學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2。1復(fù)數(shù)的加法和減法明目標(biāo)、知重點1。熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算法則。2。理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合"的思想解題.1.復(fù)數(shù)加法與減法的運算法則(1)設(shè)z1＝a＋bi,z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，則z1＋z2＝（a＋c)＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c)＋(b－d）i。（2)對任意z1，z2,z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋(z2＋z3)。2.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)向量分別為eq\o（OZ，\s\up6(→）)1，eq\o(OZ,\s\up6(→)）2,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1＋z2對應(yīng)的向量是eq\o(OZ，\s\up6（→)），與z1－z2對應(yīng)的向量是eq\o（Z2Z1,\s\up6（→)）。［情境導(dǎo)學(xué)]我們學(xué)習(xí)過實數(shù)的加減運算,復(fù)數(shù)如何進(jìn)行加減運算？我們知道向量加法的幾何意義，那么復(fù)數(shù)加法的幾何意義是什么呢？探究點一復(fù)數(shù)加減法的運算思考1我們規(guī)定復(fù)數(shù)的加法法則如下：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么（a＋bi)＋(c＋di）＝(a＋c)＋(b＋d)i。那么兩個復(fù)數(shù)的和是個什么數(shù)，它的值唯一確定嗎？答仍然是個復(fù)數(shù)，且是一個確定的復(fù)數(shù).思考2復(fù)數(shù)加法的實質(zhì)是什么？類似于實數(shù)的哪種運算方法？類比于復(fù)數(shù)的加法法則，試著給出復(fù)數(shù)的減法法則.答實質(zhì)是實部與實部相加，虛部與虛部相加，類似于實數(shù)運算中的合并同類項。(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c）＋(b－d)i.思考3實數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的加法滿足這些運算律嗎？并試著證明。答滿足,對任意的z1，z2,z3∈C，有交換律：z1＋z2＝z2＋z1.結(jié)合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.證明：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋（b＋d)i,z2＋z1＝（c＋a)＋(d＋b）i，顯然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）。例1計算：（1）（1＋2i）＋(－2＋i)＋（－2－i）＋(1－2i）；（2）1＋（i＋i2）＋(－1＋2i）＋（－1－2i）。解(1)原式＝(1－2－2＋1）＋(2＋1－1－2)i＝－2。(2）原式＝1＋（i－1）＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝（1－1－1－1)＋（1＋2－2)i＝－2＋i。反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法運算，就是實部與實部相加減做實部,虛部與虛部相加減作虛部,同時也把i看作字母，類比多項式加減中的合并同類項.跟蹤訓(xùn)練1計算:（1)2i－[（3＋2i)＋3(－1＋3i)］；（2）(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i（a，b∈R）。解(1）原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2）原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5）i。探究點二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對應(yīng),你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？答如圖，設(shè)eq\o(OZ1，\s\up6（→)），eq\o（OZ2,\s\up6（→))分別與復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di對應(yīng)，則有eq\o(OZ1，\s\up6（→））＝(a，b），eq\o（OZ2，\s\up6(→）)＝（c，d），由向量加法的幾何意義eq\o(OZ1，\s\up6（→）)＋eq\o(OZ2,\s\up6（→))＝(a＋c，b＋d）,所以eq\o(OZ1，\s\up6(→））＋eq\o(OZ2,\s\up6(→））與復(fù)數(shù)(a＋c)＋(b＋d）i對應(yīng),復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行。思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)z1－z2對應(yīng)的向量？答z1－z2可以看作z1＋（－z2)。因為復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行.所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1－z2對應(yīng)的向量(如圖）.圖中eq\o(OZ1，\s\up6(→))對應(yīng)復(fù)數(shù)z1，eq\o（OZ2，\s\up6（→))對應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則eq\o（Z2Z1,\s\up6（→）)對應(yīng)復(fù)數(shù)z1－z2。例2如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i。求：（1）eq\o(AO，\s\up6(→））表示的復(fù)數(shù);(2)eq\o（CA，\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)；(3)eq\o（OB,\s\up6（→）)表示的復(fù)數(shù)。解（1)因為eq\o(AO，\s\up6（→)）＝－eq\o（OA，\s\up6(→）），所以eq\o（AO，\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為－3－2i。