第五講異方差性第一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

引子：更為接近真實(shí)的結(jié)論是什么？

根據(jù)四川省2000年21個地市州醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)資料，分析醫(yī)療機(jī)構(gòu)與人口數(shù)量的關(guān)系，建立衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)的回歸模型。對模型估計的結(jié)果如下：

式中表示衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)（個），表示人口數(shù)量（萬人）。2第二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一模型顯示的結(jié)果和問題●人口數(shù)量對應(yīng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差較??；●t統(tǒng)計量遠(yuǎn)大于臨界值，可決系數(shù)和修正的可決系數(shù)結(jié)果較好，F(xiàn)檢驗(yàn)結(jié)果明顯顯著；

表明該模型的估計效果不錯，可以認(rèn)為人口數(shù)量每增加1萬人，平均說來醫(yī)療機(jī)構(gòu)將增加5.3735人。然而，這里得出的結(jié)論可能是不可靠的，平均說來每增加1萬人口可能并不需要增加這樣多的醫(yī)療機(jī)構(gòu)，所得結(jié)論并不符合真實(shí)情況。有什么充分的理由說明這一回歸結(jié)果不可靠呢？更為接近真實(shí)的結(jié)論又是什么呢？

3第三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

本章討論四個問題：●異方差的實(shí)質(zhì)和產(chǎn)生的原因●異方差產(chǎn)生的后果●異方差的檢測方法●異方差的補(bǔ)救第五章異方差性4第四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第一節(jié)異方差性的概念

本節(jié)基本內(nèi)容：

●異方差性的實(shí)質(zhì)●異方差產(chǎn)生的原因5第五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

一、異方差性的實(shí)質(zhì)

同方差的含義

同方差性：對所有的有：（5.1）因?yàn)榉讲钍嵌攘勘唤忉屪兞康挠^測值圍繞回歸線（5.2）的分散程度，因此同方差性指的是所有觀測值的分散程度相同。

6第六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一設(shè)模型為如果對于模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)有：則稱具有異方差性。進(jìn)一步，把異方差看成是由于某個解釋變量的變化而引起的，則

異方差性的含義(5.4)(5.3)7第七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

圖形表示

8第八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

（一）模型中省略了某些重要的解釋變量

假設(shè)正確的計量模型是：假如略去，而采用

當(dāng)被略去的與有呈同方向或反方向變化的趨勢時,隨的有規(guī)律變化會體現(xiàn)在（5.5）式的中。（5.5）二、產(chǎn)生異方差的原因9第九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（二）模型的設(shè)定誤差

模型的設(shè)定主要包括變量的選擇和模型數(shù)學(xué)形式的確定。模型中略去了重要解釋變量常常導(dǎo)致異方差，實(shí)際就是模型設(shè)定問題。除此而外，模型的函數(shù)形式不正確，如把變量間本來為非線性的關(guān)系設(shè)定為線性，也可能導(dǎo)致異方差。（三）數(shù)據(jù)的測量誤差

樣本數(shù)據(jù)的觀測誤差有可能隨研究范圍的擴(kuò)大而增加，或隨時間的推移逐步積累，也可能隨著觀測技術(shù)的提高而逐步減小。

10第十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（四）截面數(shù)據(jù)中總體各單位的差異通常認(rèn)為，截面數(shù)據(jù)較時間序列數(shù)據(jù)更容易產(chǎn)生異方差。這是因?yàn)橥粫r點(diǎn)不同對象的差異，一般說來會大于同一對象不同時間的差異。不過，在時間序列數(shù)據(jù)發(fā)生較大變化的情況下，也可能出現(xiàn)比截面數(shù)據(jù)更嚴(yán)重的異方差。11第十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第二節(jié)異方差性的后果本節(jié)基本內(nèi)容：

●對參數(shù)估計統(tǒng)計特性的影響●對參數(shù)顯著性檢驗(yàn)的影響●對預(yù)測的影響

12第十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一一、對參數(shù)估計統(tǒng)計特性的影響（一）參數(shù)估計的無偏性仍然成立

參數(shù)估計的無偏性僅依賴于基本假定中的零均值假定（即）。所以異方差的存在對無偏性的成立沒有影響。（二）參數(shù)估計的方差不再是最小的同方差假定是OLS估計方差最小的前提條件，所以隨機(jī)誤差項(xiàng)是異方差時，將不能再保證最小二乘估計的方差最小。13第十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

二、對參數(shù)顯著性檢驗(yàn)的影響由于異方差的影響，使得無法正確估計參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，導(dǎo)致參數(shù)估計的t統(tǒng)計量的值不能正確確定，所以，如果仍用t統(tǒng)計量進(jìn)行參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)將失去意義。

