彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程第七章第一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六第七章空間問(wèn)題的基本理論在空間問(wèn)題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個(gè)，且均為x,y,z的函數(shù)?？臻g問(wèn)題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問(wèn)題相似的。因此，許多問(wèn)題可以從平面問(wèn)題推廣得到。第二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:(a)(b)平衡條件§7-1平微分方程第三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六第四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六由x軸向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得因x,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L(zhǎng)，所以x,y,z坐標(biāo)具有對(duì)等性，其方程也必然具有對(duì)等性。所以式(a)的其余兩式可通過(guò)式(c)的坐標(biāo)輪換得到。第五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六由三個(gè)力矩方程得到三個(gè)切應(yīng)力互等定理，，。(x,y,z)(d)空間問(wèn)題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程第六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六思考題在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)力分量為，試表示點(diǎn)A,B的正應(yīng)力分量。第七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六在空間問(wèn)題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量…

…，來(lái)求出斜面(法線

）上的應(yīng)力。斜面應(yīng)力§7-2物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力第八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六斜面全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標(biāo)向分量:p沿法向和切向分量:斜面應(yīng)力第九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。由四面體的平衡條件，得出坐標(biāo)向的應(yīng)力分量,1.求第十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六第十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.求將向法向投影，即得第十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六從式(b)、(c)可見(jiàn),當(dāng)六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定之后，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。第十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動(dòng)到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。這時(shí)，斜面應(yīng)力分量應(yīng)代之為面力分量，從而得出空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件:3.在上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件第十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六式(b),(c)用于V內(nèi)任一點(diǎn)，表示斜面應(yīng)力與坐標(biāo)面應(yīng)力之間的關(guān)系；注意:

式(d)只用于邊界點(diǎn)上，表示邊界面上的面力與坐標(biāo)面的應(yīng)力之間的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。第十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六1.假設(shè)面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為

代入,得到斜面應(yīng)力§7-3主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力第十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六考慮方向余弦關(guān)系式,有式(a),(b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。(b)第十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.求主應(yīng)力將式(a)改寫(xiě)為求主應(yīng)力第十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方程。由于l,m,n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開(kāi)，即得求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力第十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六(c)求主應(yīng)力第二十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六3.應(yīng)力主向設(shè)主應(yīng)力的主向?yàn)椤４胧?a)中的前兩式，整理后得應(yīng)力主向第二十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六由上兩式解出。然后由式(b)得出應(yīng)力主向再求出及。第二十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六4.一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力（證明見(jiàn)書(shū)上）。第二十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.應(yīng)力不變量若從式(c)求出三個(gè)主應(yīng)力，則式(c)也可以用根式方程表示為，因式(c)和(f)是等價(jià)的方程，故的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出應(yīng)力不變量第二十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六(g)應(yīng)力不變量第二十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

∴分別稱(chēng)為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。式(g)中的各式，左邊是不隨坐標(biāo)選擇而變的；而右邊各項(xiàng)雖與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)。第二十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。只要六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定了，則通過(guò)此點(diǎn)的任何面上的應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點(diǎn)存在著三個(gè)互相垂直的應(yīng)力主面及主應(yīng)力。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)第二十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)三個(gè)主應(yīng)力包含了此點(diǎn)的最大和最小正應(yīng)力。（4）一點(diǎn)存在三個(gè)應(yīng)力不變量（5）最大和最小切應(yīng)力為，作用于通過(guò)中間主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng)力的夾角”的平面上。設(shè)第二十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六思考題1.試考慮：對(duì)于平面問(wèn)題若則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無(wú)數(shù)多的主應(yīng)力。2.試考慮：對(duì)于空間問(wèn)題若則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無(wú)數(shù)多的主應(yīng)力。第二十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

空間問(wèn)題的幾何方程，可以從平面問(wèn)題推廣得出：(a)幾何方程§7-4幾何方程及物理方程第三十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。幾何方程從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。第三十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六—沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

∵由形變求位移，要通過(guò)積分，會(huì)出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對(duì)應(yīng)的位移分量為

(b)幾何方程—繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。第三十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問(wèn)題的位移邊界條件為(c)位移邊界條件第三十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六(d)其中由于小變形假定，略去形變的二、三次冪。體積應(yīng)變體積應(yīng)變定義為第三十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

空間問(wèn)題的物理方程

可表示為兩種形式：⑴應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按位移求解方法：(x,y,z)(e)物理方程第三十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按應(yīng)力求解方法：(x,y,z)(f)由物理方程可以導(dǎo)出（g）是第一應(yīng)力不變量，又稱(chēng)為體積應(yīng)力。—稱(chēng)為體積模量。第三十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

