平面勢(shì)流了解性學(xué)習(xí)第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六二、無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)（函數(shù)）上式是使表達(dá)式uxdx+uydy+uzdz能成為某一函數(shù)(x,y,z)的全微分的必要和充分條件第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六函數(shù)(x,y,z)稱(chēng)為速度勢(shì)（函數(shù)），即無(wú)旋流的速度矢量是有勢(shì)的。因此無(wú)旋運(yùn)動(dòng)（無(wú)渦流）又稱(chēng)為有勢(shì)流動(dòng)。

上述關(guān)系式代入不可壓縮流體連續(xù)性微分方程凡滿足拉普拉斯方程的函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，所以速度勢(shì)是調(diào)和函數(shù)特征1特征2第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六平面無(wú)旋流動(dòng)或平面勢(shì)流∵平面流動(dòng)的旋轉(zhuǎn)角速度只有分量ωz

∴ωz為零第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六速度勢(shì)的極坐標(biāo)表達(dá)式第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六三、流函數(shù)平面流動(dòng)流線方程存在條件：不可壓縮流體平面流動(dòng)ψ(x，y)。第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六流函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)式第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六ωz為零特征1平面無(wú)旋流的流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程平面勢(shì)流中，速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)均為調(diào)和函數(shù)特征2流函數(shù)的等值線是流線特征3任意兩條流線間的流函數(shù)差值(ψ1–ψ2)，等于通過(guò)兩條流線間的單寬流量q。第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六四、流網(wǎng)及其特征流網(wǎng)（FlowNet）：不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)中，流線簇與等勢(shì)線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)格。1、流網(wǎng)的特征特征1等勢(shì)線與等流函數(shù)線處處正交等勢(shì)線簇：(x,y)=C等流線簇：(x,y)=C證明：第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六特征2等勢(shì)線簇的勢(shì)函數(shù)值沿流線方向增加，而流線簇的流函數(shù)值則沿流線方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?后所指的方向增加。——儒科夫斯基法則。

特征3流網(wǎng)中每一網(wǎng)格的相鄰邊長(zhǎng)維持一定的比例若取δ

=

δψ，則δs=δn，此時(shí)流網(wǎng)網(wǎng)格為曲邊正方形第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、流網(wǎng)的繪制1）固體邊界本身就是流線之一，等勢(shì)線與邊界正交。2）自由液面必是流線。3）根據(jù)流動(dòng)的大致方向，按照事先選定的網(wǎng)格比例繪制出流線簇和等勢(shì)線簇。3、流網(wǎng)的應(yīng)用廣泛用于理想不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)中的速度場(chǎng)、壓強(qiáng)場(chǎng)求解第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六五、幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流(1)等速均勻流若等速均勻流流速平行于x軸ψ=u

y

=u

x

若等速均勻流流速平行于y軸ψ=-

u

x

=u

y流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度矢量皆相互平行，且大小相等的流動(dòng)

第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)源流和匯流流體從水平的無(wú)限平面內(nèi)的一點(diǎn)O（即源點(diǎn)）流出，均勻地沿徑向直線流向四周的流動(dòng)稱(chēng)為源流

q為由源點(diǎn)沿z軸方向上，單位厚度所流出的流量，稱(chēng)為源流強(qiáng)度

第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六流體從四周沿徑向均勻流入一點(diǎn)（匯點(diǎn)）的流動(dòng)稱(chēng)為匯流

流入?yún)R點(diǎn)的單位厚度流量稱(chēng)為匯流強(qiáng)度-q。

第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)環(huán)流（或勢(shì)渦流）各流體質(zhì)點(diǎn)皆繞某一固定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且速度與圓周半徑成反比的流動(dòng)稱(chēng)為環(huán)流

如圖環(huán)流強(qiáng)度Г

，是不隨圓周半徑而變的常數(shù)，具有方向性。Г＞0時(shí)，為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；Г

＜0時(shí)，為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

環(huán)流是圓周運(yùn)動(dòng)，但卻不是有旋運(yùn)動(dòng)。第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六(4)直角內(nèi)的流動(dòng)設(shè)無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的速度勢(shì)為若設(shè)

=

a

(x2-

y2)則有ψ

=

2axy

此流動(dòng)的流線是雙曲線族。當(dāng)ψ＞0時(shí)，x、y的符號(hào)相同，流線在I、III象限內(nèi)；ψ＜0時(shí)，x、y的符號(hào)相反，流線在II、IV象限內(nèi)。當(dāng)ψ

=

0時(shí)，x=0或y=0，說(shuō)明流線是坐標(biāo)軸，稱(chēng)為零流線。原點(diǎn)處速度為零，稱(chēng)為駐點(diǎn)。若把零流線x、y軸的正值部分用固體壁面來(lái)代替，就得到直角內(nèi)的流動(dòng)；若把x軸用固體壁面代替，則表示垂直流向固體壁面的流動(dòng)。

