難點31數(shù)學歸納法解題

數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突

出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的種主要思想方法.

?難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1?22+2?3、…+〃(“+1尸="("二"(a"2+/?〃+c).

12

?案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)4、氏C?是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當且"、b、

c互不相等時,均有：a+cn>2bn.

命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，屬*★★★級題目.

知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法證明不等式的?般步驟.

錯解分析：應分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應只證明一種情況.

技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(/-1)3—0>0恒成立(八氏c為正數(shù))，從而ak+'+ck+'

>ak,c+ck?a.

證明：⑴設a、b、c為等比數(shù)列，a=?,c=bq(q>。且qWl)

q

h"1

:.a"+cn=—+bnqn=bX—+q")>2bn

q"q"

(2)設a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想公士1>(土上)“(〃》2且〃6N*)

22

下面用數(shù)學歸納法證明：

22

①當n=2時，由2(￡+c2)>(a+c)2,a+C>("￡尸

22

②設〃身時成立，即心色>(空￡匕

22

^+1,k+\1

則當〃M+1時，--=L

24

>—(ak+l+ck+l+ak?c+J?a)=—(ak+ck)(a+c)

44

>("￡八("￡)=("￡產(chǎn)

222

［例2］在數(shù)列｛冊｝中，m=1,當〃N2時，成等比數(shù)列.

2

(1)求a2,a3,a4,并推出an的表達式；

(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論；

(3)求數(shù)列｛%｝所有項的和.

命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.

知識依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.

錯解分析：(2)中，&=一」一應舍去，這一點往往容易被忽視.

2k-3

技巧與方法：求通項可證明｛1-｝是以｛L｝為首項，工為公差的等差數(shù)列，進而求得

S］2

通項公式.

2

解：:——成等比數(shù)列，，Sn=an?⑸一—)(n22)(*)

22

*2

⑴由。產(chǎn)1,52=。1+。2=1+。2,代入()式得：。2二一一

3

717

由。|=1,。2=一一5=一+43代入(*)式得：。3二一一

3315

15=1)

2

同理可得：。4二一三,由此可推出:

斯二12

35(〃>1)

(2九一3)(2九一1)

(2)①當，=1,234時,由(')知猜想成立.

2

②假設〃=取22)時,a*-(2k—3)(2k-l)成立

2

故sj=—?⑸―1)

(2%—3)(21)2

：.Qk—3)Qk—1)S/+2sLi=0

1又=一￡(舍)

21'

9I,?1

由Sk+i=a^\*(5A|—大)，得⑸+〃&+i)~=d-i3+i+S「-)

+22

122〃人]24+i1

=做+做

(2k-2k-\e1"*---2--k------\---------2--+i

-2

=肛+1—[2(k+l)—3][2(k+l)—1]，即九=k+1命題也成立.

1(72=1)

由①②知，an=\2/小對一切〃GN成立.

---------------(7?>2)

(2及-3)(2〃-1)

(3)由⑵得數(shù)列前〃項和S〃=」一,???S;lim5”=0.

2n-1n-xc

?錦囊妙記

(1)數(shù)學歸納法的基本形式

設P(")是關于自然數(shù)"的命題，若

rp(〃o)成立(奠基)

2°假設?(A)成立(%》〃())，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則尸(〃)對一切大于等于"0的自

然數(shù)”都成立.

(2)數(shù)學歸納法的應用

具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通

項與和等.

?殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知人〃)=(2"+7)?3"+9,存在自然數(shù)使得對任意"CN,都能使m整除

f(n),則最大的根的值為()

A.30B.26C.36D.6

2.(****)用數(shù)學歸納法證明3"2/s23,〃eN)第一步應驗證()

A./?=1B.〃=2C.H=3D.n=4

二、填空題

3.(*****)觀察下列式子：1+：<3，1+5+5<\1+*+*+妥〈(…則可歸

納出.

4.(★★★★)已知ai=’,%+]=,,則”2,。％。4,。5的值分別為_______，由此猜想

2%+3

an=?

三、解答題

5.(****)用數(shù)學歸納法證明42"+1+3"2能被13整除，其中"CN*.

