【能力提高練】第二節(jié)余弦定理1．(2022?云南省昆明市第一中學第六次月考)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求職公式，即的三個內(nèi)角所對的邊分別為，則的面積.已知在中，，則面積的最大值為()A． B． C．2 D．4【解析】∵，又∵，.∴(當且僅當時取等號).∴，∴面積的最大值為4.故選：D【答案】D2．(2022?山西省長治市第二中學高三(上)第三次練考)在中，、分別是邊、的中點，若，則的最小值為()A． B． C． D．【解析】依題意，如圖，設(shè)、，因為為中點，為的中點，，，，，，則，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【答案】A3．(2022?深圳外國語學校高三(下)第二次檢測)(多選)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，則下列說法正確的是()A．若，則B．若，，，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若，，則面積的最大值為【解析】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，所以，，A選項正確；對于B選項，，則，如圖所示，所以有兩解，B選項正確；對于C選項，若為鈍角三角形且為鈍角，則，可得，C選項錯誤；對于D選項，由余弦定理與基本不等式可得，即，當且僅當時，等號成立，所以，D選項正確．故選：ABD【答案】ABD4．(2022?遼寧省名校高三第四次聯(lián)考)拿破侖·波拿巴，十九世紀法國偉大的軍事家、政治家，對數(shù)學很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在中，，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其中心依次為，，，若，則__________，的最大值為__________.【解析】設(shè)，，.如圖，連接，.由拿破侖定理知，為等邊三角形.因為為等邊三角形的中心，所以在中，，，設(shè)，由余弦定理，得，即，解得：，即，，同理；又，，所以，在中，由余弦定理可得，即，化簡得，由基本不等式得，解得(當且僅當時取等號)，所以.故答案為：；.【答案】①②5．(2022?重慶市育才中學高三一模)設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(1)求的值；(2)若點D為邊的中點，，求的值．【解析】(1)因為，所以，即．又，所以．(2)如圖，作邊上的高，垂足為E，因為，所以．又，所以．因為點D為邊的中點，，所以．在直角三角形中，，所以．在直角三角形中，，所以．【答案】(1)4；(2)．6．(2022?重慶市第八中學高三(下)第一次調(diào)研檢測)已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角的值；(2)若，且的面積為，求的周長.【解析】(1)由正弦定理得，，則，所以，，，則，可得，故.(2)由三角形的面積公式可得，所以，，由已知可得，解得或.當時，則為等邊三角形，其周長為；當且時，由余弦定理可得，此時，的周長為.綜上所述，的周長為或.【答案】(1)(2)或7．(2022?重慶市巴蜀中學高三第八次月考)如圖，在中，點在線段上，且，.(1)若是正三角形，求的長；(2)若，，求的值.【解析】(1)因為，，由余弦定理可得.(2)因為，則為銳角，則，則，由正弦定理得，則，因此，.【答案】(1)(2)8．(2022?云南省師范大學附屬中學高三第七次月考)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)從兩個條件：①；②中任選一個作為已知條件，求的面積．【解析】(1)由正弦定理得，∴．又，∴，∴．又，∴；(2)若選擇①，將，代入得，即，∵，∴，，．∴．若選擇②，將，代入得，解得(舍去)，∴．∴．【答案】(1)；(2).9．(2022?天津市實驗中學高三(下)第三次檢測)在中，角A，，的對邊分別為，，，已知．(1)求角A的大??；(2)若，，求的面積．【解析】(1)，由正弦定理得：，即，因為，所以，解得：或-2(舍去)，因為，所以.(2)由余弦定理得：，解得：，所以，，所以【答案】(1)(2)10．(2022?天津市南開中學高三第四次調(diào)查)在中，內(nèi)角、、的對邊分別為，，，．(1)求角的大小；(2)若，．求：(ⅰ)邊長；(ⅱ)的值．【解析】(1)由已知及正弦定理得，，，(2)(ⅰ)因為，，由余弦定理得，(ⅱ)由，因為為銳角，所以，，【答案】(1)；(2)(ⅰ)；(ii)．11．(2022?天津市第一中學高三第三次月考)在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足.(1)求角的大??；(2)若，求的值；(3)若，，求的面積.【解析】(1)因為，所以，，因為，所以，所以；(2)因為，所以，所以，，所以.(3)由余弦定理得，又因為，，所以，所以三角形ABC的面積是.【答案】(1)；(2)；(3).12．(2022?江蘇省蘇州中學等四校高三(下)期初聯(lián)合檢測)在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b＋c．