【備戰(zhàn)2022年高考高三數(shù)學(xué)一輪熱點(diǎn)、難點(diǎn)一網(wǎng)打盡】

專題08無處不考的函數(shù)性質(zhì)問題

考綱要求：

1.理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)討論和證明函數(shù)的單調(diào)性.

2.理解函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義，并能求函數(shù)的最大(小)值.

3.函數(shù)奇偶性的判斷、利用奇偶函數(shù)圖象特點(diǎn)解決相關(guān)問題、利用函數(shù)奇偶性、周期性求

函數(shù)值及求參數(shù)值等問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).

基礎(chǔ)知識(shí)回顧：

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意

兩個(gè)自變量的值Xl,X2

定義當(dāng)X1<X2時(shí)，都有f(Xl)>f(X2)，那

當(dāng)X1VX2時(shí)，都有f(X1)Vf(X2),那么

么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函

就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

數(shù)

圖象

描述

自左向右圖象是上升的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)f(x)在這.一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)

性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.奇、偶函數(shù)的概念

一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(.-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)

就叫做偶函數(shù).

一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有f(—x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)

就叫做奇函數(shù).

3、奇、偶函數(shù)的性質(zhì)

(1)普通性質(zhì)

①奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y

軸對(duì)稱；

③奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)

性相反.

④若f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則/(0)=0；⑤若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)=f(|x|).

(2)在公共定義域內(nèi)

①兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；②兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函

數(shù)；

③一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).

【注】函數(shù)的問題，一定要注意“定義域優(yōu)先”的原則?？疾旌瘮?shù)的奇偶性同樣要優(yōu)先考

慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

4.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)的定義：若T為非零實(shí)數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意X,總有/(x+T)=/(x)恒

成立，則/(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。

(2)周期函數(shù)的性質(zhì)：①若T是函數(shù)/(x)的一個(gè)周期，則也是它的一

個(gè)周期；②若的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為/*)的最小正周期；③如

果對(duì)于函數(shù)/(x)定,義域中的任意x,滿足/(x+a)=/(x+。)，則得函數(shù)/(x)的最小正

周期是們。

【注】如果對(duì)于函數(shù)/(x)定義域中的任意X,滿足/■(x+a)=/(x+8),則得函數(shù)/(x)的

周期是7=|。一。|；如果對(duì)于函數(shù)/(x)定義域中的任意％,滿足f(x+a)=/(—x+b),

則得函數(shù)/（X）的對(duì)稱軸是X=土產(chǎn)。

應(yīng)用舉例：

類型一、函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的判斷

【例1】（2021?廣西高三開學(xué)考試）關(guān)于函數(shù)y=2sinm+3sin手，下列關(guān)于該函數(shù)說法正

確的是（）

A.周期為12B.周期為24

C.是偶函數(shù)D.最大值為4

【答案】A

【分析】

利用周期的定義判斷AB,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷C,對(duì)于D,舉例判斷

【詳解】對(duì)于AB,設(shè)函數(shù)的最小正周期為7,則/（x+T）=2sin7）+3sin雙二；,）

=Ikjr,keN\^-=2k^,keN”,

23

所以T=4k,ZwN;T=6V,keN*,所以T的最小值為12,所以函數(shù)的周期為12,所以A

正確，B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,函數(shù)的定義域?yàn)镽,因?yàn)?/p>

7TXy_.(7TX\(.7TX_.7Tx\

f(-x)=2sinl---l+3sinl一一—l=-l2sin—+3sin—I=-/（x）,所以函數(shù)為奇函數(shù)，所

以C錯(cuò)誤，對(duì)于D,當(dāng)*=,時(shí)，y=2si吟+3si吟=0+3>4,所以D錯(cuò)誤,

【例2】（2021?廣東石門中學(xué)高三其他模擬）已知函數(shù)f（x）=xln（2'+2T）,則以下結(jié)論正

確的是（）

A.“X）為奇函數(shù)B.在區(qū)間（0,+8）上單

調(diào)遞增

C.曲線y=/（x）在（0,火0））處的切線的斜率為ln2D.函數(shù)/（X）有三個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)定義判定奇偶性，進(jìn)而判定A；利用積函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律可判定B;利用積函數(shù)的求導(dǎo)

法則可以求得導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到切線的斜率，從而判定C；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇函數(shù)的性

質(zhì)分析，即可判定D.