14第十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一盡管參數(shù)的OLS估計量仍然無偏，并且基于此的預(yù)測也是無偏的，但是由于參數(shù)估計量不是有效的，從而對Y的預(yù)測也將不是有效的。

三、對預(yù)測的影響15第十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第三節(jié)異方差性的檢驗(yàn)常用檢驗(yàn)方法:●圖示檢驗(yàn)法●Goldfeld-Quanadt檢驗(yàn)●White檢驗(yàn)●ARCH檢驗(yàn)16第十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一一、圖示檢驗(yàn)法

（一）相關(guān)圖形分析方差描述的是隨機(jī)變量取值的（與其均值的）離散程度。因?yàn)楸唤忉屪兞颗c隨機(jī)誤差項(xiàng)有相同的變化趨勢，所以利用分析與的相關(guān)圖形，可以初略地看到的離散程度與之間是否有相關(guān)關(guān)系。如果隨著的增加，的離散程度為逐漸增大（或減?。┑淖兓厔?，則認(rèn)為存在遞增型（或遞減型）的異方差。17第十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一用1998年四川省各地市州農(nóng)村居民家庭消費(fèi)支出與家庭純收入的數(shù)據(jù)，繪制出消費(fèi)支出對純收入的散點(diǎn)圖,其中用表示農(nóng)村家庭消費(fèi)支出，表示家庭純收入。圖形舉例18第十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一設(shè)一元線性回歸模型為：

運(yùn)用OLS法估計,得樣本回歸模型為：由上兩式得殘差：繪制出對的散點(diǎn)圖◆如果不隨而變化，則表明不存在異方差；◆如果隨而變化，則表明存在異方差。

（二）殘差圖形分析19第十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一二、Goldfeld-Quanadt檢驗(yàn)

作用：檢驗(yàn)遞增性(或遞減性)異方差。

基本思想：將樣本分為兩部分，然后分別對兩個樣本進(jìn)行回歸，并計算兩個子樣的殘差平方和所構(gòu)成的比，以此為統(tǒng)計量來判斷是否存在異方差。（一）檢驗(yàn)的前提條件

1、要求檢驗(yàn)使用的為大樣本容量。

2、除了同方差假定不成立外，其它假定均滿足。20第二十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（二）檢驗(yàn)的具體做法1.排序?qū)⒔忉屪兞康娜≈蛋磸男〉酱笈判颉?.數(shù)據(jù)分組將排列在中間的約1/4的觀察值刪除掉，記為，再將剩余的分為兩個部分，每部分觀察值的個數(shù)為。3.提出假設(shè)21第二十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一4.構(gòu)造F統(tǒng)計量

分別對上述兩個部分的觀察值求回歸模型，由此得到的兩個部分的殘差平方為和。為前一部分樣本回歸產(chǎn)生的殘差平方和，為后一部分樣本回歸產(chǎn)生的殘差平方和。它們的自由度均為，為參數(shù)的個數(shù)。

22第二十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一在原假設(shè)成立的條件下，因和自由度均為，分布，可導(dǎo)出：

（5.13）23第二十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.判斷給定顯著性水平，查F分布表得臨界值計算統(tǒng)計量。如果則拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即模型中的隨機(jī)誤差存在異方差。24第二十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一●要求大樣本●異方差的表現(xiàn)既可為遞增型，也可為遞減型●檢驗(yàn)結(jié)果與選擇數(shù)據(jù)刪除的個數(shù)的大小有關(guān)●只能判斷異方差是否存在，在多個解釋變量的情下，對哪一個變量引起異方差的判斷存在局限。（三）檢驗(yàn)的特點(diǎn)25第二十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一三、White檢驗(yàn)（一）基本思想：

不需要關(guān)于異方差的任何先驗(yàn)信息，只需要在大樣本的情況下，將OLS估計后的殘差平方對常數(shù)、解釋變量、解釋變量的平方及其交叉乘積等所構(gòu)成一個輔助回歸，利用輔助回歸建立相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計量來判斷異方差性。

26第二十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一(二)檢驗(yàn)的特點(diǎn)要求變量的取值為大樣本不僅能夠檢驗(yàn)異方差的存在性，同時在多變量的情況下，還能判斷出是哪一個變量引起的異方差。27第二十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（三）檢驗(yàn)的基本步驟：以一個二元線性回歸模型為例，設(shè)模型為：并且，設(shè)異方差與的一般關(guān)系為

其中為隨機(jī)誤差項(xiàng)。28第二十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一1.求回歸估計式并計算用OLS估計式（5.14），計算殘差，并求殘差的平方。2.求輔助函數(shù)用殘差平方作為異方差的估計，并建立的輔助回歸，即（5.15）

