【能力提高練】第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和1．(2022?新高考全國II卷)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則()A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【解析】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D【答案】D2．(2022?北京四中高三(下)階段性測試一)已知數(shù)列滿足：，，，那么使成立的的最大值為()A．4 B．5 C．24 D．25【解析】由題意an+12﹣an2=1，∴an2為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴an2=1+(n﹣1)×1=n，又an＞0，則an=，由an＜5得＜5，∴n＜25．那么使an＜5成立的n的最大值為24．故選C．【答案】C3．(2022?深圳實驗學校等高三(上)聯(lián)考)(多選)設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則下列結(jié)論正確的是()A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當時， D．【解析】等差數(shù)列的前項和為，若，可得，可得B正確；故數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯誤；因為，，因為數(shù)列是遞減數(shù)列，當時，，故當時，，C是正確的；，故D錯誤；故選：BC【答案】BC4．(2022?重慶市育才中學高三(下)入學考試)定義：在數(shù)列中，若滿足(，d為常數(shù))，稱為“等差比數(shù)列”，已知在“等差比數(shù)列”中，，，則等于()A． B．C． D．【解析】由題意可得：，，，根據(jù)“等差比數(shù)列”的定義可知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，，所以．故選：C【答案】C5．(2022?四川省南充高級中學高三第一次月考)“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是關(guān)于整除的問題(如7被3除余1：1被2除余1).現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到100這100個正整數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列各項的和為()A．736 B．816 C．833 D．29800【解析】被2除余1且被3除余1的整數(shù)即被6除余1，這些整數(shù)由小到大依次排成一列構(gòu)成的數(shù)列通項為，由得，而，即，于是得符合條件的數(shù)列有17項，這17項和為，所以數(shù)列各項的和為833.故選：C【答案】C6．(2022?四川省成都市第七中學高三二模)在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項：第一次取1；第二次取2個連續(xù)偶數(shù)2，4；第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個連續(xù)偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個連續(xù)奇數(shù)17，19，21，23，25，按此規(guī)律取下去，得到一個子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則在這個子數(shù)列中第2020個數(shù)是()A．3976 B．3974C．3978 D．3973【解析】由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個數(shù)，前n次共取了個數(shù)，且第n次取的最后一個數(shù)為n2，當時，，即前63次共取了個數(shù)，第63次取的數(shù)都為奇數(shù)，并且最后一個數(shù)為，即第2016個數(shù)為3969，所以當n＝64時，依次取3970，3972，3974，3976，…，所以第2020個數(shù)是3976.故選：A.【答案】A7．(2022?江蘇省蘇州中學等四校高三(下)期初聯(lián)合檢測)(多選)在數(shù)列中，，前n項的和為Sn，則()A．的最大值為1 B．數(shù)列是等差數(shù)列C．數(shù)列是等差數(shù)列 D．【解析】對于A：當n=2時，有，若時，由基本不等式可得：(時取等號)，所以；若中有一個為0或負值時，；若時，不可能成立；故的最大值為1.故A正確；對于B：數(shù)列中，，當n為奇數(shù)時，有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對于C：當n為偶數(shù)時，有，只有時，數(shù)列是等差數(shù)列，否則數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；對于D：.故D正確.故選：ABD【答案】ABD8．(2022?江蘇省南京師范大學附屬中學高三(下)開學考試)在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列()．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.【答案】B9．(2022?湖北省圓創(chuàng)聯(lián)考高三(下)第二次聯(lián)合測評)已知等差數(shù)列的公差不等于0．其前為項和為．若，則的最大值為()A．18 B．20C．22 D．24【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，因，即，顯然，否則，矛盾，于是得，又，否則，公差，矛盾，因此，，解得，而，則公差，，由得，，于是有等差數(shù)列是遞減數(shù)列，其前5項都是非負的，從第6項起為負，當或時，，所以的最大值為20.故選：B【答案】B10．(2022?黑龍江省雙鴨山市第一中學高三(上)期末)已知數(shù)列滿足，且取最小值時為()A． B． C． D．【解析】由，得，，累加可得，又，.當，，也滿足上式.所以數(shù)列的通項公式為.，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因為.，故選：C.【答案】C11．(2022?黑龍江省實驗中學高三第六次月考)數(shù)列滿足，則等于()A． B． C． D．【解析】因為數(shù)列滿足，，()，則，則，()，又滿足，所以，因此.故選：A【答案】A12．(2022?黑龍江省大慶鐵人中學高三(上)期中)已知等差數(shù)列的前項和為，若，且，則下列說法中正確的是()A．為遞增數(shù)列 B．當且僅當時，有最大值C．不等式的解集為無限集 D．不等式的解集為【解析】由，知，即，設(shè)等差數(shù)列的首項，公差，，解得，對于A，由，知為遞減數(shù)列，故錯誤；對于B，由，知當或時，有最大值，故B錯誤；對于C，由等差數(shù)列求通項公式知，解得，即，故C錯誤；對于D，由等差數(shù)列求和公式知，即，解得，即，故D正確；故選：D.【答案】D13．(2022?北京市第八中學高三(下)開學考試)已知等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，對任意的，均有成立，則的值不可能是()A．2 B．3 C．4 D．5【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列，對任意的，均有成立，即是等差數(shù)列的前項和中的最大值，必有，公差，分3種情況討論：①，此時，、是等差數(shù)列的前項和中的最大值，此時，則有，則，②，此時，、是等差數(shù)列的前項和中的最大值，此時，則有，，③，，是等差數(shù)列的前項和中的最大值，此時，，則，變形可得：，，而，則有，綜合可得：.故選：A．【答案】A14．(2022?重慶市第八中學高三(下)第二次調(diào)研檢測)在等差數(shù)列中，，當取得最小值時，______.【解析】由題意得：，則；，所以：當時，取得最小值.此時，故答案為：7【答案】715．(2022?陜西省西安中學高三四模)已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則的取值范圍是__________．【解析】由題意可得，則，因為，可得，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，可得，所以，，所以，.故答案為：.【答案】16．(2022?寧夏銀川一中高三第六次月考)等差數(shù)列滿足：，且它的前項和有最大值，則取最大值時，_____;時，_____.【解析】因為等差數(shù)列滿足，所以，因為它的前項和有最大值，所以，則，，則，所以當取最大值時，2020，由,，所以時，1—4039的任意正整數(shù)都對.【答案】①2020②1—4039的任意正整數(shù)都對17．(2022?新高考全國I卷)記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；(2)∴【答案】(1)(2)見解析18．(2022?重慶市第八中學高三第六次調(diào)研檢測)在等差數(shù)列中，且，其中為的前項和.(1)求的通項公式；(2)證明：【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得：，解得：，所以.(2)要證，即證∵，∴，即.【答案】(1)(2)證明見解析19．(2022?河北省衡水中學高三二模)在數(shù)列中，，.(1)設(shè)，求證數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【解析】(1)在數(shù)列中，，，則當時，有，兩式相減得：，而，即，則有，整理得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.(2)由得：，而，則，，，因此，等差數(shù)列公差，即是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，即，于是得：，所以數(shù)列的通項公式.【答案】(1)證明見解析；(2).20．(2022?深圳外國語學校高三(下)第二次檢測)已知是等差數(shù)列的前項和，若，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的首項為，公