【詳解】

對(duì)A：函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且有？=》為奇函數(shù)，y=2'+2T為偶函數(shù)，，函數(shù)

/(x)=Hn(2'+2-')為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)B：當(dāng)xG(O,+8)時(shí)y=x為增函數(shù)，而

y=2X+2T>2,則ln(2'+2T)>ln2>0

當(dāng)xW(O,+oo)時(shí)y=2*+2-*為增函數(shù)，故函數(shù)4x)=xln(2"+27)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增,

故B正確：

對(duì)C：設(shè)/?(x)=ln(2*+2-*)，于是?v)=M(x),有:'(x)=Mi(x)+xft'(x)得/''(0)=/i(0)=ln2,故

C正確；

對(duì)D：故函數(shù)/(x)=xln(2'+2T)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增，且人龍)為奇函數(shù)，即函數(shù)

危)=xln(2*+2.、)在區(qū)間R上單調(diào)遞增，只有一個(gè)零點(diǎn)為x=0,故D錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】若火x),g(x)同奇偶，則奇函數(shù)/Wg(x)是偶函數(shù)，若奇偶性相反，則積函數(shù),/U)g(.t)

為奇函數(shù);若_/U)，g(x)在某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值為正值,且都是單調(diào)遞增函數(shù)，則積函數(shù)TU)g(x)

是單調(diào)遞增函數(shù)；關(guān)于y=e(x)型函數(shù)，利用積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可以將在x=0處的導(dǎo)

數(shù)值可以轉(zhuǎn)化為妝0)解決，對(duì)〃(x)的導(dǎo)函數(shù)可以采用設(shè)而不求的思想方法，更一般的，對(duì)

于y=(x-a)/z(x)型的函數(shù)在x=a處的導(dǎo)數(shù)，均可以仿照解決.

【例3】(2021?重慶高三其他模擬)已知函數(shù)〃工)=始[+々71)，8(力=三",則()

A.函數(shù)〃x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

B.函數(shù)“X)與g(x)都為增函數(shù)，且都為偶函數(shù)

C.函數(shù)/(x)與g(x)都為增函數(shù)，且都為奇函數(shù)

D.g(x)為奇函數(shù)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

【答案】AC

【分析】

利用奇偶性的定義判斷/。)、g(x)的奇偶性，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)判斷/(x)、g(x)是否關(guān)于

y=x對(duì)稱，由函數(shù)解析式直接判斷八刈、g(x)的單調(diào)性.

【詳解】

/(-x)=ln[-x+J(-xf+1]=ln(>/x2+1-x)=In----1”=-ln(x+>Jx2+1)=-f(x),

x+\lx2+1

且xeR,故/(x)為奇函數(shù)，排除B、D；

g(-x)=-------------=——-——=---------——=-g(x)，HXGR,故g(x)為奇函數(shù)，

,?^y=x+^/?W、V=lnx單調(diào)遞增，故/3單調(diào)遞增；y=e*、"V單調(diào)遞增，故g(x)

單調(diào)遞增，

，C正確，

若y=g(x)=^~—>即/*-2yex-1=0{ex>0),則e*=y+Jy，+1>x=ln(y++1),

且g(x)與/(x)的定義域、值域均為凡即它們互為反函數(shù)，關(guān)于y=x對(duì)稱，即A正確.

點(diǎn)睛：函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是

常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇

偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；

(1)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)

圖象的對(duì)稱性.

(2)周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換,

將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；

(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的

區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.

類型二、利用函數(shù)性質(zhì)解決函數(shù)零點(diǎn)問題

—x~—2x+1—2<無<0

【例4】【2021福建省廈門市高三】已知函數(shù)〃x)='-'若函數(shù)

'，［ex,x>0,

g(x)=/(x)—以+a存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】。4一工或aZe?

3

【解析】函數(shù)g(x)=/Cr)-以+a存在零點(diǎn)，即方程八￡)一奴+。=0存在實(shí)數(shù)根，

也就是函數(shù)y=/(x)與y=。(尤一1)的圖象有交點(diǎn).如圖：直線y=a(x-D恒過定點(diǎn)

(1,0),過點(diǎn)(一2,1)與(1,0)的直線的斜率女=二I-^0-=—1二設(shè)直線y=a(x-D與

-2-13

y=/相切于(/,e-)，則切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為/。，則過切點(diǎn)的直線方程為

丁一泊=*(%—玉))，由切線過(1,0),則一淖=*(1一天))，，入,*=2^陽，得％=2.此

時(shí)切線的斜率為e?.由圖可知，要使函數(shù)g(x)=/(x)-or+a存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為a4一！或aNe?.