6.(****)若"為大于1的自然數(shù)，求證：」一+―—+???+—>—.

n+l〃+2In24

7.(*****)已知數(shù)列｛/?〃｝是等差數(shù)列，仇=1力|+岳+…+/?|()=145.

⑴求數(shù)列｛?。耐椆脚c

(2)設數(shù)列｛斯｝的通項斯=1。&(1+工)(其中a>0且a#1)記Sn是數(shù)列｛a“｝的前n項和，試

b“

比較SK與；1。&自出的大小，并證明你的結(jié)論.

8.(*****)設實數(shù)q滿足IqlV1,數(shù)列｛〃“｝滿足：〃1=2,〃2力0,冊a+尸一g〃，求an表達式，

又如果lim§2〃<3,求q的取值范圍.

“T8

參考答案

難點磁場

4=—(a+h+c)

6卜=3

解:假設存在a、b、c使題設的等式成立,這時令"=1,2,3,有J22=-(4a+2b+c)=

2

70=9a+36+c[c-l°

于是，對〃=1,2,3下面等式成立

1?22+2?32+-+n(n+l)2=n(H+l)(3n2+11/7+10)

12

2

記Sn=1?2+2?3?+…+〃(〃+1產(chǎn)

設"=k時上式成立，即&二處±2(3必+11Z+10)

12

刃B么Sk+i=S*+(k+l)(?+2)2=(+D(k+2)(3k+5)+(k+l)(k+2)2

2

(k+l)(k+2)

(3F+5后⑵+24)

12

=(k+\](k+2)[3(k+l)2+ll(k+l)+10]

12

也就是說，等式對"M+1也成立.

綜上所述,當。=3,b=ll,c=10時，題設對一切自然數(shù)〃均成立.

殲滅難點訓練

一、L解析：：&1)=36)/(2)=108=3X36^3)=360=10X36

.?式1)彤.3)能被36整除，猜想加)能被36整除.

證明:“=1,2時，由上得證，設〃=k(42)時，

Rk)=(2k+7)?3*+9能被36整除，貝4n=k+\時，

#k+l)-/U)=(2k+9)?3*+|一(玉+7)?3"

=(6%+27)?3"-(2-7)?34

=(4%+20)?3*=36依+5)?3*2(左22)

能被36整除

??VU)不能被大于36的數(shù)整除，.?.所求最大的m值等于36.

答案：C

2.解析：由題意知〃》3,...應驗證”=3.

答案：C

,1312x1+1

二、3.解析:1+r<-nm即1+----<------

222(1+1)21+1

,115,112x2+1

1H—7—TV—,艮BlI」l1-I-----7H-------<--------

22323(1+1)2(2+1尸2+1

歸納為1+4+4+…+-<^±l(neN*)

2232("+1)2〃+1

1+4+4+…2n+l

答案--------T<-------("GN")

2232(〃+1)2〃+1

3%_3;3二3

4.解析:a2=同理,

%+31+372+5

2

3g3333333

,=-=，&S==，猜想明

a?+383+5494+55105+5〃+5

答案：3、3、3、』二_

78910"=5

三、5.證明：⑴當”=1時,42"+1+3"2=91能被13整除

(2)假設當n=k時，43+3—能被13整除,則當n=k+\時,

42伙+i)+i+3"3=42-1?42+3*2?3—4%1?3+42A+1?3

=4^,+1?13+3?(42t+l+3t+2)

V42A+1-13能被13整除,42*43"2能被13整除

.?.當"=&+1時也成立.

由①②知，當"CN"時，42"+3"2能被13整除.

11713

6.證明：⑴當〃=2時,--------1--------=---->-----

2+12+21224

即-L+J—d

⑵假設當〃H時成立,

k+1k+22k24

1I1111

則當〃=*+1時,----------1,...-------1-----------1------------1--------

k+2k+32k2Z+12k+2k+1k+1

>—"I----------+-------------------=—+---------------------

242k+l2k+2k+1242k+l2k+2

-----1----------------------->—

242(2k+l)(k+l)24

々=1

b}=1

7.（1）解：設數(shù)列的｝的公差為4由題意得n，，瓦尸3〃一2

10/?1+[d=3

(2)證明：由仇尸3"一2知

5=lo&(l+1)+1。氏(1+-)+---+lo&(l+-——-)

w43/1-2

=10&,[(1+1)(1+1)…(1+1)1

43n-2

而;10gA+1=10&西幣■，于是，比較S“與110gA+1的大小o比較(1+1)(1+；)…

(1+丁二)與師”的大小.

