PO=CC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE,BD,BE.

(I)證明：平面P8C.試判斷四面體EBC。是

否為鱉席，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

V

(n)記陽(yáng)馬P-A8c。的體積為匕，四面體E8C。的體積為匕，求」的值.

*2

【答案】(I)因?yàn)镻O_L底面ABC。，所以尸O_LBC.由底面A8CO為長(zhǎng)方形，有8C_LCO,

而P￡)nCO=。，所以8CJ.平面PC。.OEu平面PCO,所以8clOE.又因?yàn)镻D=CD,

點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE1PC.而PCp|8C=C,所以。EJL平面P8c.四面體EBC。是一

個(gè)鱉麻(II)乜=4.

V,

【解析】(I)因?yàn)榈酌?8C。，所以POLBC.山底面4BC。為長(zhǎng)方形，有8C_LC。，

而PZ)nCO=。，所以BC_L平面PCO.CEu平面PCO,所以8C_LOE.又因?yàn)镻Z)=C。，

點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以CEJ.PC.而PCD8C=C,所以￡>E_L平面尸8c.由BC_L平面

PCD,OEJ_平面尸8C,可知四面體E8CO的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體E8CO是一

個(gè)鱉腌，其四個(gè)面的直角分別是/BCD,ZBCE,/DEC,NDEB.

(II)由已知，尸。是陽(yáng)馬P-A8CD的高，所以K=1S“址/。=,8(7(。尸。；由(I)

133

知，OE是鱉腌D-BCE的高，8c_LCE,所以匕=15Ase￡-DE=1BC-CE-OE.在RtAPOC

中，因?yàn)镻O=CO,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE=CE=—CD,于是

2

V,_gBC,CD,PD_20PD_4

匕-BCCEDECEDE

6

【考點(diǎn)定位】本題考查直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的性質(zhì)定理和簡(jiǎn)單幾何

體的體積，屬中高檔題.

【名師點(diǎn)睛】以《九章算術(shù)》為背景，給予新定義，增添了試題的新穎性，但其實(shí)質(zhì)仍然是

考查線面垂直與簡(jiǎn)單幾何體的體積計(jì)算，其解題思路：第一問(wèn)通過(guò)線線、線面垂直相互之間

的轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明，第二問(wèn)關(guān)鍵注意底面積和高之比，運(yùn)用錐體的體積計(jì)算公式進(jìn)行求解.結(jié)合

數(shù)學(xué)史料的給予新定義，不僅考查學(xué)生解題能力，也增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣培養(yǎng)，為空間立體幾

何注入了新的活力.

22.[2015高考湖南，文18]（本小題滿分12分）如圖4,直三棱柱45C-4用6的底面是

邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,尸分別是6c,cq的中點(diǎn)。

（I）證明：平面HEF,平面g8cC；

（II）若直線與平面A所成的角為45°,求三棱錐尸一AEC的體積。

【解析】

試題分析：（I）首先證明AE1BC,得到平面BfCC，利用面面垂直

的判定與性質(zhì)定理可得平面AEFJ.平面A8CG；（II）設(shè)AB的中點(diǎn)為D,證明直線NC4Q直

線AC與平面所成的角，由題設(shè)知NC4Q=45。，求出棱錐的高與底面面積即可求

解幾何體的體積.

試題解析：(I)如圖，因?yàn)槿庵侵比庵?/p>

所以又E是正三角形ABC的邊8C的中點(diǎn)，

所以AE_L8C,因此AEJ.平面B13CG，而AEu平面AEF,

所以平面AE尸!平面B.BCC,。

(II)設(shè)A8的中點(diǎn)為D,連接因?yàn)锳48C是正三角形，所以CD_LA8,又三棱

柱ABC-A&G是直三棱柱，所以COLA4,因此81平面448#,于是NC4Q直線

4c與平面4A8g所成的角，由題設(shè)知ZCA,D=45°,

所以AQ=CO=—AB=V3,

3

_______________I萬(wàn)

在用A4AQ中，A4]=/廳_.02=廳^=0,所以尸。=544=手

故三棱錐尸-AEC的體積V=1SAECX尸C=」xY3xY2=如。

3we32212

【考點(diǎn)定位】柱體、椎體、臺(tái)體的體積；面面垂直的判定與性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】證明面面垂直的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形

中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ).由于''線線垂直線面垂

直"''面面垂直"之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過(guò)程圍繞著線面垂直這個(gè)核心而展開，這是

化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在.求錐的體積關(guān)鍵在于確定其高，即確定線面垂直.