3

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，其中數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法的靈

活應(yīng)用.

【例5】【2021河北省武邑中學(xué)高三】若定義在/?上的偶函數(shù)/(同滿足〃%+2)=/(%),

且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，〃x)=x,則函數(shù)y=/(x)-log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.6個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】B

【解析】分析：在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=k>g31xI的圖象，這兩

個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為所求.

詳解：?.?偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),故函數(shù)的周期為2.當(dāng)xe[0,1]時(shí)，f(x)

=x,

故當(dāng)xw[-l,0]時(shí)，f(x)=-x.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-logslxl的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)y=f

(x)的圖象與函數(shù)y=log31x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f(x)的

圖象與函數(shù)y=log31x|的圖象，如圖所示：

點(diǎn)睛?：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)和方

程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)一般有三種方法：(1)方程法；(2)圖

像法；（3）方程+圖像法.本題利用的就是方法（3）.

類型三、利用函數(shù)性質(zhì)解決參數(shù)范圍（或值）問題

I__V,

【例6】（2022?云南昆明一中高三）函數(shù)=——sinx+/—3x,則滿足

l+x

/％）-/（-%）<2檔的x的取值范圍是（）

A.（-1,-）B.（-1,1）

4

C.（；/）D.（；,+oo）

【答案】C

【分析】

先利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，判斷出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式.

【詳解】

由E>。得到（1一無）（l+x）>0=（xT）（尤+1）<。，故"X）的定義域?yàn)椋═1），對(duì)于定義域

內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,都有/（一x）=In-----Fsinx-x3+3x,f（x）=In--------sinx+x3—3x

\-x1+x

/./（-%）+/（%）=In^^+sinx-x3+3x+ln——--sinx+x3-3x=ln^-^+ln——-=lnl=0,所

1-x1+x\—X1+X

以/（X）為奇函數(shù)，又因?yàn)榈跷?1?-1+1），因?yàn)樽栽冢═，l）上單調(diào)遞減，所以

=+在（-1,1）上單調(diào)遞減，-sinx在（-□）上單調(diào)遞減，因?yàn)?/p>

\+XV\+X）

（X3-3X）'=3X、3<0,所以爐-3%在（fl）上單調(diào)遞減，所以“X）在（T1）上單調(diào)遞減，所以

f%卜卜，=2小”<2嗎），等價(jià)于爐卜/出，即;衰<1,解得:<x<l。

【例7】（2020?陜西西安市.交大附中）設(shè)奇函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椴坟訨,且“X）的圖象

是連續(xù)不間斷，任意xe有/'（x）cosx+/（x）sinx>0,若,

則"?的取值范圍是（）

【答案】C

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=@,可知g(x)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)y=g(x)在區(qū)間

上為減函數(shù)，進(jìn)而得出g(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，將所求不等式變形為

g㈣<g0,利用函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性可解出所求不等式.

【詳解】

令&3=鑒，定義域?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)y=〃x)為奇函數(shù)，所以

g(T)=GW=-?-g(x)，

COS(-A-)COSX

則函數(shù)g(x)=翌是定義在(-吳今)上的奇函數(shù)，g，(x)=>'(x)8：：；；(x)sinx,因?yàn)槿我獾?/p>

xej-g,。］,有/'(x)cosx+.f(x)sinx>0,所以當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,則g(x)=^i^

\2.J\27cosx

在xe(一|,0)上單調(diào)遞增，則函數(shù)g(x)=鑒是(一卦)上的奇函數(shù)并且單調(diào)遞增，山

:/(〃?)</(1］cOS(-〃2)=/?。軨OS〃2,因?yàn)?己<"?<:，所以COS加>0,以力<-⑴,

2⑴⑴22COS〃73工

3

即所以機(jī)又因?yàn)橐虼?/p>

'J?乙乙乙J

［例8］［2021寧夏石嘴山市第三中學(xué)】已知函數(shù)f(x)=-x3-7x+sinx,若

/(a2)+/(a-2)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(-8,1)B.(-8,3)c.(T，2)D.(-2,1)

【答案】D

【解析】

【分析】先研究函數(shù)f。)奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式

r(a2)+/(a-2)>0,解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

0^/(-X)=X3+7X-sinx=-/(x),f\x)=-3x2-7+cosx<0，所以f(x)為奇函數(shù)，且在

R上單調(diào)遞減，因?yàn)閞(a2)+Ha-2)>0,所以

22

/(a)>-f{a-2)=f(2-a),a<2-a,-2<a<lj選［)

【點(diǎn)睛】解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(%))>f(Mx))的形式，然

后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意。(乃與九(X)的取值

應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).