3〃一2

取”=1,有(1+1)=我>返=必3」+1

取”=2,W(1+1)(1+-)>V8>V7=V3X2+1

4

1i,_____*

推測：(i+i)(i+：)…(i+^~-)>V3^7To

43n-2

①當〃=1時，已驗證(*)式成立.

②假設時（*）式成立，即（i+i）（i+,）…（i+—!—)>。3%+1

43女一2

貝ij當〃=&+1時?，(i+i)(i+-)---(i+—!—)(i+—!----)>W3&+i(i+—!—)

43k-23伏+1)-23k+l

(獨吆弦+1)3_(遂+4)3

3k+1

(3%+2)3-(3k+4)(3k+l)29k+4

=--------------------------------------=------------->

(3及+1)2(3k+1尸

弋；(3k+2)>W3k+4=[3/+1)+1

從而(1+1)(1+,)…(1+—5—)(1+—1―)>#3(%+1)+1，即當n=k+1時，(*)式成立

43k23k1

由①②知，(*)式對任意正整數(shù)”都成立.

于是，當時，S“>；logA+i，當0<aV1時，S,,<1\o^bn+i

8.解:8al?。2=—%。產(chǎn)2,。2工°,

??.qW0,Q2=一

n+]

<川?斯+1=—q",%+]?an+Q=—q

兩式相除，得反=1，即an+2=q-an

%+2q

于是，。|=2,。3=2?的5=2?/…猜想：a2n+\=—，/("=1,2,3,…)

2

2qk-'〃=2k-l時(keN)

綜合①②，猜想通項公式為四=11,

--qk〃=2jW(AeN)

下證：(1)當”=1,2時猜想成立

⑵設〃=2k—1時，。呆-尸2?爐一則〃=2%+1時，由于〃2A+1F?〃2Li

?二。然+1=2,qHPn=2k~1成立.

可推知n=2M也成立.

設n=2k時，a2i=—；成，則〃=2k+2時，由于a2k+2=q*a2k,

所以〃2-2二一’爐+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.

2

綜上所述，對一切自然數(shù)〃，猜想都成立.

2/當〃二2攵一1時伏wN)

這樣所求通項公式為。，尸1，

一一qk當〃=24時(kwN)

、2

5方=(4|+〃3'?,+。2〃-1)+(〃2+44+??,+4％)

=2(l+q+q2+…+q〃/)-；([+/+??.+.)

2(l—q〃)1q(l~~q")1一/'4一4

----------------------------------=(----------A--------)

\-q2(1一夕)\-q2

由于切<1,二lim，'=0,故limS2.=(；^)(U)

x?M—>ao1—q2

依題意知」三L<3,并注意1-4>0,⑷<1解得一l<q<0或0<q<2

2(l-q)5

難點32極限及其運算

極限的概念及其滲透的思想，在數(shù)學中占有重要的地位，它是人們研究許多問題的工具.

舊教材中原有的數(shù)列極限一直是歷年高考中重點考查的內(nèi)容之本節(jié)內(nèi)容主要是指導考生

深入地理解極限的概念，并在此基礎匕能正確熟練地進行有關極限的運算問題.

?難點磁場

a"+2'-'

(★★★★)求lim

n+l

?->002+a"

?案例探究

［例1］已知lim(Vx2-x+1—ax—6)=0,確定a與b的值.

命題意圖：在數(shù)列與函數(shù)極限的運算法則中，都有應遵循的規(guī)則，也有可利用的規(guī)律，

既有章可循，有法可依.因而本題重點考查考生的這種能力.也就是本知識的系統(tǒng)掌握能力.