第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六六、勢(shì)流疊加勢(shì)流疊加原理：流速勢(shì)可以進(jìn)行疊加。當(dāng)幾個(gè)勢(shì)流疊加后，其流動(dòng)仍為勢(shì)流。

=

1+

2

同理可證，疊加后的流函數(shù)等于原流動(dòng)流函數(shù)的代數(shù)和意義：在工程實(shí)際中，常利用勢(shì)流疊加原理解決一些較為復(fù)雜的勢(shì)流問(wèn)題第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)等速均勻流與源流的疊加rOA(c)XY將與x軸正方向一致的等速均勻流和位于坐標(biāo)原點(diǎn)的源流疊加等速均勻流與源流的疊加結(jié)果就相當(dāng)于等速均勻來(lái)流繞半無(wú)限體的流動(dòng)。這種方法的推廣，是采用很多不同強(qiáng)度的源流，沿x軸排列，使它和勻速直線流疊加，形成和實(shí)際物體輪廓線完全一致或較為吻合的邊界流線。這樣無(wú)需進(jìn)行費(fèi)用巨大的實(shí)驗(yàn)，就能準(zhǔn)確估計(jì)物體上游端（如橋墩、閘墩的前半部）的速度和壓強(qiáng)分布。

第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)源環(huán)流與匯環(huán)流將強(qiáng)度為q的源流和強(qiáng)度為Г的環(huán)流都放置在坐標(biāo)原點(diǎn)上，使流體既作圓周運(yùn)動(dòng)，又作徑向運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為源環(huán)流。源環(huán)流水在離心式水泵壓水室（蝸殼）葉輪內(nèi)的流動(dòng)、空氣在風(fēng)機(jī)內(nèi)的流動(dòng)，均可看作源環(huán)流。水在水力渦輪機(jī)中的流動(dòng)為匯環(huán)流。第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)等強(qiáng)度源流和匯流的疊加——偶極流強(qiáng)度皆為q的源流和匯流，其源點(diǎn)和匯點(diǎn)分別置于(-a，0)和(a，0)兩點(diǎn)上。在上述流動(dòng)中，如果源點(diǎn)和匯點(diǎn)相互接近，即2a

→

0時(shí)（2aq=常數(shù)），所得到的就是偶極流。

第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六實(shí)際上，偶極流本身并無(wú)太大意義，但它與某些基本勢(shì)流疊加，就可以得到有重大實(shí)際意義的流動(dòng)的解。如偶極流與等速均勻流疊加可得到無(wú)環(huán)量圓柱繞流，偶極流與等速均勻流和勢(shì)渦流的疊加可得到有環(huán)量的圓柱繞流等。第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六[例]90°角域流的速度勢(shì)和流函數(shù)已知:90°角域流的速度分布式為：u=kx,v=-ky（k為常數(shù)）。

求：（1）判斷該流場(chǎng)是否存在速度勢(shì)，若存在請(qǐng)確定其形式并畫(huà)等勢(shì)線圖；（2）判斷該流場(chǎng)是否存在流函數(shù)。若存在請(qǐng)確定其形式并畫(huà)流線圖；

解：（1）先計(jì)算速度旋度

上式中C為常數(shù)。速度勢(shì)函數(shù)為說(shuō)明流場(chǎng)是無(wú)旋的，存在速度勢(shì)φ(x,y)，由（C2.3.2）式

(a)等勢(shì)線方程為x2-y2=常數(shù)，在xy平面上是分別以第一、三象限角平分線和第二、四象限角平分線為漸近線的雙曲線族，如圖CE2.3.2中的虛線所示。第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）再計(jì)算速度散度

說(shuō)明該流場(chǎng)是不可壓縮平面流動(dòng)，存在流函數(shù)Ψ(x,y)，由（C2.3.11）式

上式中C為常數(shù)，流函數(shù)為流線方程為xy=常數(shù)，在xy平面上是分別以x,y軸為漸近線的雙曲線族，如圖中的實(shí)線所示。x,y軸也是流線，稱(chēng)其為零流線。流線族與等勢(shì)線族正交。(b)第二十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六[例]蘭金半體繞流：均流+點(diǎn)源已知:位于原點(diǎn)的強(qiáng)度為Q（Q＞0）的點(diǎn)源與沿x方向速度為U的均流疊加成一平面流場(chǎng)。求：（1）流函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)；（2）速度分布式；（3）流線方程；（4）畫(huà)出零流線及部分流線圖。解：（1）流函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)的極坐標(biāo)形式分別為（2）速度分布式為（3）流線方程為常數(shù)C取不同值代表不同的流線，其中零流線的一部分為該流場(chǎng)繞流物體的輪廓線。(a)(d)(c)(b)(e)第二十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六通過(guò)駐點(diǎn)A（-b,0）的右半部分零流線由A點(diǎn)的流函數(shù)值決定

（4）零流線