【例,9】【2021年天津市南開中學(xué)】設(shè)函數(shù)/(%)是定義在R上的以5為周期的奇函數(shù)，

a2+a+3

/(2)>1/(3)=--------

若3，則a的取值范圍是.

【答案】(-8,-2)U(0,3).

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)是以5為周期的奇函數(shù)，得〃2)=〃-3),結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，得/X-3)=-f(3)

由此結(jié)合/'(2)>1建立關(guān)于a的不等式，解之可得a的取值范圍.

【詳解】

a2+a+3

...函數(shù)f(x)以5為周期，；J(2)=f(-3),又八3)=a-3,函數(shù)是奇函數(shù)，

a2+a+3

f⑵---------->1

因此?-3，解之得0<a<3或a<-2,故答案為(_8,-2)U(0,3).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知識(shí)，熟練運(yùn)用函數(shù)

的性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

類型四、利用函數(shù)性質(zhì)解決函數(shù)圖象問題

【例10】(2021?安徽六安一中高三)已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足

/(x+l)=/(x-2),下列說法：

①—)的圖象關(guān)于X=|對(duì)稱；②y"(x)的圖象關(guān)于(1,o］對(duì)稱；

③y=在［0,6］內(nèi)至少有5個(gè)零點(diǎn)；④若y=/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，則它在

［2021,2022］上也是單調(diào)遞增.其中正確的是()

A.①④B.②③C.②③④D.①③@

【答案】C

【分析】

推導(dǎo)出f(3+x)+〃r)=0,可判斷①②的正誤；分析得出

/⑹=〃3)=/(0)=7?圖=/圖=0,可判斷③的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、周

期性的關(guān)系可判斷④的正誤.

【詳解】

因?yàn)椤?+1)=/。一2)且尸/(力是定義在/?上的奇函數(shù)，則/(》+3)="耳，故函數(shù)〃犬)

是周期為3的周期函數(shù)，且/(x+3)=/(x)=—/(—x),所以，/(3+x)+/(—x)=0,故函數(shù)

y=〃x)的圖象關(guān)于《可對(duì)稱，①錯(cuò)誤，②正確；由題意可知，/(6)=/(3)=/(0)=0,

因?yàn)閒(x)=〃x+3)=-/(f),令x=-|，可得」(-￡|=同，即，(1)=一同，所

以，/［|］=0,從而/圖=/1|)=0,故函數(shù)y=〃x)在［0,6］內(nèi)至少有5個(gè)零點(diǎn)，③正

確；因?yàn)?021=3x674-1,2022=3x674,且函數(shù)f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

則函數(shù)“X)在上也為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在［2021,2022］上也是單調(diào)遞增，④正確.

71

【例11】把函數(shù)〃乃=5也2%+0《?2》的圖象向右平移％個(gè)單位后得到函數(shù)9。)的圖象，

則9(%)

A.在'(。引的上單調(diào)遞增B.在'周的上單調(diào)遞減

(_二0)x=2

C.圖象關(guān)于點(diǎn)I12'，對(duì)稱D.圖象關(guān)于直線”一6對(duì)稱

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)配角公式化筒“彷，再根據(jù)圖象變換得。(乃，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)閒(x)=sin2x+&cos2'=2sin(2x+$,所以9。)=2sin(21-，)+胃=2sin2x

因此g(x)在'以上單調(diào)遞增，圖象不關(guān)于點(diǎn)'12，對(duì)稱，也不關(guān)于直線6對(duì)稱，選A.

【點(diǎn)睛】

三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，

所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母》而言.

【例12X2021寧夏平羅中學(xué)高三】已知函數(shù)外幻=2sin(2x+缶(0<租<乃)，若將函數(shù)/(幻

71

的圖象向右平移%個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列結(jié)論中不亞獨(dú)的是

57Tn

A.”=石B.(正'①是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

Y=—一

C.f")=-2D.6是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸

【答案】C

【解析】

71

函數(shù)f(X)=2sin(2x+S)的圖象向右平移石個(gè)單位，可得

nn

g(x)=2sin(2x--+<p)5(x)=2sin(2x--+(p)鉆師石辛工北曲“小山

3,3的圖象關(guān)十y軸對(duì)稱，所以iq

nn57r57r

-Q+(p=kn+53=T../(x)=2sin(2x+—)

32,"-。時(shí)可得6,故6

57r57r57r

/((p)=2sin(-+-)=2sin-=2-、個(gè)一一》_

36y2,/")=-2不正確，故選c.

