PAGEPAGE4北京市東城區(qū)2023-2023學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)〔一〕高三數(shù)學(xué) 〔理科〕第一卷〔選擇題共40分〕一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。〔1〕全集，集合，那么集合為 〔A〕 〔B〕 〔C〕〔D〕〔2〕為平行四邊形，假設(shè)向量，，那么向量為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔3〕圓的方程為，那么該圓圓心到直線〔為參數(shù)〕的距離為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔4〕某游戲規(guī)那么如下：隨機(jī)地往半徑為1的圓內(nèi)投擲飛標(biāo)，假設(shè)飛標(biāo)到圓心的距離大于，那么成績(jī)?yōu)榧案?；假設(shè)飛標(biāo)到圓心的距離小于，那么成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀；假設(shè)飛標(biāo)到圓心的距離大于且小于，那么成績(jī)?yōu)榱己?，那么在所有投擲到圓內(nèi)的飛標(biāo)中得到成績(jī)?yōu)榱己玫母怕蕿椤睞〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕數(shù)列中，，，，那么數(shù)列的前項(xiàng)和等于〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔6〕，分別是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線和圓：的一個(gè)交點(diǎn)為，且，那么雙曲線的離心率為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕〔7〕定義在上的函數(shù)的對(duì)稱軸為，且當(dāng)時(shí)，.假設(shè)函數(shù)在區(qū)間〔〕上有零點(diǎn)，那么的值為〔A〕或〔B〕或〔C〕或〔D〕或〔8〕向量，，是坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)，且方向是沿的方向繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到的，那么稱經(jīng)過(guò)一次變換得到.現(xiàn)有向量經(jīng)過(guò)一次變換后得到，經(jīng)過(guò)一次變換后得到，…，如此下去，經(jīng)過(guò)一次變換后得到.設(shè)，，，那么等于〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕第二卷〔共110分〕二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分?！?〕復(fù)數(shù)的虛部是.〔10〕的展開式中的系數(shù)是．〔11〕如圖是甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)入高中以來(lái)次體育測(cè)試成績(jī)的莖葉圖，那么甲次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)是，乙次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)與中位數(shù)之差是．〔12〕如圖，與圓相切于，半徑，交于，假設(shè),，那么，．〔13〕有甲、乙、丙在內(nèi)的6個(gè)人排成一排照相，其中甲和乙必須相鄰，丙不排在兩頭，那么這樣的排法共有種．〔14〕數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如下圖的三角形形狀，其中每一行比上一行增加兩項(xiàng)，假設(shè)，那么位于第10行的第8列的項(xiàng)等于，在圖中位于．〔填第幾行的第幾列〕三、解答題：本大題共6小題，共80分。解容許寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。〔15〕〔本小題共13分〕在△中，三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．〔Ⅰ〕求角；〔Ⅱ〕假設(shè)，求的最大值．〔16〕〔本小題共14分〕如圖，是直角梯形，且，平面平面，，，，是的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求平面與平面所成銳二面角大小的余弦值．〔17〕〔本小題共13分〕某班聯(lián)歡會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，現(xiàn)有六張分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字的形狀相同的卡片，其中標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的卡片是有獎(jiǎng)卡片，且獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)與卡片上所標(biāo)數(shù)字相同，游戲規(guī)那么如下：每人每次不放回抽取一張，抽取兩次.〔Ⅰ〕求所得獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)到達(dá)最大時(shí)的概率；〔Ⅱ〕記獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.〔18〕〔本小題共14分〕函數(shù)，〔為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底〕．〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，求；〔Ⅱ〕假設(shè)在時(shí)取得極小值，試確定的取值范圍；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的條件下，設(shè)由的極大值構(gòu)成的函數(shù)為，將換元為，試判斷曲線是否能與直線〔為確定的常數(shù)〕相切，并說(shuō)明理由．〔19〕〔本小題共13分〕橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為．〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕過(guò)原點(diǎn)的兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出這個(gè)定值．〔20〕〔本小題共13分〕設(shè)是由個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記作：.其中稱為數(shù)組的“元〞，稱為的下標(biāo).如果數(shù)組中的每個(gè)“元〞都是來(lái)自數(shù)組中不同下標(biāo)的“元〞，那么稱為的子數(shù)組.定義兩個(gè)數(shù)組，的關(guān)系數(shù)為.〔Ⅰ〕假設(shè)，，設(shè)是的含有兩個(gè)“元〞的子數(shù)組，求的最大值；〔Ⅱ〕假設(shè)，，且，為的含有三個(gè)“元〞的子數(shù)組，求的最大值；〔Ⅲ〕假設(shè)數(shù)組中的“元〞滿足.設(shè)數(shù)組含有四個(gè)“元〞，且，求與的所有含有三個(gè)“元〞的子數(shù)組的關(guān)系數(shù)的最大值.北京市東城區(qū)2023-2023學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)〔一〕數(shù)學(xué)參考答案〔理科〕一、選擇題〔本大題共8小題，每題5分，共40分〕〔1〕B〔2〕C〔3〕C〔4〕A〔5〕C〔6〕D〔7〕A〔8〕B二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕第行的第列注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得3分，第二個(gè)空填對(duì)得2分．三、解答題〔本大題共6小題，共80分〕〔15〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)樵凇髦?，，所?又，所以.〔Ⅱ〕由余弦定理，因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.〔16〕〔共14分〕證明〔Ⅰ〕取的中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，．因?yàn)?，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形．所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．〔Ⅱ〕因?yàn)?，平面平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么軸在平面內(nèi)．由可得，，，．所以，，設(shè)平面的法向量為．由所以取，所以．又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為．所以．即平面與平面所成銳二面角大小的余弦值為．〔17〕〔共13分〕〔Ⅰ〕由題意可知所得獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)最大為10，概率為：．〔Ⅱ〕的可能取值是：．0246810所以．〔18〕〔共14分〕解：〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，．．所以．〔Ⅱ〕．令，得或．當(dāng)，即時(shí)，恒成立，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒(méi)有極小值；當(dāng)，即時(shí)，假設(shè)，那么．假設(shè)，那么．所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，假設(shè)，那么．假設(shè)，那么．此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)．綜上所述，使函數(shù)在時(shí)取得極小值的的取值范圍是．〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知當(dāng)，且時(shí)，，因此是的極大值點(diǎn)，極大值為．所以．．令．那么恒成立，即在區(qū)間上是增函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，，即恒有．又直線的斜率為，所以曲線不能與直線相切．〔19〕〔共13分〕解：〔I〕由題意知，，所以．因?yàn)樗裕裕詸E圓的方程為．〔II〕由題意,當(dāng)直線的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)，.又，兩點(diǎn)在橢圓上，所以，．所以點(diǎn)到直線的距離．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．由消去得．由．設(shè)，．所以，．因?yàn)?，所以．所以．即．所以．整理得，滿足．所以點(diǎn)到直線的距離為定值．〔20〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕依據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，取得最大值為2．〔Ⅱ〕①當(dāng)是中的“元〞時(shí)，由于的三個(gè)“元〞都相等及中三個(gè)“元〞的對(duì)稱性，可以只計(jì)算的最大值，其中．由，得．當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，到達(dá)最大值，于是．②當(dāng)不是中的“元〞時(shí)，計(jì)算的最大值，由于，所以．