屬★★★★★級題目.

知識依托：解決本題的閃光點是對式子進行有理化處理，這是求極限中帶無理號的式子

常用的一種方法.

錯解分析：本題難點是式子的整理過程繁瑣，稍不注意就有可能出錯.

技巧與方法：有理化處理.

解：lim(&-x+l-ax-b)=］而+

ex->8Vx2-X+I+4ZA-+/?

(l-a2)x2-(l+2afe)x+(l-/>2)

=lim

X->8y/x~+1+ax+b

要使上式極限存在，則1一/=0,

當1一/=0時，

c.1—b~

2+)+

卜卡-(l-2ab)x+(l-b)r-(1+2")

上式=lim-/--------------=lim-I=-----------=----------

\lx2-x+\+ax+bXf8/1］上1工匕4"a

-(-z------r1H------rCl

VXxx

由已知得二(葉2"也=0

1+a

\-a2=0a=1

解得|1

一(1+2")

--------------=Unb=——

\+a2

［例2］設數(shù)列可處,…，斯,…的前n項的和Sn和an的關系是Sn=\—ban-，其中

(1+加

6是與〃無關的常數(shù)，且方#一1.

(1)求斯和aH-1的關系式；

(2)寫出用/?和b表示g的表達式;

(3)當0V6V1時，求極限lim

n-xo

命題意圖：歷年高考中多出現(xiàn)的題目是與數(shù)列的通項公式，前〃項和S,等有緊密的聯(lián)

系.有時題目是先依條件確定數(shù)列的通項公式再求極限，或先求出前〃項和S,再求極限，本

題考查學生的綜合能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是分析透題目中的條件間的相互關系.

錯解分析：本題難點是第(2)中由(1)中的關系式猜想通項及〃=1與〃=2時的式子不統(tǒng)一

性.

技巧與方法：抓住第一步的遞推關系式，去尋找規(guī)律.

解：(1)an=Sn—-1=-b(a?—an-1)---^―-+-----=—/?(an—a?-i)+—^―-(”>2)

(1+/?)"(l+b)"T(1+b)"

hh

解得“”=百冊I+而產(chǎn)(22)

(2)?.?a.=S.=i-ha.-——

111\+b

2

brbb、1,b、2b+b

"\+b\+b"2(1+b)"」(1+〃嚴h+bn-2(1+份-I

=(2)2[4“3+—^1+^^7

\+b\+b(1+/7)"-1(l+fe)n+l

/b立b+b2+b3

=(]+〃嚴,

由此猜想％=(±)"%+b+b2+/+…+//I

14-/2(1+/?嚴

把％方代入上式得

(1+ft)2

%廿二(百)

b+b2+…+?！?/p>

a=-------------：---

"n(1+〃嚴

-^s=l)

2'"|

1=1*…，

(3)S,,=\-ban-

(1+匕)"(1-/>)(1+6)"+I(1+b)"

RM-5號嚴日

???0<b<1時,limb"=O,lim(4)"=0,,limS?=1.

〃T8W—>co1+P〃T8

?錦囊妙計

1.學好數(shù)列的極限的關鍵是真正從數(shù)列的項的變化趨勢理解數(shù)列極限.

學好函數(shù)的極限的關鍵是真正從函數(shù)值或圖象上點的變化趨勢理解函數(shù)極限.

2.運算法則中各個極限都應存在.都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個.

在商的運算法則中，要注意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限.

3.注意在平時學習中積累一些方法和技巧，如：

lim-----=O,lim。〃=0(1a\<1)

"T8n>oo

雪當火=/時

k.k-\.b。

CIQX+…+做

lim/i?=<(),當k</時

“T8瓦/'+仇V'+?,,+/7]

不存在，當A>/時

?殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)為是(1+x)"展開式中含X?的項的系數(shù)，則lim(--1----1-…4---)等于()

n—>ooCI?”

A.2B.OC.lD.-1

"★★★★)若三數(shù)a』,c成等差數(shù)列且又成等比數(shù)列，則的值是

〃T8CL+C

()

A.OB.lC.O或1D.不存在

二、填空題

limx+y[x~-^-y[x-Vx)=.

n—>+oo

4.(★★★★)若]im2+〃-1-//)=1,則ab的值是.

