離散數(shù)學(xué)屈婉玲第十四章1第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日第十四章代數(shù)系統(tǒng)簡介主要內(nèi)容二元運算及其性質(zhì)一元和二元運算定義及其實例二元運算的性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)定義及其實例子代數(shù)積代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)2第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日14.1代數(shù)系統(tǒng)的基本概念定義14.1

設(shè)S為集合，函數(shù)f：SSS稱為S上的二元運算，簡稱為二元運算．函數(shù)f:S→S稱為S上的一元運算，簡稱一元運算.S中任何元素都可以進行運算，且運算的結(jié)果惟一．S中任何元素的運算結(jié)果都屬于S，即S對該運算封閉．例1(1)自然數(shù)集合N上的加法和乘法是N上的二元運算，但減法和除法不是．(2)整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法都是Z上的二元運算，而除法不是．求一個數(shù)的相反數(shù)是Z上的一元運算.(3)非零實數(shù)集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運算，而加法和減法不是．求倒數(shù)是R*上的一元運算.3第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日實例(4)

設(shè)Mn(R)表示所有n階(n≥2)實矩陣的集合，即矩陣加法、乘法是Mn(R)上的二元運算.轉(zhuǎn)置是一元運算.(5)S為任意集合，則∪、∩、－、為P(S)上二元運算.運算為一元運算.(6)SS為S上的所有函數(shù)的集合，則合成運算為SS上二元運算.求反函數(shù)不一定是一元運算.

4第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日二元與一元運算的表示1．算符可以用?,?,·,,,

等符號表示二元或一元運算，稱為算符.對二元運算?，如果x與y運算得到z，記做x?y=z對一元運算,x的運算結(jié)果記作x.2．表示二元或一元運算的方法:解析公式和運算表公式表示例設(shè)R為實數(shù)集合，如下定義R上的二元運算?：x,y∈R,x?y=x.那么3?4=3，0.5?(3)=0.55第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日運算表：表示有窮集上的一元和二元運算

運算表

二元運算的運算表

一元運算的運算表6第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日

例2

設(shè)S=P({a,b})，S上的和

～運算的運算表如下

運算表的實例7第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日二元運算的性質(zhì)定義14.2-4

設(shè)?為S上的二元運算,(1)若對任意x,y∈S有x?y=y?x,則稱運算在S上滿足交換律.(2)若對任意x,y,z∈S有(x?y)?z=x?(y?z),則稱運算在S上滿足結(jié)合律.(3)若對任意x∈S有x?x=x,則稱運算在S上滿足冪等律.定義14.5-6

設(shè)?和?為S上兩個不同的二元運算,(1)若對任意x,y,z∈S有(x?y)?z=(x?z)?(y?z)，

z?(x?y)=(z?x)?(z?y),則稱?運算對?運算滿足分配律.(2)若和?都可交換,且對任意x,y∈S有x?(x?y)=x，x?(x?y)=x,

則稱?和?運算滿足吸收律.8第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日實例Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為n階實矩陣集合,n2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，|A|2集合運算交換律結(jié)合律冪等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有無無Mn(R)矩陣加法+矩陣乘法有無有有無無P(B)并交相對補對稱差有有無有有有無有有有無無AA函數(shù)復(fù)合無有無9第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日

集合運算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+與乘法對+可分配+對不分配無Mn(R)矩陣加法+與乘法對+可分配+對不分配無P(B)并與交對可分配對可分配有交與對稱差

對可分配無實例Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為n階實矩陣集合,n2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，|A|210第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日特異元素：單位元、零元定義14.7-9

設(shè)?為S上的二元運算,(1)如果存在el(或er)S，使得對任意x∈S都有

el?x=x(或x?er

=x)，則稱el(或er)是S中關(guān)于?運算的左(或右)單位元.若e∈S關(guān)于?運算既是左單位元又是右單位元，則稱e為S上關(guān)于?運算的單位元.單位元也叫做幺元.(2)如果存在

l(或

r)∈S，使得對任意x∈S都有

l?x=

l

(或x?

r

=r)，則稱

l(或

r)是S中關(guān)于?運算的左(或右)零元.若

∈S關(guān)于?運算既是左零元又是右零元，則稱為S上關(guān)于運算?的零元.11第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日可逆元素和逆元(3)設(shè)?為S上的二元運算,令e為S中關(guān)于運算的單位元.

