學院 數(shù) 計 出卷教師 李剛(2013.5.10) 系主任簽名制卷份數(shù) 專 業(yè)2012級工科，本科 A 班級編號江漢大學 2012——2013 學年第 2 學期考試試卷課程編號：課程名稱：高等數(shù)學Ⅰ（2）試卷類型：A、B卷考試形式：開、閉卷考試時間：120分鐘一、選擇題（本大題共5小題，每題3分，共15分）1.微分方程xy3dy—2[y+xy(1+lnx)]dx=0是(B)A.齊次方程;B.可分離變量方程;C.一階線性齊次方程;D.一階線性非齊次方程.2.設z=3yf(x),若當y=-1時,z=x,則(A)A.z=3y+x+1;B.z=3y+x;C.z=3y--x--1;D.z=–3y+x+1.3.11[ln(x3dxdy,2DI2=(xy)3dxdy,I3=[sin(xy)]3dxdy,則I1,I2,I3之間的關系為(C)DDA.I1<I2<I3;B.I3<I2<I1;C.I<I<I2;D.I<I<I2.13314.設L為連接(1,0)及(0,1)兩點的直線段,則第一類曲線積分L(xy)ds=(B)A.–2;B.2;C.–1;D.1.5.下列級數(shù)中絕對收斂的有(D)A.(1)nn;B;(1)n2n2;n1n21n1n!C.(1)n1nD.(1)n1n3n;2n.n11n1精品文檔交流二、填空題（本大題共7小題，每題3分，共21分）1.曲線滿足二階微分方程y"x,經(jīng)過點M(0,1)且在此點與直線y=x+1相切,則此曲線方程為y=x32+x+1.622.過點(1,—1,—3)且與平面3x—2y+3z—1=0平行的平面方程為3x—2y+3z+4=0.3.已知二元函數(shù)z=ln(1x),則dz(1,1)=1(dx-dy).y24.函數(shù)ux3xy2z在點P(1,1,0)處的梯度為{2,—2,—1}.1y115.I=dyf(x,y)dx,交換積分次序得I=dxf(x,y)dy000x6.設為錐面zx2y2及平面z=1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面，則對面積的曲面積分(x2y2)ds=12.27.函數(shù)f(x)=ln(1+x)展開成x-3的冪級數(shù)為f(x)=ln4+(1)n11(x3)n.n1n4三、計算題（本大題共6小題，每題8分，共48分）1.求微分方程y"3y'2y3xex的通解.解：特征方程r23r20解為r11,r22，對應齊次方程的通解為Yc1exc2e2xf(x)3xex,1是特征方程的單根，故可設y*x(axb)ex，代人原方程得a3,b3,特解y*(3x23x)ex，故所求通解為2c2e2x+(3x22yYy*=c1ex3x)ex.22.求直線x2y3z24與平面2x+y+z－6=0的交點.11解:將所給直線的參數(shù)方程x2t,y3t,z42t代人平面方程，得2(2t)(3t)(42t)60，解得t1，代人參數(shù)方程，精品文檔交流故交點為（1,2,2）.3.設u=f(x,xu2u),其中f具有二階連續(xù)導數(shù),求,y2.yyux'解:=―y2f2y2u2x'x2"y2=.=y3f2+y4f22.4.計算I= z x2 y2dxdydz,其中 是由拋物面 z=1－x2－y2與z=0所圍成的閉區(qū)域 .解:用柱面坐標計算211r2122r4r6)dr==8I=ddr0zrrdz=(r.0001055.計算曲線積分(x22xy)dy,其中L是橢圓x2y21上由點A(2,0)經(jīng)點C(0,1)到L41點B(―2,0)的一段弧.PQ解:補線路用格林公式計算.=0,=2x+2yyxL=LBA―=(2x2y)dxdy―(x22xy)dyBADBA2x22x28=0+2ydxdy1)dx=.0=dx42ydy=(1D202436.求級數(shù)1xn在收斂域內的和函數(shù)并求0(n1n.n0n1n1)2解:liman1=1收斂域為[1,1)，令S(x)=1xn,nann0n1xS(x)=1xn1,求導得[xs(x)]'xn1xn0n1n01精品文檔交流積分xx1ln(1)，又s(0)=1,故xs(x)xs(x)dx01x0x111s(x)xln(1x)x[1,0)(0,1)，s()=1x02n0(n1)2

1n= 2ln( )=2ln22四、應用題（6分）求原點到曲面 (x y)2 z2 1上的最短距離.解:目標函數(shù):d2=x2+y2+z2,約束條件為: (x,y,z)=(x―y)2―z2―1=0作L(x,y,z, )=x2+y2+z2+ [(x―y)2―z2―1]Lx2x2(xy)0Ly2y2(xy)0Lz2z2z0L(xy)2z210解得(1,-1,0)或(-1,1,0),故d2=1,即d=2222222.五、證明題（5分）1.設zyf(x2y2)，f為可導函數(shù)，證明：xzyzxz.yxy證明：z=2xyf'，z=f(x2y2)2y2f'，xy代人左=xzyzxf(x2y2)xz=右.yxy六.綜合題（5分）fxxfxydy設曲線積分eydx與路徑無關，其中f(x)具有一階連續(xù)[()]sin()cosL的導數(shù)，且f(0)=0,求f(x).精品文檔交流解:P[f(x)ex]cosy，Qf'(x)cosy，由已知QP，yxxy即有f'(x)f(x)ex，通解為f(x)ex(ce2xdx)e2x(c1e2x)，exex21由f(0)=0，得c，于是f(x).22注：將試題答案或解答過程寫在答題紙上常用公式：1. y" py'qy f(x): f(x) exPm(x),可令特解 y* xkQm(x)exk=0,1,2；f(x)ex[Pl(1)(x)cosxPn(2)(x)sinx]，可令特解y*xkex[Rm(1)(x)cosxRm(2)(x)sinx],k=0,1,mmaxl,n2.拉格朗日乘數(shù)法：目標函數(shù)：uf(x,y,z)，條件：(x,y,z)0，求可能的極值點時，可作拉格朗日函數(shù)L(x,y,z,)f(x,y,z)(x,y,z)3.第一類曲線積分：x(t),y(t),z(t)(t)，則f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]'2(t)'2(t)'2(t)dt第一類曲面積分：f(xyzdSf[xyzxy)]1z'xy)z'yxydxdy,,),,(,x(,(,)Dxy4.格林公式：(QPPdxQdyxy)dxdyDL5.1xn0xn,(1x1)，ln(1x)(1)n1xn,(1x1)1n1n精品文檔交流高等數(shù)學Ⅰ（2）A卷答 題 紙題號 一 二 三 四 五 總分 總分人得分一、選擇題（本大題共5小題，每題3分，共15分）得分評分人1.（）2.（）3.（）4.（）5.（）二、填空題（本大題共7小題，每題3分，共21分）得分 評分人1.；2.；3.；4.；5.；6.；