第6講離散型隨機(jī)變量的均值與方差分層訓(xùn)練

A級(jí)

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)操練時(shí)間：

30分鐘

滿(mǎn)分：60分一、填空題每題

5分，共

30分1．已知某一隨機(jī)變量

X的概率散布如下，且

EX＝，則

a的值為

________X

4

a

9P

b解析由散布列性質(zhì)知：＋＋b＝1，∴b＝∴EX＝4×＋a×＋9×＝∴a＝7答案72．2022·合肥模擬已知隨機(jī)變量X聽(tīng)從二項(xiàng)散布，且＝，＝，則二項(xiàng)散布的參數(shù)，EXDXn的值分別為_(kāi)_______．解析由題意得錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!答案6,3．已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，若X～B10，，則EY，DY分別是________．解析若兩個(gè)隨機(jī)變量，X知足一次關(guān)系式＝＋，b為常數(shù)，當(dāng)已知、時(shí)，YYaXbaEXDX則有EY＝aEX＋b，DY＝a2DX．由已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X因此，求得EY＝8－EX＝8－10×＝2，DY＝－12DX＝10××＝答案2；4．已知X的概率散布為X－101錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!則在下列式子中：①EX＝－錯(cuò)誤!；②DX＝錯(cuò)誤!；③PX＝0＝錯(cuò)誤!正確的序號(hào)是

________．解析

EX＝－1×錯(cuò)誤!＋1×錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!，故①正確．DX＝錯(cuò)誤!2×錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!2×錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!2×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，故②不正確．由散布列知③正確．答案①③5．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為b、c∈0,1，已知他投籃一次得分的均值為

a，得2分的概率為b，不得分的概率為ca、2，則錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!的最小值為_(kāi)_______．解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<錯(cuò)誤!，0<b<1又錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＝3＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!≥錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，當(dāng)且僅當(dāng)錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，即a＝2b時(shí)取“等號(hào)”又3a＋2b＝2，即當(dāng)a＝錯(cuò)誤!，b＝錯(cuò)誤!時(shí)，錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!的最小值為錯(cuò)誤!答案

錯(cuò)誤!6．有一批產(chǎn)品，其中有

12件正品和

4件次品，從中有放回地任取

3件，若

X表示取到次品的次數(shù)，則

DX＝________解析

∵X～B錯(cuò)誤!，∴DX＝3×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!答案

錯(cuò)誤!二、解答題每題15分，共30分7．某籃球隊(duì)與其他6支籃球隊(duì)依次進(jìn)行6場(chǎng)比賽，每場(chǎng)均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽勝場(chǎng)的事件是獨(dú)立的，并且勝場(chǎng)的概率是錯(cuò)誤!求這支籃球隊(duì)首次勝場(chǎng)前已經(jīng)負(fù)了兩場(chǎng)的概率；2求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中恰巧勝了3場(chǎng)的概率；3求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中勝場(chǎng)數(shù)的均值和方差．解1P＝錯(cuò)誤!2×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!所以這支籃球隊(duì)首次勝場(chǎng)前已負(fù)兩場(chǎng)的概率為錯(cuò)誤!；2∴P＝C錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!3錯(cuò)誤!3＝20×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!所以這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中恰勝3場(chǎng)的概率為錯(cuò)誤!；3由于ξ聽(tīng)從二項(xiàng)散布，即ξ～錯(cuò)誤!，B∴Eξ＝6×錯(cuò)誤!＝2，Dξ＝6×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!所以在6場(chǎng)比賽中這支籃球隊(duì)勝場(chǎng)的希望為2，方差為錯(cuò)誤!8．2022·鹽城調(diào)研有一種闖三關(guān)游戲的規(guī)則規(guī)定如下：用投擲正四面體骰子各面上分別有1,2,3,4點(diǎn)數(shù)的質(zhì)地平均的正四面體決定是否過(guò)關(guān)，在闖第nn＝1,2,3關(guān)時(shí)，需要拋擲n次骰子，當(dāng)n次骰子面朝下的點(diǎn)數(shù)之和大于n2時(shí)，則算闖此關(guān)成功，并且持續(xù)闖關(guān)，否則停止闖關(guān)．每次投擲骰子相互獨(dú)立．求僅闖過(guò)第一關(guān)的概率；記成功闖過(guò)的關(guān)數(shù)為X，求X的概率散布和均值．解1記“僅闖過(guò)第一關(guān)的概率”這一事件為A，則PA＝錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!2由題意，得X的取值有0,1,2,3，且PX＝0＝錯(cuò)誤!，PX＝1＝錯(cuò)誤!，PX＝2＝錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，PX＝3＝錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，即隨機(jī)變量的概率散布為X0123錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!所以EX＝0×錯(cuò)誤!＋1×錯(cuò)誤!＋2×錯(cuò)誤!＋3×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!分層訓(xùn)練

B級(jí)

