文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除第51講逆向化歸解題法人們?cè)谔幚韱?wèn)題時(shí),常常按照習(xí)慣的思維途徑去進(jìn)行思考,運(yùn)用習(xí)慣的化歸方式方法去轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題,但按照這種思考方式或化歸方式在很多時(shí)候也會(huì)出現(xiàn)較繁或較難人手的情形,或出現(xiàn)一些邏輯上的困惑,這時(shí),從辯證思維的觀念出發(fā),從問(wèn)題或其中的某個(gè)方面的另一面人手進(jìn)行思考,例如針對(duì)常規(guī)處理方法,針對(duì)問(wèn)題條件、結(jié)論、求解程序、推理步驟進(jìn)行逆向化歸,采取順?lè)眲t逆、正難則反的適時(shí)化歸措施,這就是所謂的逆向化歸思想，逆向化歸的形式,常有升格(升維、升次、增項(xiàng)、增元、擴(kuò)域等),倒推、反求、反證、舉反例等.典型例題【例1】已知,求的值.【分析】若直接從條件出發(fā)通過(guò)變形求的值,其運(yùn)算肯定繁雜,順?lè)眲t逆,如果從這個(gè)所求式出發(fā)卻易得,故逆向化歸求解本題較為方便.【解析】設(shè),兩邊平方,得:.由已知條件可得.代換后得,即,亦即,亦即,解得或(不合題意,舍去).故知.【例2】解方程:.【分析】若直接解此無(wú)理方程,運(yùn)算量相當(dāng)大,由根式聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離并通過(guò)升維化歸為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差,進(jìn)而聯(lián)想到雙曲線方程,這是一種妙思巧解.【解析】原方程可化為.令,得: 上式表示動(dòng)點(diǎn)到的距離之差為6的點(diǎn)的軌跡.顯然是雙曲線的左支,其標(biāo)準(zhǔn)方程為:.當(dāng)時(shí),,故原方程的解為.【例3】若,求證:.【分析】不論是綜合法還是分析法證明此題都很困難,運(yùn)用反證法即假設(shè)結(jié)論的反面即成立,結(jié)合條件推出與假設(shè)予盾,反證法也是逆向化歸解題法的一種.【解析】【證明】假設(shè).而取等號(hào)的條件為,顯然不可能,所以.則,而,故.所以,從而,所以.所以,所以.這與假設(shè)矛盾,故.【例4】已知集合,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】易求得集合,而集合中對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為和若要確定集合,則需要對(duì)的取值分類討論,同時(shí)為使成立,還要對(duì)或4與或的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論.兩重討論甚為煩瑣,按照正難則反的解題原則,從的反面方向去思考,適時(shí)采取逆向化歸措施,正如德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比(C.G.J.Jacobi,)所言,“運(yùn)用逆向思維,要經(jīng)常反向思考問(wèn)題”,常?？烧业胶?jiǎn)捷的解法.【解析】易得,設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí),由于拋物線開口向上,則解得故要使,只須或.第52講互變思想在解題中的運(yùn)用矛盾著的東西往往也都互相聯(lián)系著,不但可以在一定條件下共處于一個(gè)統(tǒng)一體中,而且可以在一定條件下互相轉(zhuǎn)變,如“熟悉”與“陌生”,“合”與“分”,“正”與“逆”,“動(dòng)”與“靜”,“進(jìn)”與退”,“一般”與特殊”,“強(qiáng)化”與“弱化”,“抽象”與“具體”,“直”與“曲”,“主”與“次”,“整體”與“部分”,“有限”與“無(wú)限”,“或然”與“必然”等.一個(gè)事物矛盾的兩個(gè)方面,既是對(duì)立又是統(tǒng)一的,更是可以相互轉(zhuǎn)換的,從哲學(xué)上講既是“一分為二”,又是“合二為一”,互變是化歸的一種手段,但比化歸更深刻,哲學(xué)的意味更濃,當(dāng)今學(xué)術(shù)界倡導(dǎo)的批判性思維,在數(shù)學(xué)上的體現(xiàn)就是“互變”,就是對(duì)立又統(tǒng)一的辯證思想.關(guān)于互變思想在解題中的運(yùn)用,本書各章都有涉及,在“轉(zhuǎn)化與變換的思想”這一章中已有多個(gè)專題進(jìn)行論述.本章及本專題對(duì)此稍加拓展,可以這樣來(lái)表述:互變思想是指在處理、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中有意識(shí)地考慮對(duì)問(wèn)題進(jìn)行相互變化,從彼此相反的狀態(tài)、形式中尋找相互變化的途徑.典型例題【例1】在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程:.【分析】本題是一個(gè)四次方程,且系數(shù)含無(wú)理數(shù),用通常的方法不易求解,但如果把視為主元,把視為參數(shù),由,可得以為主元的二次方程,解之就簡(jiǎn)單了,這種題中元素之間角色的互換為某些看似難以解答的問(wèn)題開辟了一條通道.【解析】原方程變?yōu)?解上述關(guān)于的二次方程得:.于是.【例2】在坐標(biāo)平面上有一運(yùn)動(dòng)著的梯形,梯形在的條件下運(yùn)動(dòng),求原點(diǎn)到直線的最短距離.【分析】相對(duì)于原點(diǎn),梯形是在運(yùn)動(dòng)的,直線是動(dòng)直線,很難表示,若"動(dòng)”與“靜”互換角式,將梯形看作是靜止的,則原點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的,就成為兩個(gè)定點(diǎn),則的軌跡可求,也就成為定直線了,解題思路在角色的“動(dòng)”“靜”互變中產(chǎn)生了.【解析】因?yàn)樘菪问沁\(yùn)動(dòng)的,所以動(dòng)直線的方程難以表示,即使求得,也必含參數(shù)且比較復(fù)雜.若將梯形看作靜止而原點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的,則由可知,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.建立以中點(diǎn)為“原點(diǎn)”,中垂線為軸的新坐標(biāo)交,則直線的方程為:,動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為,設(shè)在新坐標(biāo)下的坐標(biāo)為,則到直線的距離為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),原點(diǎn)到直線的最短距離為.【例3】在中,求證:.【分析】三角形中三角不等式的證明是個(gè)難點(diǎn),運(yùn)用放縮的技巧是必然的,問(wèn)題在于如何進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,如果把兩角視為整體變形,則如何處理?總要為配套另一個(gè)角,這個(gè)角必須與三角形內(nèi)角相關(guān),容易想到,引進(jìn)這個(gè)角.這樣我們可以試試加上三角形三內(nèi)角和的平均值的正弦來(lái)證.【解析】【證明】. .【例4】已知函數(shù)滿足:,且,當(dāng)時(shí),如果存在正項(xiàng)數(shù)列滿足條件：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求證:;(3)求證:.【分析】第問(wèn),由條件求得遞推關(guān)系后運(yùn)用累乘法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種常用方法.第(2)、第兩問(wèn)是數(shù)列不等式的證明,一般對(duì)于分母是兩個(gè)或多個(gè)相繼整數(shù)積的倒數(shù)和小于某常數(shù)的不等式的證明,通常對(duì)不等式左邊用放縮裂項(xiàng)法,適當(dāng)放縮使之能夠裂項(xiàng)相消.這里面放縮的技巧很重要,而通分與裂項(xiàng)又正是相反的兩種變形手段.【解析】由①②得從而④式代人③式得,由此可得.(2)由①得,當(dāng)