“T8

三、解答題

33111

5.(*****)在數(shù)列｛斯｝中，已知。尸一以2二——，且數(shù)列｛〃〃+]——即｝是公比為一的等

5100102

比數(shù)列，數(shù)列｛1虱。用一工?。枪顬橐?的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

⑵5“=?1+做+…+求limS?.

&(★★★★)設段)是x的三次多項式，已知]而3"=試求

n—>2aX—2an->4aX~4。n—>ooX—3cL

的值.3為非零常數(shù)).

7.(****)已知數(shù)歹|J｛斯｝，｛瓦,｝都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公式分別為p、q,其中p>

q,且p#1,設c”=a”+6",S"為數(shù)列｛c“｝的刖n項和，求Jim—匚的值.

28S“-i

8.(*****)已知數(shù)列｛〃“｝是公差為d的等差數(shù)列，dWO且。|=0,與=2""("GNbS,是

｛仇｝的前"項和，T“旦(nGN*).

(1)求｛T“｝的通項公式;

(2)當d>0時,求limG.

M—>00

參考答案

難點磁場

"2?->1+

a+1

解：當a>2或a<-2時,|im“川=lim—

n->co2+Q"TOO(2+〃

a

an+2"-'

當-2<a<2時,Hm

nn+

M->002+a'2+嗎)"4

an+2n-'3-2"-'1

當。=2時Jimhm,=~

“fco2n+an+'

an+2"-'(-2)"+2"T

當a=—2時,

2"+an+'2"+(-2)n+l

-2,1+2,1~l=音—2"=弓1（〃為奇數(shù)）

2"+2,,+l

2、+2'T之空=一3（〃為偶數(shù)）

.2"-2,,+l--2"2

殲滅難點訓練

一、1.解析："”《=若，士哈一5

**?lim(―+—+???+—)=lim2(1--)=2

〃->8%％?-><?n

答案：A

2.解析:

答案：C

二、3.解析：Jim&+麗?尸

Xf+8y*+41+&+4

2

tz2(2/?2+〃-1)一〃2b2(2a2-b2)n2+a2n—a2

4.解析:原式二limlim-=1

“TOOad2n2+〃-1+〃/?〃一>00ayl2n2+〃-1+nh

2a2-b2=0\a=2y/2

=><

V2+/?=1[〃=4

.,.fl-b=Sy[2

答案：8A/2

11331

三、5.解：⑴由他用--5-即｝是公比為上的等比數(shù)列，且

1025100

?1/1、/1\?-1/3131、1.\111

??〃〃+]——%=(。2——〃】)(一)=(--——X—)(—)n=-((―)=——-,

101021005102422,,+,

?11

??"〃+尸記〃“+尹①

又由數(shù)列｛砥。向一ga“)｝是公差為一1的等差數(shù)列，且首項lg(a2-1O|)

2311y3

10025

.,.其通項lg(a“+|—；?！?=-2+(〃-1)(—1)=一(”+1),

.??。，用一兒.=10一(川),即為+產(chǎn)兒“+10(向)②

22

①②聯(lián)立解得尸W[(-)n+1-(—)"+，]

2210

(2B產(chǎn)力%=[忘;嚴一之([嚴]

欠=]/k=l,k=lIU

6.解：由于Hm/0)=1,可知，/(2a)=0①

x-*2aX—2。

同理大4/)=0②

由①②可知式X)必含有(x—方)與(X一前)的因式，由于兀0是X的三次多項式，故可設

Ax)=A(x-2a)(x-4a)(x-C),這里A,C均為待定的常數(shù)，

山「〃x).BnA(x-2a)(x-4a)(x-C)..