23.【2015高考山東，文18]如圖，三棱臺(tái)OEF—A8C中，AB=2DE,G,H分別為

AC,8C的中點(diǎn).

⑴求證：BD//平面FGH；

(II)若CFLBC,A8L8C,求證：平面8C。J"平面EG”.

【答案】證明見解析

【解析】

(I)證法一：連接。G,CD設(shè)。cGF=M，連接M”,在三棱臺(tái)。環(huán)一48。中,

AB=2DE,G分別為AC的中點(diǎn)，可得DF//GC,DF=GC,所以四邊形OECG是平行

四邊形，則M為CO的中點(diǎn)，又“是8c的中點(diǎn)，所以HM//BD,

又“Mu平面FG",BDU平面FGH,所以8。//平面FGH.

證法二：在三棱臺(tái)OEF—ABC中，由8C=2EF,”為8C的中點(diǎn),

可得BHHEF,BH=EF,所以HBEF為平行四邊形，可得BEIIHF.

在MB。中，G,H分別為AC,3c的中點(diǎn),

所以GH//AB,又GHCHF=H,

所以平面FGH//平面ABE。,

因?yàn)锽Ou平面ABE。，

所以BD//平面FGH.

(II)證明：連接因?yàn)镚,"分別為AC,BC的中點(diǎn)，所以G/7//48,由A8_LBC,得

GH1BC,又“為8c的中點(diǎn)，所以￡尸//"(7,石/=”。,因此四邊形石尸?！笔瞧叫兴倪?/p>

形,所以CF//HE.

又所以HE上BC.

又HE,GHu平面EGH,HEcGH=H,所以BCJ_平面EG",

又BCu平面BCD,所以平面平面EG".

【考點(diǎn)定位】1.平行關(guān)系；2.垂直關(guān)系.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的特征及空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的

平行關(guān)系和垂直關(guān)系，從證明方法看，起點(diǎn)低，入口寬，特別是第一小題.證明過(guò)程中，關(guān)鍵

是注意構(gòu)造線線的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，特別是注意利用平行四邊形，發(fā)現(xiàn)線線關(guān)系，進(jìn)一

步得到線面關(guān)系、面面關(guān)系.

本題是一道能力題，屬于中等題，重點(diǎn)考查兩空間幾何體的特征及空間直線、平面的平行關(guān)

系和垂直關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的邏輯推理能力、空間想象能力思維的嚴(yán)密性、函

數(shù)方程思想及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

24.【2015高考陜西，文18］如圖1,在直角梯形43C。中，

JI1

AD//BC,ZBAD=-,AB=BC=-AD=a,E是AO的中點(diǎn)，。是OC與8E的交點(diǎn)，

22

將A48E沿BE折起到圖2中的位置，得到四棱錐A,-BCDE.

(I)證明：。。_1_平面4。。；

(II)當(dāng)平面ABE，平面8CDE時(shí)，四棱錐4—6COE的體積為36啦，求a的值.

【答案】(I)證明略，詳見解析；(II)a=6.

