1（4.2a1

i,

1

j,

FiG證明：式

1 ) i, j i,式

2G

3K

及K2G(1)(查表4.1)

i,

2G1 kkji,

i,

2G1

i,

1

i,

1

ji,

0

i,

1

Fi

i,

21

FiGW1 ijij，證明彈性體總的應(yīng)變能等于由表面拉力iFi由無(wú)應(yīng)力狀態(tài)到應(yīng)力

ui證明：由（4.86和4.85）得W(ij)

ij0

ijdij

(ij)

ij0

當(dāng)材料是線彈性的時(shí)候，應(yīng)力—ij所以得出

1ijW1

(W)dV2WdV

ijij

ijWdV2

TiuidA

4.9無(wú)初始應(yīng)力和初始應(yīng)變的材料單元受到一個(gè)組合加載歷史，產(chǎn)生下列,間中的連續(xù)直線路徑[Mpa（拉應(yīng)力，剪應(yīng)力）]：1（0，0）至（0，68.95）2（0，68.95）3（206.85，68.95）4（206.85，- 為a(J3J2 a為材料常數(shù)。簡(jiǎn)單拉伸下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為109()5，其中Mpa3121轉(zhuǎn)化為主應(yīng)力空間中的路徑，利用以主應(yīng)力表達(dá)的應(yīng)力-關(guān)系計(jì)算該路徑末端的應(yīng)變，與（b）中以和（2

2s s

2aJ

(siks

23

2ij

,

2,

12,

2

a5

10005

5a

3J12219016.41(400)，J1(222) 由s1120s12103 43.12103, 42.336 1末端：J1224754.1025(100)，J1(222) 由s110s12101 2 2.3521030。 J12219016.41(400)，J1(222) 由s1120s12102 43.12103, 20.38103, 0 y y22（e）由 y 68.95（10,-10

得在主應(yīng)力空間1,2以主應(yīng)力表達(dá)的應(yīng)力-

3aJ2

(s22J

3J1

)2

)2

23J31p2p3p4754.1025(100siip23 1.1761031.176103 （f）1，344.104.12中描述的各向同性非線性彈性材料，某點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)ij

104

0 0確定相應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)ij

W和（a）K0

36.54106kN/

kN/31E

31236.54106kN/ 0 0

15.8910kN/21

21

1

17010010456.67

2

yzyz 0sGGmqoct/r0s

t15.891060.8125312106.21043.006106kN/sij2Gseij，應(yīng)力分量ijijsijpij2GseijKskk又eijijkk3ij

2Gs

s

kk代入合適的Gs、Ks

kN/m2 （b）根據(jù)W

r

r

W G

qoct/r

n3oct

t2oct 0

lnq

ac c

c 9K

boct/c

d2oct

代入 56.67104 106.2104 W1.03106Nm/ij ij

2404840

N由WijijijijW

N

m3

N

m3

N6.2σ0σps及σ1=p，σ2=2p，σ3=3p時(shí)的屈服值。TrescavonMises（a）σ1=p，σ2=2p，σ3=3p∴（b）vonMises準(zhǔn)則得，σps=σ0/√3σ1=p，σ2=2p，σ3=3p時(shí)， → 6.5利用Rankine準(zhǔn)則確定比例加載路徑 , 2p,2p,2p, 根據(jù)主應(yīng)力值

1 1

y1212 22x1222 x 2 2p1f

ft，又32p，所以，13p

36.6m=3Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，確定3/fc0.3兩種情況下在純剪試驗(yàn)中的屈服應(yīng)力ps。t tm=3的Mohr-Coulombm

f1sin3，313fcsin1,，當(dāng)

/f0.3

0.3f

1.3f Mohr-Coulomb1cosc1

13sintan

11.3f

1

0.3fc

c fc0.3fc

fc

fc 2

2

6 c0.53

所以，當(dāng)

/fc0.3情況下在純剪試驗(yàn)中的屈服應(yīng)力

0.53

fc同理，當(dāng)3/fc0.3時(shí)，同樣可以求得在純剪試驗(yàn)中的屈服應(yīng)力ps0.43fc6.14試驗(yàn)給出精度為±6.895MPa1310.275MPa（）2310.275MPa（1,2力空間中的五個(gè)應(yīng)力點(diǎn)也是屈服點(diǎn)；再由于加載方向不重要可得6.15（金晶）已知1 2275.8MPa，假定確定 （II）vonMisesTresca

F

,J)J32.25J2k

T。vonMises(II)Tresca

F

,J)J32.25J2k

（c） ()2 )2

6k1 2 ()22 k

6kTrescamax(1|2

12

1|2

23

1|2

3

|)1 2 max(1|2

12

1|

1|| k根據(jù)F(JJJ32.25J2k6 1 J26

6 6 68.95J3s1s2s3p1I13 1 pJ3(68.95F(J,J)J32.25J2 k MT

I IpIp

(1 已知：D ，d=2543.175