對于x∈S，如果存在yl(或yr)∈S使得

yl?x=e（或x?yr=e）則稱yl(或yr)是x的左逆元（或右逆元）.關(guān)于?運算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，則稱y為x的逆元.如果x的逆元存在，就稱x是可逆的.可以證明：對于給定二元運算，單位元或零元如果存在，則是唯一的.對于可結(jié)合的二元運算，給定元素若存在逆元，則是唯一的逆元

12第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日實例集合運算單位元零元逆元Z,Q,R普通加法+普通乘法01無0x逆元xx逆元x1(x1給定集合)Mn(R)矩陣加法+矩陣乘法n階全0矩陣n階單位矩陣無n階全0矩陣X逆元XX的逆元X1（X可逆）P(B)并交對稱差BB無的逆元為B的逆元為BX的逆元為X13第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日消去律定義14.10設(shè)°為S上的二元運算，如果對于任意的x,y,zS滿足以下條件：(1)若x°y=x°z且x，則y=z；(2)若y°x=z°x且x，則y=z；稱?運算滿足消去律，其中(1)為左消去律，(2)為右消去律．注意被消去的x不能是運算的零元．整數(shù)集合上的加法和乘法滿足消去律．P(S)上的并和交一般不滿足消去律.對稱差運算滿足消去律,A,B,CP(S)，都有AB=ACB=CBA=CAB=C14第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日代數(shù)系統(tǒng)定義14.11

非空集合S和S上k個一元或二元運算f1,f2,…,fk組成的系統(tǒng)稱為代數(shù)系統(tǒng),簡稱代數(shù)，記做<S,f1,f2,…,fk>.實例：(1)<N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·分別表示普通加法和乘法.(2)<Mn(R),＋,·>是代數(shù)系統(tǒng)，＋和·分別表示n階(n≥2)實矩陣的加法和乘法.(3)<Zn,,>是代數(shù)系統(tǒng)，Zn＝{0,1,…,n-1}，和分別表示模n的加法和乘法，對于x,y∈Zn，xy=(x＋y)modn，xy=(xy)modn(4)<P(S),,,~>是代數(shù)系統(tǒng)，和為并和交，~為絕對補15第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日代數(shù)系統(tǒng)的成分與表示構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)的成分：集合（也叫載體，規(guī)定了參與運算的元素）運算（這里只討論有限個二元和一元運算）代數(shù)常數(shù)（通常是與運算相關(guān)的特異元素：如單位元等）研究代數(shù)系統(tǒng)時，如果把運算具有它的特異元素也作為系統(tǒng)的性質(zhì)之一，那么這些特異元素可以作為系統(tǒng)的成分，叫做代數(shù)常數(shù).例如：代數(shù)系統(tǒng)<Z,+,0>：集合Z,運算+,代數(shù)常數(shù)0代數(shù)系統(tǒng)<P(S),∪,∩>：集合P(S),運算∪和∩，無代數(shù)常數(shù)16第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日代數(shù)系統(tǒng)的表示(1)列出所有的成分：集合、運算、代數(shù)常數(shù)（如果存在）如<Z,+,0>,<P(S),∪,∩>(2)列出集合和運算，在規(guī)定系統(tǒng)性質(zhì)時不涉及具有單位元的性質(zhì)（無代數(shù)常數(shù)）如<Z,+>,<P(S),∪,∩>(3)用集合名稱簡單標(biāo)記代數(shù)系統(tǒng)在前面已經(jīng)對代數(shù)系統(tǒng)作了說明的前提下使用如代數(shù)系統(tǒng)Z,P(B)17第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日同類型與同種代數(shù)系統(tǒng)定義14.12(1)如果兩個代數(shù)系統(tǒng)中運算的個數(shù)相同，對應(yīng)運算的元數(shù)相同，且代數(shù)常數(shù)的個數(shù)也相同，則稱它們是同類型的代數(shù)系統(tǒng).(2)如果兩個同類型的代數(shù)系統(tǒng)規(guī)定的運算性質(zhì)也相同，則稱為同種的代數(shù)系統(tǒng).例如V1=<R,+,·,0,1>,V2=<Mn(R),+,·,,E>,為n階全0矩陣，E為n階單位矩陣,V3=<P(B),∪,∩,,B>V1,V2,V3是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，它們都含有2個二元運算,2個代數(shù)常數(shù).V1,V2是同種的代數(shù)系統(tǒng)，V1,V2與V3不是同種的代數(shù)系統(tǒng)18第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日V1V2V3+可交換、可結(jié)合·可交換、可結(jié)合+滿足消去律·滿足消去律·對+可分配+對·不可分配+與·沒有吸收律+可交換、可結(jié)合·可交換、可結(jié)合+滿足消去律·不滿足消去律·對+可分配+對·不可分配+與·沒有吸收律∪可交換、可結(jié)合∩可交換、可結(jié)合∪不滿足消去律∩不滿足消去律∩對∪可分配∪對∩可分配∪與∩滿足吸收律運算性質(zhì)比較19第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日14.2幾個典型的代數(shù)系統(tǒng)主要內(nèi)容半群、獨異點與群環(huán)與域格與布爾代數(shù)20第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日半群、獨異點與群的定義定義14.13(1)設(shè)V=<S,°