(1)求內(nèi)角A的大小；(2)若c＝3，，CD＝，求△ABC的面積．【解析】(1)由三角形的正弦定理及得，∴，∴，即，∵，∴，即.(2)如圖，∵，∴，且，在中，，∴由余弦定理得，，①在中，，∴由余弦定理得，，②由①②得，，③又在中，由余弦定理得，，④由③④得，，∴的面積為.【答案】(1)(2)13．(2022?吉林省東北師范大學附屬中學高三第二次摸底考試)在中，分別為內(nèi)角的對邊，(1)求角的大?。?2)若，求的面積.【解析】(1)∵，由正弦定理得，，化簡得，.∴.∵，∴；(2)∵，∴.∴.由正弦定理得，，∵，，∴.∴的面積.【答案】(1)；(2).14．(2022?湖南省長郡中學高三第六次月考)在中，設(shè)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若D為上點，平分角A，且，，求．【解析】(1)因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，可得，又因為，可得．(2)因為D為上點，平分角，則，又由，可得，又因為，可得，解得，因為，所以．【答案】(1)；(2)．15．(2022?湖南省雅禮中學等十六校高三(下)第一次聯(lián)考)在中，．(1)求B；(2)若，的面積為，求的周長．【解析】(1)由，得，∴，即，∴．由正弦定理，得，又，∴，即，，∴．(2)由的面積為，得，解得，即．由余弦定理，可得，解得．∴的周長為．【答案】(1)；(2).16．(2022?湖南省長沙市第一中學高三第八次月考)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，且.(1)求角C的大??；(2)若，點D為AB邊的中點，CD=，求的值.【解析】(1)由題意得：，∴，∴.∵，∴，又，∴，∴，∴；(2)由，可得，∴，∴.∴，即.∴，得【答案】(1)；(2).17．(2022?湖南省衡陽市第八中學高三第五次月考)在中，角，，的對邊分別為，，，已知，且，.(1)求證：；(2)求的面積.【解析】(1)證明：，，所以，根據(jù)正弦定理得，，又，所以，即(2)由余弦定理得，由(1)，得，結(jié)合可得.即，解得或(舍去)，所以【答案】(1)證明見解析(2)18．(2022?黑龍江省雙鴨山市第一中學高三(下)開學考試)在四邊形中，.(1)求及的長；(2)求的長.【解析】(1)在中，由余弦定理可得：，解得，所以.(2)由(1)知，所以，所以，又由，由正弦定理，可得，則.【答案】(1)，；(2)3.19．(2022?河北省名校聯(lián)盟高三(下)聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積.(1)求角A的值；(2)延長AC至點D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周長.【解析】(1)由題得．因為.(2)如圖，設(shè)，在中，由余弦定理得，(1)在中，由余弦定理得，即，(2)，(1)(2)得.所以△ABC的周長為.所以△ABC的周長為.【答案】(1)；(2)20．(2022?河北省衡水中學高三六調(diào))△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a+c=2bcosA.(1)證明：B=2A；(2)設(shè)D為BC邊上的中點，點E在AB邊上，滿足，且，四邊形ACDE的面積為，求線段CE的長.【解析】(1)由正弦定理得∶∵A，B∈(0，π)，∴A=B-A，∴B=2A(2)由∴DE⊥AB，∴∴，，∴而四邊形ACDE的面積∴由余弦定理得∶【答案】(1)證明見解析；(2).21．(2022?深圳實驗學校等高三(上)聯(lián)考)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，.(1)求B；(2)若，，求的面積.【解析】(1)因為，所以，所以，所以或.因為B為的內(nèi)角，且，所以或.(2)由(1)得，或，(i)當時，得，因為，，所以，即.因為無解，所以.(ii)當時，因為，所以，所以，所以的面積為.【答案】(1)或(2)22．(2022?華南師范大學附屬中學高三(上)綜合測試)在中，已知角所對的邊分別是，且.(1)求和角的值；(2)求的面積.【解析】(1)在中，由正弦定理得：，則有，而，解得，又，即為銳角，于是得，所以，.(2)在中，由余弦定理得：，整理得：，解得或，當時，，當時，，所以的面積為或3.【答案】(1)，；(2)或3.23．(2022?廣東省廣州市執(zhí)信中學高三(下)二月月考)如圖，在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、．已知，，，且為邊上的中線，為的角平分線．(1)求及線段的長；(2)求的面積．【解析】(1)，，，，在中，由余弦定理得，解得(負值舍去)，即．(2)，，，平分，，所以，為邊的中線，，．【答案】(1)，(2)24．(2022?北京市一零一中學高三(上)統(tǒng)考(二))在中，.求的值；若點為射線上的一個動點(與點不重合)，設(shè).①求的取值范圍；②直接寫出一個的值，滿足：存在兩個不同位置的點，使得.【解析】在中，根據(jù)余弦定理，所以因為，所以①在中，根據(jù)正弦定理，得因為點為射線上一動點，所以，所以的取值范圍為②答案不唯一.取值在區(qū)間上均正確.【答案】