由lim------=1,K|Jhm--------------------------------=limA(x-4a)v(x-C)=1,

x->2aX2ax->2aX—2〃x—>2a

得A(2a-4a)(2a—C)=1,即4a2A~2aCA=~1③

同理，由于得4船一加）（船一。=1,即8/4一為&4=1④

x-4a

由③④得C二3〃力二」y,因而凡r)=(x-2a)(x—4a)(x—3a),

2a22a2

?*?lim"：)=lim—^-(x-2a)(x-4a)=-?-(-a)=--

x->3aX—Jdx->3a2cl2a2

7.解：5一皿一"')+比?

I-p\-q

■(i")?仇am

.S“=[-〃l-q

"S“T—"15)+Ed-尸)

1-p\-q

二％(1一夕)+4(1-〃)-。1(-4)。"-仄(1-p)q”

一生(1-q)+仇(1-0-q(1-q)p"T-仇(1-pH、

由數(shù)列｛%｝、｛",｝都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，知p>0,q>0

%(1-4)+仄(1-p)-a?-q)p”一仇(1-。)/

當p>1時lim=lim----------------;-------------------------~;---------------T

，—850Tn-Kx0,(1-q)?/?!(1-p)-q)p-伍(1-p)q

ll

p

—一也％(ji(l-p)(如

_._________pp

二二必ar)+P)_年1_?)_L_仇(i_〃)(包嚴J_

pnppp

0-〃[(1_介0

二廠=p?

0―〃](1-q)-----0

P

當pVl時應〈I,limpn=limp"'=limq"=lim""=0

n—>oo”foon—>oon—>oo

?「s,

??lim——=1

〃fs5,i

8.解：⑴〃“二(〃-1)d,htl=2""=2("_[M

0</2</,

Sn=b?+&2+^s+'''+/?ZI=2+2+2+,?+2("T"

由d#0,2''#1,...Sn=

1-(2")"

?1-2”l-2"d

?"lb_9(n-lW

(2)當d>0時，2J>1

I-2nd1-(2")"

?-lim=limnd

2(〃T)d2-，船(2"嚴-(2")"

n->oon-?oo

1

-1

(2dy0-12d

lim

002J-1

-1

2d2d

難點33函數(shù)的連續(xù)及其應用

函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的內(nèi)容之一.它把高中的極限知識與大學知識緊密聯(lián)在一

起.在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個熱點.本節(jié)

內(nèi)容重點闡述這一塊知識的知識結(jié)構(gòu)體系.

?難點磁場

3

(★★★★)已知函數(shù)x(x+i)(-1<X<1)

log2(x-l)(l<x<5)

⑴討論/W在點x=-1,0,1處的連續(xù)性;

⑵求人制的連續(xù)區(qū)間.

?案例探究

r2-4

［例1］已知函數(shù)式x)=^~

x+2

(1)求Ax)的定義域，并作出函數(shù)的圖象；

⑵求人外的不連續(xù)點刖；

(3)對Ax)補充定義，使其是R上的連續(xù)函數(shù).

命題意圖：函數(shù)的連續(xù)性，尤其是在某定點處的連續(xù)性在函數(shù)圖象上有最直觀的反映.

因而畫函數(shù)圖象去直觀反映題目中的連續(xù)性問題也就成為一種最重要的方法.

知識依托：本題是分式函數(shù)，所以解答本題的閃光點是能準確畫

出它的圖象.

錯解分析：第(3)問是本題的難點，考生通過自己對所學連續(xù)函數(shù)

定義的了解.應明確知道第⑶問是求的分數(shù)函數(shù)解析式.

技巧與方法：對分式化簡變形，注意等價性，觀察圖象進行解答.

解：(1)當*+2#0時;有xW-2

因此，函數(shù)的定義域是(一8,—2)U(—2,+8)

r2-4

當xW-2時，4x)=^~-=x~2,

x+2

其圖象如上圖

(2)由定義域知，函數(shù)尺0的不連續(xù)點是沏=一2.

(3)因為當xW—2時，_/(x)=x—2,所以limf(x)=Um(x-2)=~4.

x+2x+2

x2-4

(x。-2)

因此，將的表達式改寫為x+2

-4(x=-2)

則函數(shù)/U）在R上是連續(xù)函數(shù).