>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運算，如果°運算是可結(jié)合的，則稱V為半群.(2)設(shè)V=<S,°>是半群，若e∈S是關(guān)于°運算的單位元，則稱V

是含幺半群，也叫做獨異點.有時也將獨異點V記作

V=<S,°,e>.(3)設(shè)V=<S,°>是獨異點，eS關(guān)于°運算的單位元，若

aS，a1S，則稱V是群.通常將群記作G.21第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日實例例1

(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法.這些半群中除<Z+,+>外都是獨異點(2)設(shè)n是大于1的正整數(shù)，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群，也都是獨異點，其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法(3)<P(B),>為半群，也是獨異點，其中為集合對稱差運算(4)<Zn,>為半群，也是獨異點，其中Zn={0,1,…,n1}，

為模n加法(5)<AA,?>為半群，也是獨異點，其中?為函數(shù)的復(fù)合運算(6)<R*,?>為半群，其中R*為非零實數(shù)集合，?運算定義如下：x,yR*,x?y=y22第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日半群：上的字代數(shù)和語言例2設(shè)是有窮字母表，kN，定義下述集合：k={a1a2…ak|ai}是上所有長度為k的串的集合.當(dāng)k=0時，0={}，表示空串.令

表示上所有有限長度的串的集合，+=*{}則表示上所有長度至少為1的有限串的集合.在*上可以定義串的連接運算，1,2*，1=a1a2…am,2=b1b2…bn有12=a1a2…amb1b2…bn顯然*關(guān)于連接運算構(gòu)成一個獨異點,稱為上的字代數(shù).上的語言L就是*的一個子集.23第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日群碼例3某二進制碼的碼字x=x1x2…x7由7位構(gòu)成，其中x1,x2,x3和x4為數(shù)據(jù)位,x5,x6和x7為校驗位，且滿足：

x5=x1x2x3

x6=x1x2x4

x7=x1x3x4這里的是模2加法.設(shè)G為所有碼字構(gòu)成的集合，在G上定義二元運算如下：x,yG,x°y=z1z2...z7,zi=xiyi,i=1,2,…,7.那么<G,°>構(gòu)成群.這樣的碼稱為群碼

24第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日群的相關(guān)概念及子群有限群：若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則稱為無限群群G的階：群G含有的元素數(shù)，有限群G的階記作|G|.交換群或阿貝爾(Abel)群：群中運算可交換實例：<Z,+>和<R,+>是無限群，<Zn,>是n階群．上述所有的群都是交換群，但n階（n2）實可逆矩陣的集合（是Mn(R)的真子集）關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群子群：群G的非空子集H關(guān)于群的運算構(gòu)成群，稱為G的子群.實例：H=nZ={nk|kZ}，n為給定自然數(shù)，是<Z,+>的子群.當(dāng)n=0和1時，子群分別是{0}和Z，稱為平凡子群；