(2)因為eq\o（CA,\s\up6（→)）＝eq\o（OA，\s\up6(→)）－eq\o（OC,\s\up6（→)），所以eq\o（CA，\s\up6（→)）表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－（－2＋4i)＝5－2i.（3)因為eq\o（OB，\s\up6(→））＝eq\o（OA，\s\up6（→))＋eq\o(OC,\s\up6(→）),所以eq\o(OB,\s\up6（→)）表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的運用.跟蹤訓(xùn)練2復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i,z3＝－1－2i，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點是一個正方形的三個頂點,求這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù).解設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z3在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為A，B,C,正方形的第四個頂點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi(x，y∈R),如圖.則eq\o(AD,\s\up6（→））＝eq\o(OD，\s\up6(→））－eq\o(OA,\s\up6（→)）＝(x＋yi)－（1＋2i)＝(x－1）＋（y－2)i，eq\o(BC，\s\up6（→）)＝eq\o（OC，\s\up6(→）)－eq\o(OB,\s\up6（→）)＝（－1－2i）－(－2＋i)＝1－3i.∵eq\o（AD，\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6（→）），∴(x－1）＋（y－2）i＝1－3i?！鄀q\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－1＝1,y－2＝－3）），解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，y＝－1)),故點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i.探究點三復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用例3已知｜z1｜＝｜z2|＝｜z1－z2|＝1，求｜z1＋z2|。解方法一設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），∵|z1｜＝|z2｜＝｜z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c）2＋（b－d)2＝1②由①②得2ac＋2bd＝1，∴｜z1＋z2|＝eq\r(a＋c2＋b＋d2)＝eq\r(a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd）＝eq\r（3)。方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點，z1，z2，z1＋z2對應(yīng)的點分別為A，B，C.∵｜z1｜＝｜z2|＝｜z1－z2｜＝1，∴△OAB是邊長為1的正三角形,∴四邊形OACB是一個內(nèi)角為60°，邊長為1的菱形，且｜z1＋z2|是菱形的較長的對角線OC的長,∴｜z1＋z2｜＝|eq\o(OC，\s\up6(→）)｜＝eq\r(｜\o（OA,\s\up6（→）)｜2＋|\o(AC,\s\up6（→））|2－2|\o(OA，\s\up6（→））｜|\o（AC，\s\up6(→）)|cos120°）＝eq\r(3).反思與感悟（1）設(shè)出復(fù)數(shù)z＝x＋yi（x，y∈R），利用復(fù)數(shù)相等或模的概念，可把條件轉(zhuǎn)化為x，y滿足的關(guān)系式，利用方程思想求解,這是本章“復(fù)數(shù)問題實數(shù)化”思想的應(yīng)用。（2）在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點為A，B，z1＋z2對應(yīng)的點為C，O為坐標(biāo)原點，則四邊形OACB①為平行四邊形；②若｜z1＋z2|＝|z1－z2｜,則四邊形OACB為矩形；③若|z1|＝｜z2|，則四邊形OACB為菱形;④若|z1｜＝｜z2｜且｜z1＋z2｜＝|z1－z2｜，則四邊形OACB為正方形。跟蹤訓(xùn)練3例3中，若條件變成｜z1|＝｜z2｜＝1，|z1＋z2｜＝eq\r(2）。求｜z1－z2｜。解由|z1|＝｜z2|＝1，｜z1＋z2｜＝eq\r(2)，知z1，z2,z1＋z2對應(yīng)的點是一個邊長為1的正方形的三個頂點，所求|z1－z2|是這個正方形的一條對角線長，所以｜z1－z2|＝eq\r（2）.1。復(fù)數(shù)z1＝2－eq\f(1，2)i，z2＝eq\f(1,2）－2i，則z1＋z2等于()A。0 B。eq\f（3,2）＋eq\f(5,2）iC。eq\f（5，2）－eq\f(5，2）i D.eq\f（5，2）－eq\f(3,2）i答案C解析z1＋z2＝(2＋eq\f（1，2）)－(eq\f(1,2）＋2）i＝eq\f(5，2）－eq\f（5，2）i。2。若z＋3－2i＝4＋i，則z等于(）A。1＋i B。1＋3iC。－1－i D。－1－3i答案B解析z＝4＋i－（3－2i）＝1＋3i。3。在復(fù)平面內(nèi)，O是原點，eq\o(OA,\s\up6（→）），eq\o(OC,\s\up6（→)），eq\o（AB，\s\up6（→)）表示的復(fù)數(shù)分別為－2＋i，3＋2i，1＋5i，則eq\o(BC,\s\up6(→））表示的復(fù)數(shù)為(）A.2＋8i B。－6－6iC。4－4i D.－4＋2i答案C解析eq\o（BC,\s\up6（→))＝eq\o(OC，\s\up6（→）)－eq\o(OB，\s\up6（→))＝eq\o（OC,\s\up6（→））－（eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o（OA,\s\up6（→）))＝4－4i.4。若|z－1｜＝｜z＋1｜，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在（)A。實軸上 B。虛軸上C.第一象限 D.第二象限答案B解析∵｜z－1|＝|z＋1|，∴點Z到(1，0)和(－1,0）的距離相等,即點Z在以（1,0)和(－1，0)為端點的線段的中垂線上。5。已知復(fù)數(shù)z1＝（a2－2）＋(a－4）i，z2＝a－（a2－2)i(a∈R），且z1－z2為純虛數(shù)，則a＝________.答案－1解析z1－z2＝（a2－a－2)＋（a－4＋a2－2）i(a∈R）為純虛數(shù),∴eq\b\