第五節(jié)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一PowerPoint統(tǒng)計(jì)學(xué)2第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一第七章無窮級(jí)數(shù)

第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)7.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)7.3

任意項(xiàng)級(jí)數(shù)7.4

冪級(jí)數(shù)7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用7.6

函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用7.7函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)7.8傅里葉級(jí)數(shù)7.9正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)7.10以2l為周期的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)目錄4第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一學(xué)習(xí)的基本要求和預(yù)期目標(biāo)

1）理解無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念及，理解無窮級(jí)數(shù)和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2）熟悉幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂性。

3）掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法，回用根式審斂法。

4）掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理。

5）了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂和條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂和收斂的關(guān)系。

6）了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7）理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。5第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一學(xué)習(xí)的基本要求和預(yù)期目標(biāo)

8）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

9）了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的必要條件和充分條件。

10）掌握的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。

11)了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

12）理解付氏級(jí)數(shù)的概念，狄利克雷定理，函數(shù)展開為付氏級(jí)數(shù)的充分條件，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為付氏級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為正弦和余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出付氏級(jí)數(shù)和函數(shù)的表達(dá)式。6第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5.2泰勒級(jí)數(shù)7.5.4函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用7.5.3函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)7.5.5歐拉公式7.5.1問題的提出7第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一本節(jié)討論的問題是：給定函數(shù)f(x)，要考慮是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù)，它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)．如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù)，我們就說，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)．7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用7.5.1問題的提出8第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用定理5.1(泰勒Taylor中值定理)

泰勒英國(guó)數(shù)學(xué)家.1685─1731如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n1)的階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x在(a,b)內(nèi)時(shí)，f(x)可以表示為(xx0)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和：泰勒多項(xiàng)式這里x是x0與x

之間的某個(gè)值．泰勒余項(xiàng)9第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5.2泰勒級(jí)數(shù)7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用

注：只要函數(shù)有導(dǎo)數(shù)就會(huì)有泰勒級(jí)數(shù)，除了xx0外，f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂?如果收斂，它是否一定收斂于f(x)?定義5.1

如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)f(x)，f(x)，···，f(n)(x)，···，則記稱這一級(jí)數(shù)為f(x)在點(diǎn)x0的泰勒級(jí)數(shù)。特別，當(dāng)x0=0時(shí)，稱為麥克勞林級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱為泰勒（麥克勞林）系數(shù)10第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用由數(shù)學(xué)歸納法例5.1設(shè)函數(shù)證明f(x)任意階可導(dǎo)，并且

f(n)(0)=0，進(jìn)一步有麥克勞林級(jí)數(shù)和為S(x)=0.一般地，其中p(x),q(x)為多項(xiàng)式進(jìn)一步有麥克勞林級(jí)數(shù)為11第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用定義4.2設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域具有任意階導(dǎo)數(shù)，如果所導(dǎo)出的級(jí)數(shù)在區(qū)間I上仍然收斂與f(x)，則稱函數(shù)可展開成為泰勒級(jí)數(shù)。注:區(qū)間I不一定是泰勒級(jí)數(shù)的收斂域,同樣也不一定是函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)存在區(qū)域，更不是函數(shù)f(x)定義域，它是使級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)就等于f(x)的區(qū)域。12第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用

注：唯一性指明不論什么方法展開其結(jié)果是一樣的。

定理5.2

如果f(x)在點(diǎn)x0

的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)可展開成為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)趨于零，即定理5.3

如果f(x)在點(diǎn)x0

的某鄰域內(nèi)可展開成為泰勒級(jí)數(shù)，則展開式是唯一的，即x的n次冪項(xiàng)系數(shù)為13第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用7.5.3

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)直接展開法如果極限為零，則函數(shù)在(-R,R)內(nèi)可展開為泰勒級(jí)數(shù)。第一步，求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)：f(n)(x)；第二步，計(jì)算各階導(dǎo)數(shù)在x0的值：f(n)(x0)；第三步，寫出泰勒級(jí)數(shù)：；并求出收斂半徑R；第四步，考察余項(xiàng)在(-R,R)內(nèi)的極限：x是x0與x

之間的某個(gè)值．14第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用例5.2求下列函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開特別15第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用冪級(jí)數(shù)間接展開法間接展開法是指：利用一些已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式及其冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算(如四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)求積、變量替換與恒等變形等），將所給函數(shù)展開成為冪級(jí)數(shù)，包括收斂域。間接法成立的依據(jù)是展開式的唯一性。間接法中常常使用下列函數(shù)的展開式作為已知：16第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用例5.3求下列函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開17第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用7.5.4

函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用兩類問題：給定項(xiàng)數(shù),求近似值并估計(jì)精度;

給出精度,確定項(xiàng)數(shù).

關(guān)鍵是通過估計(jì)余項(xiàng),確定精度或項(xiàng)數(shù)。近似計(jì)算誤差18第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用例5.4計(jì)算下列函數(shù)的近似值sin90,誤差不超過10-3ln2,誤差不超過10-4e,誤差不超過10-519第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和1.利用級(jí)數(shù)和的定義求和常用的方法有：直接法，拆項(xiàng)法，遞推法2.

阿貝爾法(構(gòu)造冪級(jí)數(shù)法)(逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo))20第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用例5.5計(jì)算下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和21第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用計(jì)算定積分第一步，將被積函數(shù)展開冪級(jí)數(shù)第二步，對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求積第三步，計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和(精確到10-4)例5.6

求下列定積分的值.22第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用7.5.5歐拉公式復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(u1+iv1)+(u2+iv2)+···+(un

+ivn)+···其中un

，vn

（n=1，2，3，…）為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)．如果實(shí)部所成的級(jí)數(shù)u1+u2+···+un

+···收斂于和u，并且虛部所成的級(jí)數(shù)v1+v2+···+vn

+···收斂于和v，就說復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂且和為u+iv．23第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用絕對(duì)收斂：復(fù)變量指數(shù)函數(shù)：考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)此級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的，在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex

，在復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)，記為ez

．即24第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用歐拉公式：當(dāng)x=0時(shí)，z=i

y，于是25第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)