結(jié)論：空間問(wèn)題的應(yīng)力，形變，位移等十五個(gè)未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)幾何方程及6個(gè)物理方程，并在邊界上滿足3個(gè)應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論第三十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六思考題若形變分量為零，試導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的位移分量（7-17）。第三十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

采用柱坐標(biāo)表示軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對(duì)稱(chēng)，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對(duì)稱(chēng)的?！?-5軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的基本方程第三十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)于空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：所有物理量?jī)H為(ρ,z)的函數(shù)。應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題第四十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六而由得出為。平衡微分方程：第四十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

幾何方程：其中幾何方程為第四十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)第四十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中第四十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六邊界條件：

一般用柱坐標(biāo)表示時(shí)，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡(jiǎn)單。在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量的量綱，方向性，坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對(duì)等性。第四十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六思考題試由空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的基本方程，簡(jiǎn)化導(dǎo)出平面軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的基本方程。第四十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六第七章例題例題1例題2例題3例題第四十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六例題1設(shè)物體的邊界面方程為F（x,y,z)=0,試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力q(x,y,z),應(yīng)力邊界條件是什么形式？第四十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六（x,y,z)其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為F（x,y,z)=0時(shí)，它的表面法線的方向余弦為第四十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六當(dāng)面力為法向分布拉力q時(shí)，(x,y,z)因此，應(yīng)力邊界條件為代入應(yīng)力邊界條件，得(x,y,z)第五十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六例題2

試求圖示彈性體中的應(yīng)力分量，(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布?jí)毫作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無(wú)摩擦力。(b)半無(wú)限大空間體，其表面受均布?jí)毫的作用。第五十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六qqooxxzz圖7-4第五十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六解：圖示的(a),(b)兩問(wèn)題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。對(duì)于(a)，有約束條件，；對(duì)于(b)，有對(duì)稱(chēng)條件。而兩者的，因此，由物理方程，第五十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六即可解出第五十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六例題３

圖示的彈性體為一長(zhǎng)柱形體，在頂面z=0上有一集中力F作用于角點(diǎn)，試寫(xiě)出z=0表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7-5P第五十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六解：本題是空間問(wèn)題，z=0的表面是小邊界，可以應(yīng)用圣維南原理列出應(yīng)力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數(shù)值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是給定的，因此，應(yīng)力的主矢量和主矩的數(shù)值，應(yīng)等于面力的主矢量和主矩的數(shù)值；第五十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六而面力主矢量和主矩的方向，就是應(yīng)力主矢量和主矩的方向。應(yīng)力主矢量和主矩的正負(fù)號(hào)和正負(fù)方向，則根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)號(hào)和正負(fù)方向來(lái)確定。對(duì)于一般的空間問(wèn)題，列積分的應(yīng)力邊界條件時(shí)，應(yīng)包括六個(gè)條件。對(duì)于圖示問(wèn)題這六個(gè)積分的邊界條件是：第五十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六第五十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六7-1答案7-2提示：原(x,y,z)的點(diǎn)移動(dòng)到(x+u,y+v,z+w)位置，將新位置位置代入有關(guān)平面、直線、平行六面體和橢球面方程。7-3見(jiàn)本書(shū)的敘述。第七章習(xí)題的提示和答案

第五十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六7-4空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題比平面軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題增加了一些應(yīng)力、形變和位移，應(yīng)考慮它們?cè)趯?dǎo)出方程時(shí)的貢獻(xiàn)。7-5對(duì)于一般的空間問(wèn)題，柱坐標(biāo)中的全部應(yīng)力、形變和位移分量都存在，且它們均為的函數(shù)。在列方程時(shí)應(yīng)考慮它們的貢獻(xiàn)。第六十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

(一)本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)及要求

1.研究彈性力學(xué)問(wèn)題,可以從一般問(wèn)題到特殊問(wèn)題,如從空間問(wèn)題到平面問(wèn)題。也可以由特殊問(wèn)題到一般問(wèn)題。本書(shū)就是先研究平面問(wèn)題，然后再研究空間問(wèn)題的。這樣可以由淺入深，循序漸進(jìn)，便于理解。第七章教學(xué)參考資料第六十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六彈性力學(xué)中的各種問(wèn)題，都具有相似性，其未知函數(shù)，基本方程和邊界條件，以及求解的方法都是類(lèi)似的。我們可以把空間問(wèn)題看成是平面問(wèn)題的推廣。2.直角坐標(biāo)系(x,y,z)中一般的空間問(wèn)題，包含有15個(gè)未知函數(shù)（6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量及3個(gè)位移分量），且它們均為三個(gè)坐