【解析】

14

試題分析：(I)在圖1中，因?yàn)锳8=8C=-AO=a,E是AO的中點(diǎn)，ZBAD=-,所

22

以四邊形ABCE是正方形，故又在圖2中，BE1AtO,BE1OC,從而

BEJ.平面4。。，又DE//BCRDE=BC,所以CD〃BE,即可證得C￡>J_平面

A,OC；

(II)由已知，平面48EJ,平面8CDE,且平面A18￡n平面8C￡>E=8E,又由(I)知，

At01BE,所以4。，平面8CDE,即4。是四棱錐4—8COE的高，易求得平行

四邊形BCDE面積S=BCAB=a2,從而四棱錐A.-BCDE的為

1B5

V=—xSxA0=—a，,由—a3—36^2,得。=6.

3166

171

試題解析：⑴在圖1中，因?yàn)?=-40=a,E是AO的中點(diǎn)ZBAD=—，所以

22

BE1AC,

即在圖2中，BELA{0,BELOC

從而BE±平面A0C

又CD//BE

所以CDJ_平面A0C.

(II)由已知,平面46EJ.平面8cDE,

且平面ABEfl平面BCDE=BE

又由(I)知，A}01BE,所以4。J_平面8cOE,

即4。是四棱錐A-BCDE的高，

由圖1可知，A,O=—AB^—a,平行四邊形BCOE面積5==

122

從而四棱錐4一8COE的為

V=—xSxA.O=-x(z2x^-a=^-?3,

31326

由注/=36&,得。=6.

6

【考點(diǎn)定位】1.線面垂直的判定；2.面面垂直的性質(zhì)定理；3.空間兒何體的體積.

【名師點(diǎn)睛】1.在處理有關(guān)空間中的線面平行、線面垂直等問(wèn)題時(shí)，常常借助于相關(guān)的判定定

理來(lái)解題，同時(shí)注意恰當(dāng)?shù)膶?wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；2.求幾何體的體積的方法主要有公式法、割

補(bǔ)法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等，本題是求四棱錐的體積，可以接使用公式法.

25.[2015高考四川，文18]一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

(1)請(qǐng)按字母下，G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點(diǎn)處(不需要說(shuō)明理由)

(II)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說(shuō)明你的結(jié)論.

(III)證明：直線。FJ■平面BEG

【解析】(I)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示

D

（II評(píng)面BEG〃平面ACH.證明如下

因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體，所以BC〃尸G,BC=FG

又FG〃EH,FG=EH,所以BC〃EH,BC=EH

于是BCEH為平行四邊形

所以BE//CH

又CHU平面ACH,BEZ平面ACH,

所以8E〃平面ACH

同理BG〃平面AC”

又BEdBG=B

所以平面BEG〃平面ACH

（HI）連接FH

因?yàn)锳BCD—EFGH為正方體，所以DH_L平面EFGH

因?yàn)镋GU平面EFGH,所以?！盻LEG

又EGJLFH,EGCFH=O,所以￡G_L平面BFHD

又OFU平面BFDH,所以DFLEG

同理DF1BG

又￡GCBG=G

所以DF_L平面BEG.

【考點(diǎn)定位】本題主要考查簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖、空間線面平行與垂直的判定與性質(zhì)等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力.

【名師點(diǎn)睛】本題引入了幾何體表面的折展問(wèn)題，對(duì)空間想象能力要求較高.立體幾何的

證明一定要詳細(xì)寫出所有步驟，列舉（推證）出所有必備的條件，如在（H）中證明兩個(gè)平面平行

時(shí)，除了找到兩組平行線外，一定不能忘掉“相交”這個(gè)條件；同樣，（III）中證明線面垂直，

也不能忘掉“EGnBG=G”這個(gè)條件.屬于中檔題.

26.[2015高考新課標(biāo)1,文18]（本小題滿分12分）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與

BD交點(diǎn),BE1^^ABCD,

(I)證明：平面AEC，平面；

(II)若NABC=120°,AE1EC,三棱錐E—ACO的體積為逅，求該三棱錐的側(cè)面積.

3

【答案】(I)見解析(II)3+2法

【解析】

試題分析：(I)由四邊形A8CD為菱形知4cABD,由8￡人平面A8CD知ACABE,由線面垂直

判定定理知ACA平面BED,由面面垂直的判定定理知平面A