29第二十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一3.計算

利用求回歸估計式（5.15）得到輔助回歸函數(shù)的可決系數(shù)，為樣本容量。4.提出假設(shè)

30第三十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.檢驗(yàn)

在零假設(shè)成立下，有漸進(jìn)服從自由度為5的分布。給定顯著性水平,查分布表得臨界值，如果,則拒絕原假設(shè)，表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差。31第三十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（一）ARCH過程設(shè)ARCH

過程為

為ARCH過程的階數(shù),并且為隨機(jī)誤差。（二）檢驗(yàn)的基本思想在時間序列數(shù)據(jù)中，可認(rèn)為存在的異方差性為ARCH過程，并通過檢驗(yàn)這一過程是否成立去判斷時間序列是否存在異方差。

四、ARCH檢驗(yàn)32第三十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一1.提出原假設(shè)

2.參數(shù)估計并計算對原模型作OLS估計，求出殘差，并計算殘差平方序列，以分別作為對的估計。（三）ARCH檢驗(yàn)的基本步驟33第三十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一3.求輔助回歸

（5.17）4.檢驗(yàn)計算輔助回歸的可決系數(shù)與的乘積。在成立時，基于大樣本，漸進(jìn)服從分布。給定顯著性水平，查分布表得臨界值，如果

，則拒絕原假設(shè)，表明模型中得隨機(jī)誤差存在異方差。34第三十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一●變量的樣本值為大樣本●數(shù)據(jù)是時間序列數(shù)據(jù)●只能判斷模型中是否存在異方差，而不能診斷出哪一個變量引起的異方差。（四）檢驗(yàn)的特點(diǎn)35第三十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一五、Glejser檢驗(yàn)（一）檢驗(yàn)的基本思想由OLS法得到殘差，取得絕對值，然后將對某個解釋變量回歸，根據(jù)回歸模型的顯著性和擬合優(yōu)度來判斷是否存在異方差。（二）檢驗(yàn)的特點(diǎn)不僅能對異方差的存在進(jìn)行判斷，而且還能對異方差隨某個解釋變量變化的函數(shù)形式進(jìn)行診斷。該檢驗(yàn)要求變量的觀測值為大樣本。36第三十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（三）檢驗(yàn)的步驟

1.建立模型并求根據(jù)樣本數(shù)據(jù)建立回歸模型，并求殘差序列

2.尋找與的最佳函數(shù)形式用殘差絕對值對進(jìn)行回歸，用各種函數(shù)形式去試，尋找最佳的函數(shù)形式。37第三十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

3.判斷根據(jù)選擇的函數(shù)形式作對的回歸，作為的替代變量，對所選函數(shù)形式回歸。用回歸所得到的、、等信息判斷，若參數(shù)顯著不為零，即認(rèn)為存在異方差性。38第三十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第四節(jié)異方差性的補(bǔ)救措施

主要方法:

●模型變換法

●

加權(quán)最小二乘法●模型的對數(shù)變換39第三十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一以一元線性回歸模型為例：經(jīng)檢驗(yàn)存在異方差，且

其中是常數(shù)，是的某種函數(shù)。

一、模型變換法40第四十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一變換模型時，用除以模型的兩端得：

記則有：

41第四十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差為

經(jīng)變換的模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)已是同方差，常見的設(shè)定形式及對應(yīng)的情況

函數(shù)形式42第四十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一二、加權(quán)最小二乘法以一元線性回歸模型為例：

經(jīng)檢驗(yàn)存在異方差，且：其中是常數(shù)，是的某種函數(shù)。43第四十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（一）基本思路

區(qū)別對待不同的。對較小的,給予較大的權(quán)數(shù)，對較大的給予較小的權(quán)數(shù)，從而使更好地反映對殘差平方和的影響。

44第四十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（二）具體做法

1.選取權(quán)數(shù)并求出加權(quán)的殘差平方和通常取權(quán)數(shù)，當(dāng)越小時，越大。當(dāng)越大時，越小。將權(quán)數(shù)與殘差平方相乘以后再求和，得到加權(quán)的殘差平方和：\45第四十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一2.求使?jié)M足的根據(jù)最小二乘原理，若使得加權(quán)殘差平方和最小，則：