類型五、利用函數(shù)性質(zhì)解決函數(shù)解析式問題

【例13X2021上海市崇明區(qū)高三】設(shè)“X)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,l]

時(shí)，〃x)=log2(x+l),則函數(shù)/(X)在[1,2]上的解析式是

【答案】〃x)=log2(3-X)

【解析】設(shè)xe[—l,0]，則一XG[0,1],結(jié)合題意可得：/(x)=/(-x)=log2(—x+l)，

設(shè)xe[l,2],則x-2w[-l,0],故〃x)=k)g2[-(x_2)+l]=log2(3_x).

綜上可得，函數(shù)/(可在[1,2]上的解析式是/(x)=/og2(3—x).

[例14][2021湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等''荊、荊、襄、宜“聯(lián)考】若函數(shù)y=/(x—2)

的圖像與函數(shù)y=log36+2的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則/(x)=()

A.32-1-2B.32*1C.32VD.32X+2

【答案】C

【解析】???函數(shù)y=f(x—2)的圖象與函數(shù)尸log?6+2的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

函數(shù)y=/(x-2)與函數(shù)y=/og34+2互為反函數(shù)，又；函數(shù)尸四3石+2的反函數(shù)

2(jr2)

為：y=32g),g[j/(x-2)=3-,函數(shù)的圖象向左平移兩個(gè)單位可得/(X)=32*,

/(%)=32<故選C.

類型六、利用函數(shù)性質(zhì)解決函數(shù)值問題

【例15】(2021?孟津縣第一高級(jí)中學(xué)高三)偶函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，且當(dāng)了目0,1]

時(shí)，/。)=擊一1，貝1]/(2019)+/(2020)+/(2021)=()

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】

偶函數(shù)/(x)關(guān)了點(diǎn)(LO)對(duì)稱，則/(x)是周期為4的函數(shù)，計(jì)算出“0)、/(1),再利用周

期可得〃2019)+〃2020)+/(2021).

【詳解】

偶函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則〃一力=〃力，/(2-x)=-/(x)=-/(-x),令—x=f,

則〃2+/)=-/?),

故/(4+f)=_/(2+f)=/(f),/(x)是周期為4的函數(shù)，/(0)=擊一1=2,

/⑴=擊-1=。,

又?.?"2020)="0)=2,/(2021)=/(1)=0,〃2019)=〃3)=/(-1)=〃1)=0,

.-./(2019)+/(2020)+/(2021)=2.

【例16】(2021嚀夏銀川二中)設(shè)函數(shù)/")的定義域?yàn)镽,f(x+l)為奇函數(shù),f(x+2)為偶

13

2

函數(shù)，當(dāng)⑵時(shí)，f(x)=ax+b9若f(0)+X3)=3,則/(5)=()

9575

A.—B.—C.-D.一

4422

【答案】B

【分析】

通過/(x+1)是奇函數(shù)和f(x+2)是偶函數(shù)可以確定函數(shù)f(x)的解析式與周期，進(jìn)而求出結(jié)

果.

【詳解】

因?yàn)閒(x+l)是奇函數(shù)，所以f(-x+l)=—/(x+1)①，且/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，因?yàn)閒(x+2)

是偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(—x+2)②，且/(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，所以f(x)的周期為

4x(2-l)=4,令x=l,由①得f(0)=—令2),由②得f(3)=f(l),又/(0)+/(3)=3,所以

—/(2)+/(I)=-4a—b+a+b=3,a=—\,

令x=0,由①得八1)=一/⑴=/(D=0=〃=l,所以“幻一+i,xe[l,2],

所以/(1]3)=代5)"(；3)=-：5.

【例17】(2020.新和縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中)已知函數(shù)f(x)滿足/(l+x)+f(l-x)=0,且

=當(dāng)14x42時(shí)，=貝iJf(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】c

【分析】

根據(jù)已知條件得函數(shù)/(X)是周期函數(shù)，周期為T=4,進(jìn)而根據(jù)周期性求解即可.

