悖論與數(shù)學(xué)文化第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六“要懷疑一切，才能有所發(fā)現(xiàn)！”

——古希臘數(shù)學(xué)家第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六什么是悖論？悖論指在邏輯上可以推導(dǎo)出互相矛盾之結(jié)論，但表面上又能自圓其說的命題或理論體系。悖論的出現(xiàn)往往是因為人們對某些概念的理解認識不夠深刻正確所致。悖論的成因極為復(fù)雜且深刻，對它們的深入研究有助于數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、語義學(xué)等等理論學(xué)科的發(fā)展，因此具有重要意義。

——百科名片第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六

二律背反antinomy（兩個顯然令人信服的原理之間的，或者從它們正確地導(dǎo)出的推論之間的矛盾）一種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）

我們的悖論(嚴格意義上的)

paradox（悖論一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬））

看起來與常識矛盾或者對立的，然而可能是正確的命題

謬論

fallacy（從錯誤的開始或錯誤的推理中得到的錯誤的駭人聽聞的結(jié)論）一系列推理看起來好像無法打破，可是卻導(dǎo)致邏輯上自相矛盾

第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六在康德的哲學(xué)概念中，二律悖反指對同一個對象或問題所形成的兩種理論或?qū)W說雖然各自成立但卻相互矛盾的現(xiàn)象康德在《純粹理性批判》中提出了理性在宇宙論問題上的四組二律背反：①正題：世界在時間上有開端，在空間上有限；反題：世界在時間上和空間上無限。②正題：世界上的一切都是由單一的東西構(gòu)成的；反題：沒有單一的東西，一切都是復(fù)合的。③正題：世界上有出于自由的原因；反題：沒有自由，一切都是依自然法則。④正題：在世界原因的系列里有某種必然的存在體；反題：里邊沒有必然的東西，在這個系列里，一切都是偶然的。

第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六第一組二律悖反，說宇宙在時間上是有限的和無限的可以證明。如他用歸謬法（歸謬法是通過一個命題導(dǎo)出一個荒謬的結(jié)論而否定該命題的一種方法）進行證明：因為如果承認宇宙在時間上是無限、沒有開端的，那么就等于說到了一個時間點上（比如到目前為止），一段無限的時間序列已經(jīng)結(jié)束了，但這是不可能的，因為“無限”就是沒有結(jié)束之意，怎能說無限的時間結(jié)束了呢？由此看來，時間只能是有限的；另一方面，如果承認時間有限，則等于說，宇宙在時間上有個開端，在此以前宇宙還不存在，這也就等于在開端之前，時間是空的，而在空的絕對時間中是不可能形成萬物和世界的，所以，宇宙在時間上有個開端是不可能的，因此說時間是無限的。這種證明說明宇宙在時間上是無限的和有限的這兩個命題都是正確的?？臻g是無限的與有限的這兩個命題也同樣可以證明都是正確的。back第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六雙生子佯謬你和你的雙胞胎兄弟是同時出生的,假設(shè)你現(xiàn)在出發(fā)進行空間航行,飛船的速度接近光速(c),而你的兄弟留在地球上,因為速度接近光速,所以在地球上的兄弟看來,你的時間流逝的比較慢,這樣在你返回的時候?qū)l(fā)現(xiàn)他比你衰老.雖然這似乎和常識相抵觸,但一系列實驗已經(jīng)證明在這個場景中旅行的你確實比你的兄弟更年輕些。這個結(jié)果似乎與狹義相對論矛盾：雙生兄弟中的每一個人都認為對方相對于自己運動，因此由于時間膨脹的作用，每一個人都認為對方應(yīng)該比自己年輕。狹義相對論指出所有觀測者都有同等意義，沒有任何一個參考系（frameofreference）是會獲得優(yōu)待的。因此旅行者會預(yù)期回到地球后會看見比他更年輕的雙生兄弟，但這就與他兄弟的想法恰好相反。第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六但實際上旅行者的期望是錯誤的：狹義相對論并沒有說所有觀測者都有同等意義，而是只有在慣性系中的觀測者（即沒有進行加速運動的觀測者）才有同等的意義。但宇宙飛船在旅途中亳無疑問是至少加速過一次的，所以旅行者并不是慣性系。反之，留在地球上的兄弟在整個航程中都是在慣性系之中（如果忽略源自地球質(zhì)量及移動所帶來的相對較小的加速度），所以他能夠把他跟他兄弟分辨開來。back第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六這句話的英語原文是“Everythingisimpliedbyafallacy”，是邏輯學(xué)中的一條定理，也稱為“由任何一句假話都可以推出任何一句話”，形式化的表述是(非P)→(P→Q)?！坝芍囌摽梢酝瞥鋈魏我痪湓挕钡母拍钍橇_素最先提出的。他舉了一個荒謬的例子“如果1+1=3，那么羅素是教皇”，并給出了“證明”：

根據(jù)自然數(shù)3的定義，3=2+1，但已知1+1=3，所以1+1=2+1，利用等量公理得到1+1-1=2+1-1，即1=2；考慮集合{羅素，教皇}，這個集合的元素個數(shù)為2，但是已證1=2，所以也可以說這個集合的元素個數(shù)為1，由此可以得出羅素=教皇，證畢。通過這個例子，可以給出對于“邏輯蘊含”（即“推出”）的形式定義：“P→Q當(dāng)且僅當(dāng)Q為真或P為假”。由謬論可以推出任何一句話第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六我們再來看一個有趣的悖論----