其中：46第四十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一三、模型的對數(shù)變換

在經(jīng)濟(jì)意義成立的情況下，如果對模型：作對數(shù)變換，其變量和分別用和代替，即：

對數(shù)變換后的模型通常可以降低異方差性的影響：

◆運(yùn)用對數(shù)變換能使測定變量值的尺度縮小。

◆經(jīng)過對數(shù)變換后的線性模型，其殘差表示相對誤差往往比絕對誤差有較小的差異。

注意：對變量取對數(shù)雖然能夠減少異方差對模型的影響，但應(yīng)注意取對數(shù)后變量的經(jīng)濟(jì)意義。47第四十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第五節(jié)案例分析一、問題的提出和模型設(shè)定為了給制定醫(yī)療機(jī)構(gòu)的規(guī)劃提供依據(jù)，分析比較醫(yī)療機(jī)構(gòu)與人口數(shù)量的關(guān)系，建立衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)的回歸模型。假定醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)之間滿足線性約束，則理論模型設(shè)定為：其中表示衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)，表示人口數(shù)。

48第四十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一四川省2000年各地區(qū)醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)

地區(qū)人口數(shù)（萬人）醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)（個）地區(qū)人口數(shù)（萬人）醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)（個）

成都1013.36304眉山339.9827自貢315911宜賓508.51530攀枝花103934廣安438.61589瀘州463.71297達(dá)州620.12403德陽379.31085雅安149.8866綿陽518.41616巴中346.71223廣元302.61021資陽488.41361遂寧3711375阿壩82.9536內(nèi)江419.91212甘孜88.9594樂山345.91132涼山402.41471南充709.24064

第四十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一二、參數(shù)估計

估計結(jié)果為:50第五十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一三、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷漠惙讲睿ㄒ唬﹫D形法

1.EViews軟件操作

由路徑：Quick/QstimateEquation，進(jìn)入EquationSpecification窗口，鍵入，點(diǎn)“ok”，得樣本回歸估計結(jié)果。

51第五十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（1）生成殘差平方序列。在得到表5.2估計結(jié)果后，用生成命令生成序列，記為。生成過程如下，先按路徑：Procs/GenerateSeries，進(jìn)入GenerateSeriesbyEquation對話框，鍵入下式并點(diǎn)“OK”即可：52第五十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一生成序列圖示53第五十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（2）繪制對的散點(diǎn)圖。選擇變量名與。（注意選擇變量的順序，先選的變量將在圖形中表示橫軸，后選的變量表示縱軸），進(jìn)入數(shù)據(jù)列表，再按路徑view/graph/scatter，可得散點(diǎn)圖，見右圖：54第五十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一2.判斷由圖可以看出，殘差平方對解釋變量的散點(diǎn)圖主要分布在圖形中的下三角部分，大致看出殘差平方隨的變動呈增大的趨勢，因此，模型很可能存在異方差。但是否確實(shí)存在異方差還應(yīng)通過更進(jìn)一步的檢驗(yàn)。55第五十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（二）Goldfeld-Quanadt檢驗(yàn)1.EViews軟件操作（1）對變量取值排序（按遞增或遞減）。在Procs菜單里選SortCurrentPage/SortWorkfileSeries命令，出現(xiàn)排序?qū)υ捒?，鍵入，如果以遞增型排序，選“Ascenging”，如果以遞減型排序，則應(yīng)選“Descending”，點(diǎn)ok。本例選遞增型排序，這時變量與將以按遞增型排序。（2）構(gòu)造子樣本區(qū)間，建立回歸模型。在本例中，樣本容量，刪除中間1/4的觀測值，即大約5個觀測值，余下部分平分得兩個樣本區(qū)間：1—8和14—21，它們的樣本個數(shù)均是8個，即

56第五十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一在Sample菜單里，將區(qū)間定義為1—8，然后用OLS方法求得如下結(jié)果(表1)57第五十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一在Sample菜單里,將區(qū)間定義為14—21，再用OLS方法求得如下結(jié)果(表2)58第五十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（3）求F統(tǒng)計量值?；诒?和表2中殘差平方和的數(shù)據(jù)，即Sumsquaredresid的值。由表1計算得到的殘差平方和為，由表2計算得到的殘差平方和為。根據(jù)Goldfeld-Quanadt檢驗(yàn)，F(xiàn)統(tǒng)計量為

59第五十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

（4）判斷在下，式中分子、分母的自由度均為6，查F分布表得臨界值為：因?yàn)椋跃芙^原假設(shè)，表明模型確實(shí)存在異方差。60第六十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（三）White檢驗(yàn)

由表5.2估計結(jié)果，按路徑view/residualtests/whiteheteroskedasticity（nocrosstermsorcrossterms），進(jìn)入White檢驗(yàn)。根據(jù)White檢驗(yàn)中輔助函數(shù)的構(gòu)造，最后一項(xiàng)為變量的交叉乘積項(xiàng)，因?yàn)楸纠秊橐辉瘮?shù)，故無交叉乘積項(xiàng)，因此應(yīng)選nocrossterms，則輔助函數(shù)為：