【詳解】因?yàn)?(l+x)+f(l-x)=O,所以/(x+2)+/(-x)=0,又因?yàn)镮(-x)=f(x),所以

f(x+2)=-f(x)

所以/(4+x)=—/(x+2)=/(x),即函數(shù)/*)是周期函數(shù)，周期為7=4,因?yàn)楫?dāng)14x42時(shí),

f(x)=2x-l,

所以"1)=2-1=1,所以/(2021)=〃4x505+l)=〃l)=l。

類型七、利用函數(shù)性質(zhì)解決比較大小問題

【例18］(2021.鄂爾多斯市第一中學(xué))定義域?yàn)镽的偶函數(shù).f(x)滿足〃2-x)=〃x),且

在上是減函數(shù)，下列不等式正確的是()

A./(sing)>/［cos］)B./(sin3)>/(cos3)

【答案】A

【分析】

首先判斷函數(shù)的周期，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，得到函數(shù)在區(qū)間［0,1］上的單調(diào)性，再

判斷選項(xiàng).

【詳解】

由條件可知/(2-力=/(力=/(一力，所以函數(shù)的周期7=2,；/(工)在［—3,—2］上是減函數(shù),

???/(X)在區(qū)間［T0］也是減函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù)，

A.vO<cosy<siny<l,二故A正確：

B.-.-0<|sin3|<|cos3|<l,/(|sin3|)</(|cos3|)<=>/(sin3)</(cos3),故B不正確；

C.:0<si吟<cos?<l,吟)</(cos?)故C不正確：

D.-.-0<cosl<sinl<l,.,./(cosl)</(sinl),故D不正確.

【例19X2021福建南平市高三)設(shè)定義在R上的函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，且〃x)在(-?,0)

為增函數(shù).若對(duì)于不<0<七，且芭+七>0,則有()

A.同)B./(-%)>〃F)

C./(%)</(-9)D.〃f,)>/(w)

【答案】D

【分析】

函數(shù)是偶函數(shù)，且在(-?,0)為增函數(shù)，可以得到函數(shù)在(。,+?)為減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性以及

牛毛的大小關(guān)系，分別判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的大小即可

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且在(-?,0)為增函數(shù)，所以函數(shù)在(0,+?)為減函數(shù)

A選項(xiàng)中，因?yàn)檎?lt;0<々，且％+七>0,則0<|卻<同，因?yàn)楹瘮?shù)在(。，+?)減函數(shù)，所

以川刈>f(同)選項(xiàng)A錯(cuò)誤

B選項(xiàng)中，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以等價(jià)于/(-%)>/&)，因?yàn)?+%>0,

所以一當(dāng)"<0，"X)在卜？，。)為增函數(shù)，所以“一々)</(斗)，即〃—&)<,“―不)，

所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤

同理，C選項(xiàng)錯(cuò)誤

D選項(xiàng)中，/(一四)>/(々)等價(jià)于/(%)>/(—%),所以D選項(xiàng)正確

【例20】(2021?河北省唐縣第一中學(xué))設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，若

e(0,+?>)(x產(chǎn)電)，都有-----2----->°，則大小關(guān)系正確的為()

X\~X2

A./(log,3.1)</(log23)</(1)B./(log,3)</(log|3.1)</(1)

3252

C./(|)</(^,3.1)</(^23)D./(|)</(log23)</(log,3.1)

【答案】D

【分析】

由題意可知/(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，結(jié)合題意知3])=/(Togi3.1)=/(log,3.1),

22

3

進(jìn)而比較不』"23,1。823.1的大小即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)槿?占,々€(0,+8)。產(chǎn)工2),都有也匕3>o,所以f(x)在(0,位)上單調(diào)遞增：因

X\~X2

為/“)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以/(叫3.1)="-%3.1)=/(1嗚3.1),因?yàn)槌?2后，

所以2久3<3.r而y=log2X在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以gvlog?3〈log?3.1,故

/f|]</(log23)</(log23.1),即.f(|)</(log23)</(log,3.1)

'蔓方法、規(guī)律歸納：

1、判斷證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法：導(dǎo).數(shù)、定義、復(fù)合、圖像。

(1)定義法：用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是①設(shè)匹且王</；②作

差，(七)一/(々)；③變形(合并同類項(xiàng)、通分、分解因式、配方等,)④判斷/區(qū))一”勺)

的正負(fù)符號(hào)；⑤根據(jù)定義下結(jié)論。

(2)復(fù)合函數(shù)分析法：設(shè)y=/(M),u^g(x)xe[a,h],ae[〃],川都是單調(diào)函數(shù)，則

y=/[g(x)]在[a,切上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)

增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)

如下表：

U=g(x)y=fMy=f[g(x)]

增增增

增減減

減增減

減減增

(3)導(dǎo)數(shù)證明法

設(shè)/(x)在某個(gè)區(qū)間(a,刀內(nèi)有導(dǎo)數(shù)/(幻，若/(x)在區(qū)間(a力)內(nèi)，總有

/1(x)>0(/'(x)<0),則/(尤)在區(qū)間(a,與上為增函數(shù)(減函數(shù))；反之，若/(x)在區(qū)間

(a,與內(nèi)為增函數(shù)(減函數(shù))，則/(x)20(r(x)40).