創(chuàng)新能力提升1．2022·新課標(biāo)全國(guó)卷改編某各種子每粒抽芽的概率都為，現(xiàn)播種了

1000

粒，關(guān)于沒(méi)有抽芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)希望為_(kāi)_______．解析種子抽芽率為，不抽芽率為，每粒種子抽芽與否相互獨(dú)立，故設(shè)沒(méi)有抽芽的種子數(shù)為Y，則Y～B1000,，∴EY＝1000×＝100，故需補(bǔ)種的希望為EX＝2·EY＝200答案

2002．2022·揚(yáng)州調(diào)研簽盒中有編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中隨意取為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)希望為_(kāi)_______．

3支，設(shè)

X解析由題意可知，X能夠取3,4,5,6，PX＝3＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，PX＝4＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，PX＝5＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，PX＝6＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!由數(shù)學(xué)希望的定義可求得

EX＝答案3．2022·鎮(zhèn)江檢測(cè)有一批產(chǎn)品，其中有

12件正品和

4件次品，從中任取

3件，若

X表示取到次品的個(gè)數(shù)，則

EX＝________解析

X的取值為

0,1,2,3

，則PX＝0＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!；PX＝1＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!；PX＝2＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!；PX＝3＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!∴EX＝0×錯(cuò)誤!＋1×錯(cuò)誤!＋2×錯(cuò)誤!＋3×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!答案錯(cuò)誤!4．2022·浙江卷某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷．假定該畢業(yè)生獲得甲企業(yè)面試的概率為錯(cuò)誤!，獲得乙、丙兩企業(yè)面試的概率均為，且三個(gè)企業(yè)是否讓其面試是相互獨(dú)立的．記X為該畢業(yè)生獲得面試的企業(yè)個(gè)數(shù)．若PX＝0＝錯(cuò)誤!，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)希望＝________EX解析由已知條件PX＝0＝錯(cuò)誤!即1－2×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，解得＝錯(cuò)誤!，隨機(jī)變量X的取值分別為0,1,2,3PX＝0＝錯(cuò)誤!，PX＝1＝錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!2＋2×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!2＝錯(cuò)誤!，PX＝2＝2×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!2＝錯(cuò)誤!，PX＝3＝錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!2＝錯(cuò)誤!因此隨機(jī)變量X的散布列為X0123錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!EX＝0×錯(cuò)誤!＋1×錯(cuò)誤!＋2×錯(cuò)誤!＋3×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!答案

錯(cuò)誤!5．2022·南通調(diào)研某車(chē)站每日上午發(fā)出兩班客車(chē)，第一班客車(chē)在

8：00,8：20,8

：40

這三個(gè)時(shí)刻隨機(jī)發(fā)出，且在

8：00

發(fā)出的概率為錯(cuò)誤!，8：20

發(fā)出的概率為錯(cuò)誤!，8：40發(fā)出的概率為錯(cuò)誤!；第二班客車(chē)在

9：00,9：20,9：40

這三個(gè)時(shí)刻隨機(jī)發(fā)出，且在9：00發(fā)出的概率為錯(cuò)誤!，9：20發(fā)出的概率為錯(cuò)誤!，9：40發(fā)出的概率為錯(cuò)誤!兩班客車(chē)發(fā)出時(shí)刻是相互獨(dú)立的，一位旅客預(yù)計(jì)8：10到站．請(qǐng)預(yù)測(cè)旅客乘到第一班客車(chē)的概率；求旅客候車(chē)時(shí)間的概率散布；求旅客候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)希望．解1第一班若在8：20或8：40發(fā)出，則旅客能乘到，其概率為P＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!旅客候車(chē)時(shí)間的概率散布為候車(chē)時(shí)間分1030507090錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!概率錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!×××錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)希望為10×錯(cuò)誤!＋30×錯(cuò)誤!＋50×錯(cuò)誤!＋70×錯(cuò)誤!＋90×錯(cuò)誤!＝5＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝30分鐘．故這名旅客候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)希望是30分鐘．6．2022·泰州調(diào)研現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資10萬(wàn)元，一年后收益是萬(wàn)元、萬(wàn)元、萬(wàn)元的概率分別為錯(cuò)誤!、錯(cuò)誤!、錯(cuò)誤!；已知乙項(xiàng)目的收益與產(chǎn)品價(jià)錢(qián)的調(diào)整相關(guān)，在每次調(diào)整中，價(jià)錢(qián)下降的概率都是

0＜＜1，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)錢(qián)在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨(dú)立的調(diào)整．記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)錢(qián)在一年內(nèi)的下降次數(shù)為

X，對(duì)乙項(xiàng)目每投資

10萬(wàn)元，X取

0、1、2時(shí)，一年后相應(yīng)收益是萬(wàn)元、萬(wàn)元、萬(wàn)元．隨機(jī)變量

X1、X2分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資

10萬(wàn)元一年后的收益．1求X1，X2的概率散布和均值EX1，EX2；2當(dāng)EX1＜EX2時(shí)，求的取值范圍．解1X1的概率散布為X1錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!EX1＝×錯(cuò)誤!＋×錯(cuò)誤!＋×錯(cuò)誤!＝萬(wàn)元．由題設(shè)得X～B2，，即X的概率散布為X012P1－22