2Z由能被2整除的全體整數(shù)構(gòu)成，也是子群.25第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日群的直積定義14.14設(shè)G1=<A,>和G2=<B,>是群，和分別為它們的二元運算，在集合AB上定義新的二元運算?，<a1,b1>,<a2,b2>AB，有<a1,b1>?<a2,b2>=<a1a2,b1b2>稱G=<AB,?>為G1與G2的直積，記作G1G2.例4

G1,G2分別為模2加和模3加群，它們的直積運算<0,0><0,1><1,0><1,1><2,0><2,1><0,0><0,1><1,0><1,1><2,0><2,1><0,0><0,1><1,0><1,1><2,0><2,1><0,1><0,0><1,1><1,0><2,1><2,0><1,0><1,1><2,0><2,1><0,0><0,1><1,1><1,0><2,1><2,0><0,1><0,0><2,0><2,1><0,0><0,1><1,0><1,1><2,1><2,0><0,1><0,0><1,1><1,0>26第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日環(huán)與域

定義10.15

設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·是二元運算.如果滿足以下條件:(1)<R,+>構(gòu)成交換群(2)<R,·>構(gòu)成半群(3)·運算關(guān)于+運算適合分配律則稱<R,+,·>是一個環(huán).通常稱+運算為環(huán)中的加法，·運算為環(huán)中的乘法.定義14.16

設(shè)<R,+,·>是環(huán)，若(1)環(huán)中乘法可交換；(2)R中至少含有兩個元素.且a∈R{0}，都有a－1∈R；則稱R是域.0指加法單位元，a－1指a的乘法逆元27第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日環(huán)與域的實例例5(1)整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實數(shù)環(huán)R

和復(fù)數(shù)環(huán)C.Q、R和C也稱為有理數(shù)域、實數(shù)域、復(fù)數(shù)

域.(2)n(n≥2)階實矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，稱為n階實矩陣環(huán).(3)集合的冪集P(B)關(guān)于集合的對稱差運算和交運算構(gòu)成環(huán).(4)設(shè)Zn＝{0,1,...,n－1}，和分別表示模n的加法和乘法，則<Zn,,>構(gòu)成環(huán)，稱為模n的整數(shù)環(huán).當(dāng)n為素數(shù)

時Zn構(gòu)成域.28第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日格的定義與性質(zhì)

定義14.17

設(shè)<S,?>是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，則稱S關(guān)于偏序?作成一個格.求{x,y}最小上界和最大下界看成x與y的二元運算∨和∧，例6

設(shè)n是正整數(shù)，Sn是n的正因子的集合.D為整除關(guān)系，則偏序集<Sn,D>構(gòu)成格.x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x與y的最小公倍數(shù).x∧y是gcd(x,y)，即x與y的最大公約數(shù).29第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日圖2例7

判斷下列偏序集是否構(gòu)成格，并說明理由.

(1)<P(B),>，其中P(B)是集合B的冪集.

(2)<Z,≤>，其中Z是整數(shù)集，≤為小于或等于關(guān)系.

(3)偏序集的哈斯圖分別在下圖給出.實例

(1)冪集格.x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y.(2)是格.x,y∈Z，x∨y=max(x,y)，x∧y=min(x,y)，(3)都不是格.可以找到兩個結(jié)點缺少最大下界或最小上界30第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日格的性質(zhì)：算律設(shè)<L,?>是格,則運算∨和∧適合交換律、結(jié)合律、冪等律和吸收律,即(1)a,b∈L

有

a∨b=b∨a,a∧b=b∧a(2)

a,b,c∈L

有

(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3)a∈L

有

a∨a=a,a∧a=a(4)

a,b∈L

有

a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a

31第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日格作為代數(shù)系統(tǒng)的定義設(shè)<S,?,?>是具有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng),若對于?和?運算適合交換律、結(jié)合律、吸收律,則可以適當(dāng)定義S中的偏序?,使得<S,?>構(gòu)成格,且a,b∈S有

a∧b=a?b,a∨b=a?b.格的等價定義：設(shè)<S,?,?