(4)圖像法：一般通過已知條件作出函數(shù)圖像的草圖，從而得到函數(shù)的單調(diào)性。

2、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

必須先求出函數(shù)的定義域.對(duì)于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解，如

二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等.

【注】1)函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)：函數(shù)的單調(diào)性，從定義上看，是指函數(shù)在定義域的某

個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性，是局部的特征.在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，在整個(gè)定義域上不一定單調(diào).

2)單調(diào)區(qū)間的表示：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)

區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

實(shí)戰(zhàn)演練：

L下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是()

A./(x)=x2sinxB./(x)=-x|x+l|

c-/(x)=lg工

D.-7VX

【答案】C

【解析】A選項(xiàng)中，函數(shù)為奇函數(shù)，但由f(x)=O,得sinjc=O=x=A肛ZeZ,.?.該函

數(shù)有無窮多個(gè)零點(diǎn)，故不單調(diào)：3選項(xiàng)中，函數(shù)滿足/(—1)=0,/(1)—2,故既不是奇函

數(shù)又不是增函數(shù)；。選項(xiàng)中，函數(shù)定義域是(-1,1),并且

y(x)+/(-x)=lgp^+lg1^=O1.?.函數(shù)是奇函數(shù),設(shè)8(力=寧,那么當(dāng)

-1<%<*2<1時(shí)，g(Xl)-g(%2)=(2(、、/七)、<0,...函數(shù)g(x)是增函數(shù)，由復(fù)

(1--

1_1_y

合函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)=是增函數(shù)；。選項(xiàng)中，函數(shù)是奇函數(shù)且是減函數(shù),

故選C.

2.(多選)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)的有()

2

A.y=2~^B.y=x3

C.y=N—1D.y=x3

【答案】BC

【解析】A.令y=危)=2一園,人一幻=2一廠用=2一R=/(x),是偶函數(shù)，但在(0,+8)上，y=2

r是減函數(shù)，

222

故A錯(cuò)誤；B.令y=.")=戶，/一x)=(一工戶=戶，是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是增

函數(shù)，故B正確：

C.令)，=?￥)=(—1,八一X)=(一是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是增

函數(shù)，故C正確；D.令丁二凡到二%3,,八—》)=(—X)3=—/(X),是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故

選B、C.

3、已知函數(shù)/*)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=lg(l-x)-e\若

C/II\o

a=fV,b=fy,c=f5：,則a,b,c的大小關(guān)系為()

\/\7\/

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

【答案】B

【分析】

先利用已知的解析式判斷出〃x)在(f,0)上單調(diào)遞減，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，得到/(x)在

(0,+oo)上單調(diào)遞增，然后利用指數(shù)的運(yùn)算比較得出O<5!<2；<3>由單調(diào)性即可判斷得到答

案.

【詳解】

當(dāng)X<0時(shí),/(x)=fe(1-x)-ex,則函數(shù)f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減(減+減=減)，又函數(shù)f(x)為

R上的偶函數(shù)，

所以/(x)在(0,+℃)上單調(diào)遞增，因?yàn)?2孫<(35)6>所以以<3)'又(2，°>(5卬"，所以”>5,'

故0<5久2昊31所以/(5$)</(23)</(3?即(兒

4.定義在R上的圖象不間斷的奇函數(shù)/。)，滿足以下條件：①當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f'(x)<Q,

當(dāng)xe(l,2)時(shí)，r(x)>0;②/(x+4)=F(x),則當(dāng)xe(4,8)時(shí)，f(x)>0的解集為()

A.(3,5)B.(4,6)C.(5,7)D.(6,8)

【答案】D

【分析】

利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性結(jié)合簡(jiǎn)圖可得結(jié)果.

【詳解】

定義在R上的圖象不間斷的奇函數(shù),則/(0)=0,

因?yàn)楫?dāng)xw(o,l)時(shí),r(x)<0,即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)xw(L2)時(shí)，/(力>0,函數(shù)

在(1,2)上單調(diào)遞增，又f(x+4)=f(x),則-/⑵=/(-2)=/⑵,所以〃-2)=/(2)=0,所

以當(dāng)xe(0,2)時(shí)，/(x)<0,當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，/(x)>0,且函數(shù)的周期7=4,/(“)的圖象

大致為下圖.