[例2]求證：方程x=asiru:+/;>（a>0,/2>0）至少有一個正根，且它不大于a+A

命題意圖：要判定方程Ax）=O是否有實根.即判定對應的連續(xù)函數(shù)片/㈤的圖象是否與X

軸有交點，因此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖象上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一

點在x軸下方即可.本題主要考查這種解題方法.

知識依托：解答本題的閃光點要找到合適的兩點，使函數(shù)值其一為負，另一為正.

錯解分析：因為本題為超越方程，因而考生最易想到畫圖象觀察，而忽視連續(xù)性的性質(zhì)

在解這類題目中的簡便作用.

證明：設兀v）=asinx+b—x,

則式0）=6>0；/（a+〃）=a?sin（a+￡?）+b—（a+/?）=a[sin（a+b）—1]WO,

又大x）在（O,a+b]內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，所以存在一個xoe（O,q+b],使兀⑹力,即刈是方程/（x）=0

的根，也就是方程,sinx+b的根.

因此，方程x=asinx+b至少存在一個正根，且它不大于a+i>.

?錦囊妙計

.深刻理解函數(shù)凡在處連續(xù)的概念：

1r）x0

等式lim/WRUo）的涵義是：（1次加在x=x0處有定義，即Ax。）存在；（2）iim/W存在，

X—>x0x—>x0

這里隱含著;（X）在點x=xo附近有定義；（3VW在點xo處的極限值等于這一點的函數(shù)值，即

lim網(wǎng)外劭）.

函數(shù)/（X）在Xo處連續(xù)，反映在圖象上是犬X）的圖象在點X=Xo處是不間斷的.

2.函數(shù)Ax）在點X0不連續(xù)，就是兀0的圖象在點x=xo處是間斷的.

其情形：⑴lim/W存在;AM存在，但lim/U）司（xo）；⑵lim/U）存在，但/（即）不存在.⑶

X->A0X->XQXT%

lim兀v）不存在.

3.由連續(xù)函數(shù)的定義，可以得到計算函數(shù)極限的一種方法：如果函數(shù)人x）在其定義區(qū)間

內(nèi)是連續(xù)的，點X。是定義區(qū)間內(nèi)的一點，那么求X-XO時函數(shù)Ax）的極限，只要求出K0在

點Xo處的函數(shù)值ZUo）就可以了，即limAx）=f（xo）.

XT鳳

?殲滅難點訓練

一、選擇題

1.（★★★★）若幻）=/*"T在點x=0處連續(xù)，則40）等于（）

Vl+x-1

A.2B.-C.lD.O

23

x0<x<1

1?

2.(****)設兀r)=<—X=1則/U）的連續(xù)區(qū)間為（）

2

11<x<2

A.(0,2)B.(0,1)

C.(0,1)U(1,2)D.(l,2)

二、填空題

3.(★★★★)Hm二二@G二D

\->i4arctanx

x<°處處連續(xù)，則。的值為.

4.(★★★★)若/(x)=

x>0

三、解答題

2*-1

(xwO)

5.(****娟已知函數(shù)yu)=，

2X+1

1(x=0)

(1次處在x=0處是否連續(xù)？說明理由；

(2)討論外)在閉區(qū)間［-1,0］和［0,1］上的連續(xù)性.

1-y/i—X,八

--------(x<0)

6.(****)已知“￥)二x

a+bx(x>0)

(1)求人一x)；

(2)求常數(shù)〃的值，使人外在區(qū)間(一8,+8)內(nèi)處處連續(xù).

32G

7.(★★★★)求證任何一個實系數(shù)一元三次方程a()x+a|X+?2X+a3=O(ao^iR,a()7^0)

至少有一個實數(shù)根.

X(X<1)

8.(****)求函數(shù)八尢)=,1的不連續(xù)點和連續(xù)區(qū)間.

log2(x--)(x>l)

、乙

參考答案

難點磁場

解：(1)lim/)=3,lim/W=-1,所以lim/W不存在，所以/W在x=—1處不連續(xù)，

X—>—1-X—>-1+X—>-1

但-lim/W差A—1),所以?在x=-1處右連續(xù)，左不連續(xù)

xfTx->-r

lim/W=34⑴，［imAx)