>是代數(shù)系統(tǒng),?和?是二元運算,如果?和?滿足交換律、結(jié)合律和吸收律,則<S,?,?>構(gòu)成格.32第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日分配格、有補格與布爾代數(shù)

定義14.18

設(shè)<L,∧,∨>是格,若a,b,c∈L,有

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)則稱L為分配格.注意：可以證明以上兩個條件互為充分必要條件L1和L2是分配格,L3和L4不是分配格.稱L3為鉆石格,L4為五角格.實例33第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日分配格的判別分配格的判別：設(shè)L是格,則L是分配格當(dāng)且僅當(dāng)L不含有與鉆石格或五角格同構(gòu)的子格.小于五元的格都是分配格.任何一條鏈都是分配格.

例6

說明圖中的格是否為分配格,為什么？解都不是分配格.{a,b,c,d,e}是L1的子格,同構(gòu)于鉆石格{a,b,c,e,f}是L2的子格,同構(gòu)于五角格；{a,c,b,e,f}是L3的子格同構(gòu)于鉆石格.

34第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日有補格的定義定義14.19

設(shè)L是格,(1)若存在a∈L使得x∈L有a?x,則稱a為L的全下界，

記為0；若存在b∈L使得x∈L有x?b,則稱b為L的全上界

，記為1.

(2)若L存在全下界和全上界,則稱L為有界格,一般將有界格L記為<L,∧,∨,0,1>.定義14.20

設(shè)<L,∧,∨,0,1>是有界格,a∈L,若存在b∈L

使得

a∧b=0和a∨b=1成立,則稱b是a的補元.定義14.21

設(shè)<L,∧,∨,0,1>是有界格,若L中所有元素都有補元存在,則稱L為有補格.35第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日補元的性質(zhì)

注意：在任何有界格中,全下界0與全上界1互補.對于一般元素,可能存在補元,也可能不存在補元.如果存在補元,可能是惟一的,也可能是多個補元.對于有界分配格,如果元素存在補元,一定是惟一的.36第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日有界格中的補元及實例例7L1：a與c互補,

a為全下界,c為全上界,b沒有補元.L2：a與d互補,

a為全下界,d為全上界,b與c互補.L3：a與e互補,

a為全下界,e為全上界,b的補元是c和d;

c的補元是b和d;d的補元是b和c.

L4：a與e互補,

a為全下界,e為全上界,b的補元是c和d;c的補元是b;d的補元是b.L2,L3和L4是有補格,L1不是有補格.37第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日布爾代數(shù)的定義與實例定義14.22

如果一個格是有補分配格,則稱它為布爾格或布爾代數(shù).布爾代數(shù)標(biāo)記為<B,∧,∨,,0,1>,為求補運算.例8

設(shè)S110={1,2,5,10,11,22,55,110}是110的正因子集合，gcd表示求最大公約數(shù)的運算，lcm表示求最小公倍數(shù)的運算，問<S110,gcd,lcm>是否構(gòu)成布爾代數(shù)？為什么？解(1)

不難驗證S110關(guān)于gcd和lcm運算構(gòu)成格.(略)(2)驗證分配律x,y,z∈S110

有

gcd(x,lcm(y,z))=lcm(gcd(x,y),gcd(x,z))

(3)驗證它是有補格,1作為S110中的全下界,110為全上界,1和110互為補元,2和55互為補元,5和22互為補元,10和

11互為補元,從而證明了<S110,gcd,lcm>為布爾代數(shù).