O\^/2f\^/bX、*

則當(dāng)xe(4,8)時(shí),/(%)>0的解集為(6,8).

5.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+◎上單調(diào)遞增，且/⑴=0,若實(shí)數(shù)x滿足

則X的取值范圍是()

1J.T131「111『31「1)「311.Lf

A.--,0UB.UC.--,0U-?+00JD.U0,5

【答案】A

【分析】

首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到函數(shù)/(x)在/?上單調(diào)遞增，K/(l)=/(-l)=0,從而

得至IJxe(e,T),/(x)<0,%6(-1,0),f(x)>0,xe(0,l),f(x)<0,XG(1,+OO),f(x)>0,

再分類討論解不等式貨卜-小。即可.

【詳解】

因?yàn)槠婧瘮?shù)/(x)在(0,”)上單調(diào)遞增，定義域?yàn)镽,/(D=0,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)

遞增，且/⑴=/(T)=0.所以xe,/(x)<0,xe(-l,0),/(x)>0,xe(O,l),

/(x)<0,xe(l,y),〃x)>0.因?yàn)?(x-g卜0,當(dāng)x<0時(shí)，即

-l<x--<0sgx-->l,解得」4x<0.

222

當(dāng)x=0時(shí)，符合題意.當(dāng)x>0時(shí)，/p-^<0,x-1<-1^0<x-l<l,解得.4x4?.

]13

綜上：--<X<0ng-<X<-.

6.(2021?撫順市第二中學(xué))已知函數(shù)/(x)=x"+￡(〃為正整數(shù))，有下列四種說法：

①函數(shù)f(x)始終為奇函數(shù)；

②當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為8；

③當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)的極大值為一8；

④當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線)，=2x對(duì)稱.

其中所有正確說法的序號(hào)是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】

對(duì)于①，利用函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷；

對(duì)于②，利用基本不等式求出最小值即可判斷；

對(duì)于③，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，作出/(x)=x"+?的圖像，利用圖像進(jìn)行判斷；

對(duì)于④，當(dāng)”=1時(shí)，作出函數(shù)/(')='+3和>=2x的圖像，利用圖像進(jìn)行判斷.

X

【詳解】

f(x)=x"+］的定義域?yàn)?TO,0)U(0,+8).對(duì)于①,當(dāng)〃=2時(shí)，f(x)=x2+^,滿足

f(-x)=f(x),則/(x)為偶函數(shù)；故①錯(cuò)誤.

對(duì)于②，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，x">0,所以/(x)=x"+祚2卜詈8,當(dāng)x"=t，即》=土聽

時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)f(x)的最小值為8；故②正確.

對(duì)于③，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，作出/(x)=x"+￡的圖像如圖示：

由圖像可得：f(x)的極大值為-8：故③正確.

對(duì)于④，當(dāng)”=1時(shí)，作出函數(shù)f(x)=x+3和y=2x的圖像如圖示:

顯然函數(shù)y=/(x)的圖像不關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，故④錯(cuò)誤.

7.定義在R上的偶函數(shù)“力滿足〃x+l)=-/⑴，當(dāng)xw［O,l］時(shí),7(尤)="+2,

g(x)=2sin^x(-3<x<5),則函數(shù)/(x)與g(x)圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】

根據(jù)已知條件分析出f(x)的周期性和對(duì)稱性，作出兩個(gè)函數(shù)圖象根據(jù)圖象即可得解.

【詳解】

由題f(x)滿足/(x+l)=—/(x),貝U〃x+2)=—〃x+l)=/(x),所以函數(shù)周期7=2,定義

在R上的偶函數(shù)〃x）,/（x+l）=—/（x）,/（x+l）+/（x）=O,/（x+l）+/（-x）=O,則函

數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，當(dāng)xe[O,l]時(shí)，〃x）=Yr+2,根據(jù)周期性和對(duì)稱性，作出和

4x45）圖像:

兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于宜線x=l對(duì)稱，共六個(gè)公共點(diǎn)，所以，公共點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為6.

8.（2021?福建省永泰縣第一中學(xué)）己知函數(shù)/（x）=log3（9'+l）-"是定義在R上的偶函數(shù),

設(shè)a==‘=/1-■）,則”，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【答案】D

【分析】

首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)女的值，即可得到函數(shù)解析式，再判斷函數(shù)在（0,+"）上的

單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)g