亞里士多德的輪子悖論

如圖，輪子上有兩個同心圓，輪子滾動一周，從A點移動到B點。這時，|AB|相當(dāng)于大圓的周長，此時，小圓也正好轉(zhuǎn)動一周，并走過了長為|AB|的距離。這表明，小圓的周長也是|AB|！第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六由此我們甚至可以推論，所有的圓都是沒有半徑的點！

輪子滾動一周＝＞大圓周長＝|AB|

小圓走過的長為|AB|的距離正好轉(zhuǎn)動一周＝＞小圓周長也是|AB|

大家覺得問題在哪里呢？第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六事實上，最后一個推導(dǎo)是錯誤的。這說明，小圓是怎樣被帶著走了長為|AB|的距離。所以|AB|不能代表它的周長。以上是一個謬論第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六由上面的小悖論可以看出悖論對人思維的挑戰(zhàn)，但是大家不要以為悖論是錯誤的，認為它的存在會讓數(shù)學(xué)往相反的方向走去。其實恰恰相反，它的存在會讓數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)越來越堅固。一些悖論之所以會出現(xiàn)，并非惡意，是由于實際上它確實存在，也就是說數(shù)學(xué)上尚存在這個漏洞，下面，我將為講解一下由悖論而引起的數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六一、希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機二、貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機三、羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六

希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機

首先從勾股定理說起，大家知道，勾股定理是作為人類精神文明的象征之一，在飛向太空的旅行者號飛船中，便攜帶了由黃金制作的勾股定理的金屬板。在我國，最早的一部天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已有了關(guān)于這一定理的初步認識。不過，在我國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。

第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六宋刻本《周髀算經(jīng)》（上海圖書館藏）《周髀算經(jīng)》卷上記載西周開國時期周公與大夫商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三股修四經(jīng)隅五”，這是勾股定理的特例。第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六而第一次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生，就是因為勾股定理的一個特例，當(dāng)然，這首先要講述一個古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家——畢達哥拉斯第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六畢達哥拉斯何許人也？畢達哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學(xué)派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六在歐洲，由于畢達哥拉斯最先證明了勾股定理，因此，國外將之稱為畢達哥拉斯定理，據(jù)說，由于畢達哥拉斯證明此定理后欣喜若狂，便宰了100頭牛以示慶賀，這個定理又被稱為“百牛定理”而我們的故事，便是由此開始。。。第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六每一個時代，都不缺乏像東大的學(xué)生一樣勤于思考的人。。。。畢達哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)√2的誕生。小小√2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六

實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對于當(dāng)時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！

可是為我們的經(jīng)驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時直接導(dǎo)致了人們認識上的危機，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。

第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六直到二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數(shù)這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關(guān)的一些結(jié)論，從而解決了由無理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)危機。但是歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現(xiàn)無理數(shù)而實現(xiàn)的。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數(shù)的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數(shù)中就是非法的，不合邏輯的?；蛘哒f無理數(shù)只被當(dāng)作是附在幾何量上的單純符號，而不被當(dāng)作真正的數(shù)。

第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的實數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對數(shù)的認識從有理數(shù)拓展到實數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機。back第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機

第二次數(shù)學(xué)危機導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實踐認識的提高，十七世紀(jì)幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六貝克萊第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”?；\統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當(dāng)時實際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數(shù)學(xué)家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應(yīng)用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對微積分的取舍上到底何去何從呢？

于是，數(shù)學(xué)家們展開了長達一個世紀(jì)的漫漫征程。。。。。。第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六牛頓萊布尼茲第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六18世紀(jì)：朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉19世紀(jì)：柯西、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾。。。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項重要而困難的工作就這樣經(jīng)過許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅實牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機的徹底解決。back第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六

十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆?。甚至?900年，國際數(shù)學(xué)家大會上，法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學(xué)大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經(jīng)達到了……”可是，好景不長。1903年，一個震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論?？低袪柫_素羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六一、羅素悖論：通俗版解釋

一天，薩維爾村理發(fā)師掛出了一塊招牌：村里所有不自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā)。于是有人問他：“您的頭發(fā)誰給理呢？”理發(fā)師頓時啞口無言。

從1874年，德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，很快滲透到大部分數(shù)學(xué)分支，成為它們的基礎(chǔ)。并直到十九世紀(jì)末，全部數(shù)學(xué)幾乎都建立在集合論的基礎(chǔ)上了。就在這時，集合論接連出現(xiàn)了一系列自相矛盾的結(jié)果。特別是1902年羅素提出理發(fā)師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。于是，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)被動搖了，這就是所謂的第三次“數(shù)學(xué)危機”。此后，為了克服這些悖論，數(shù)學(xué)家們做了大量研究工作，由此產(chǎn)生了大批新成果，也帶來了數(shù)學(xué)觀念的革命。

第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六如1908年，策梅羅在自已這一原則基礎(chǔ)上提出第一個公理化集合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進了數(shù)學(xué)的大發(fā)展第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六以上簡單介紹了數(shù)學(xué)史上由于數(shù)學(xué)悖論而導(dǎo)致的三次數(shù)學(xué)危機與度過，從中我們不難看到數(shù)學(xué)悖論在推動數(shù)學(xué)發(fā)展中的巨大作用。悖論的出現(xiàn)逼迫數(shù)學(xué)家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應(yīng)運而生了：第一次數(shù)學(xué)危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數(shù)學(xué)危機促成了分析基礎(chǔ)理論的完善與集合論的創(chuàng)立；第三次數(shù)學(xué)危機促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)由此獲得了蓬勃發(fā)展，這或許就是數(shù)學(xué)悖論重要意義之所在吧。

第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六下面，和大家說幾個有意思的悖論一、一個囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“絞