38第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日實例例9

設(shè)B為任意集合,證明B的冪集格<P(B),∩,∪,~,,B>構(gòu)成布爾代數(shù),稱為集合代數(shù).證(1)P(B)關(guān)于∩和∪構(gòu)成格,因為∩和∪運算滿足交換律,結(jié)合律和吸收律.(2)由于∩和∪互相可分配,因此P(B)是分配格.(3)全下界是空集,全上界是B.(4)根據(jù)絕對補的定義,取全集為B,

x∈P(B),~x是x的補元.從而證明P(B)是有補分配格,即布爾代數(shù).有限布爾代數(shù)含有2n個元素.39第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)與同態(tài)定義14.23設(shè)V1=<A,°>和V2=<B,>是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，f：AB，且x,yA有

f(x°y)=f(x)f(y)，則稱f是V1到V2的同態(tài)映射，簡稱同態(tài).

f若是單射，稱為單同態(tài)；若是滿射，稱為滿同態(tài)(V2是V1的同態(tài)像，記作V1V2）；若是雙射，稱為同構(gòu)，記作V1V2.V到V的同態(tài)f稱為自同態(tài).類似地可以定義單自同態(tài)、滿自同態(tài)和自同構(gòu).同態(tài)性質(zhì)：設(shè)f是V1=<A,°>到V2<B,>的同態(tài)映射，(1)若°運算具有交換律、結(jié)合律、冪等律等，那么在f(V1)中運算也具有相同的算律（注意，消去律可能有例外）.(2)f(e1)=e2，f(1)=2，f(x1)=f(x)140第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日實例例10

(1)V1=<Z,+>,V2=<Zn,>．Z為整數(shù)集合，+為普通加法；Zn={0,1,…,n1}，為模n加.令f：Z→Zn，f(x)=(x)modnf是V1到V2的滿同態(tài)．(2)設(shè)V1=<R,+>,V2=<R*,·>，R和R*分別為實數(shù)集與非零實數(shù)集，+和·分別表示普通加法與乘法．令f：R→R*，f(x)=exf是V1到V2的單同態(tài).(3)設(shè)V=<Z,+>，Z為整數(shù)集，+為普通加法.aZ，令fa：ZZ，fa(x)=ax，fa是V的自同態(tài).f0為零同態(tài)；當(dāng)a=1時，稱fa為自同構(gòu)；除此之外其他的fa都是單自同態(tài).41第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日第十四章習(xí)題課主要內(nèi)容代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成：非空集合、封閉的二元和一元運算、代數(shù)常數(shù)二元運算性質(zhì)和特異元素：交換律、結(jié)合律、冪等律、分配律、吸收律、單位元、零元、可逆元和逆元同類型的與同種的代數(shù)系統(tǒng)、積代數(shù)半群、獨異點與群、環(huán)與域、格與布爾代數(shù)的定義代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)42第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日基本要求判斷給定集合和運算能否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)判斷給定二元運算的性質(zhì)求二元運算的特異元素計算積代數(shù)判斷或證明給定集合和運算是否構(gòu)成半群、獨異點、群、環(huán)、域、格、布爾代數(shù)判斷函數(shù)是否為同態(tài)映射和同構(gòu)映射43第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日練習(xí)11．設(shè)°運算為Q上的二元運算，x,yQ,x°y=x+y+2xy,(1)判斷°運算是否滿足交換律和結(jié)合律，并說明理由.(2)求出°運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.(1)°

運算可交換，可結(jié)合.任取x,yQ,

x°y=x+y+2xy=y+x+2yx=y°

x,任取x,y,zQ,(x°y)°z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx°(y°z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz44第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日(2)設(shè)°運算的單位元和零元分別為e和，則對于任意x有x°e=x成立，即

x+e+2xe=x

e=0由于°運算可交換，所以0是幺元.對于任意x有x°

=成立，即

x++2x=

x+2x

=0

=1/2給定x，設(shè)x的逆元為y,則有x°y=0成立，即

x+y+2xy=0(x≠1/2)因此當(dāng)x

1/2時，是x的逆元.解答45第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日2．下面是三個運算表(1)說明那些運算是可交換的、可結(jié)合的、冪等的.(2)求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元練習(xí)246第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期日解解答(1)*滿足交換律，滿足結(jié)合律，不滿足冪等律.

°不滿足交換律，滿足結(jié)合律，滿足冪等律.

·滿足交換律，滿足結(jié)合律，不滿足冪等律.(2)*的單位元為b，沒有零元，

a1=c,b1=b,c1=a

°的單位元和零元都不存在，沒有可逆元素.

·的單位元為a，零元為c，a1=a，b,c不是可逆元素