６.２電導率本節(jié)主要討論金屬的電導率，著重于從電子—聲子相互作用的角度解釋電阻率隨溫度的變化

(6.2.1-1)6.2.1金屬的直流電導率在前面的章節(jié)中在自由電子和能帶論的基礎上討論了恒定電場作用下電子的半經(jīng)典運動。按照波爾茲曼方程(6.1.1-14)，此時：相當于(6.1.1-7)式中

(6.2.1-2)這給出在恒定電場作用下，在k空間中，非平衡分布相當于費米球剛性平移的結果。將(6.2.1-2)中對的微商改為對能量的微商，即。并利用前面講態(tài)密度時，將對k空間中體積的積分改成在等能面上積分的技巧，注意電子速度和的關系，上式可寫成：由于平衡分布對總電流沒有貢獻，即則有

(6.2.1-4)在f1為小量時，上式可等價的寫成：

(6.2.1-3)的行為像費米能處的δ函數(shù)，上述積分只需在費米面上進行，相當于電導率

σ為張量，寫成分量的形式，為：

(6.2.1-7)

(6.2.1-5)

(6.2.1-6)

(6.2.1-8)

(6.2.1-10)

(6.2.1-11)將弛豫時間τ放在積分號內(nèi)是因為一般情況下τ有可能依賴于。對于立方晶體，電導率張量簡化為標量，假如和均沿立方邊（取為x方向）則：由于對稱性，可得：平均自由程

(6.2.1-9)利用的關系，從(6.2.1-11)得到：這一公式與前面金屬自由電子氣體模型中得到的σ有相同的形式。但自由電子的質量m為有效質量m*所代替，弛豫時間更準確的表述為費米面上的電子的。兩個公式中均有傳導電子總的數(shù)密度n，這來源于(6.2.1-11)式中在k空間費米面上的積分，并非如經(jīng)典的Drude模型所述，所有的電子都參與電荷的輸運。對于各向同性的情形，并假定導電電子可用單一有效質量m*描述，則與的方向無關，6.2.2電子和聲子的相互作用如將靜止的理想晶體中單電子勢寫成在每個離子實附近的局域勢之和。即：那么在有晶格振動時，對單電子態(tài)的微擾勢為：為了解金屬電導率隨溫度的變化，只需考慮對溫度的依賴，因為n與溫度無關。按6.1節(jié)中的講述，需對電子所受散射作具體分析。在結構完整的理想晶體中，電子主要受聲子的散射。在將電子和晶格系統(tǒng)分開處理的絕熱近似的基礎上，它們之間的相互作用應看作微擾，引起態(tài)間的躍遷。

(6.2.2-1)

(6.2.2-2)是格點上離子實對平衡位置的偏離。在小位移假定下：其中A為振幅，為在振動方向上的單位矢量，為橫波，為縱波。將上式代入(6.2.2-3)式。可得一個格波模對微擾勢的貢獻，為簡單起見，只考慮簡單格子，此時僅有聲學支，將波矢、頻率ω的簡正模引起的原子位移寫成實數(shù)形式：相當于將在附近按作級數(shù)展開，只保留一級項。

(6.2.2-3)

(6.2.2-4)其中因而這里碰到的是量子力學中含時間的周期性微擾，

δ函數(shù)保證過程是能量守恒的，即

(6.2.2-5)

(6.2.2-6)

(6.2.2-7)

(6.2.2-8)散射矩陣元利用布洛赫函數(shù)的特性，可將(6.2.2-9)式右邊被積函數(shù)坐標原點平移Rn，這樣

+，-號分別相應于吸收或放出一個聲子。由于聲子的能量和費米面上的電子相比很小，例如當時， ，而一般是幾個eV，這種散射可以近似地看成是彈性散射。涉及光學聲子時會有所不同。但在低溫下，電子吸收光學聲子，躍遷到能量較高的狀態(tài)的幾率很小。

(6.2.2-10)

(6.2.2-9)與前面討論的中子和聲子的散射類似，由于晶格的平移對稱性，上式求和僅當波矢之和為倒格矢時方不為零，從而給出晶體動量守恒關系其中的過程稱為N過程，的稱為U過程?？偟奈_勢應考慮所有格波的貢獻。(6.2.2-4)式中的 應寫成的形式，，分別代表1個縱波和2個橫波，是相應波矢為時的振幅，在(6.2.2-9)式中，除對求和外，還應對求和。

(6.2.2-11)6.2.3電阻率隨溫度的變化對外加電場情形，(6.2.1-2)式f1可寫成金屬的電阻率，從(6.2.1-13)式，比例于變化。后者按(6.1.1-20)式，與及有關

(6.2.3-1)簡單地假定電子系統(tǒng)有球形費米面，則，如取電場方向為方向，則

(6.2.3-2)為和之間的夾角，將求和改稱積分，有

(6.2.3-3)這樣，電子所受散射的頻度，不僅與從到的躍遷幾率有關，還涉及的權重因子。小角度的散射，對產(chǎn)生電阻幾乎沒有貢獻，因為并不明顯改變波矢方向，電子沿電場方向的定向運動基本保留。起主要作用的是大角度散射，它使電子沿電場方向的速度有大的改變。從上小節(jié)的討論，電子和格波一個簡正模的相互作用導致的，比例于該格波振幅的平方。對于(6.2.2-4)式描述的格波模。晶格中每個原子的振動動能為：其中M為原子的質量。由于正弦項對時間的平均為1/2，晶體中N個原子參加的這一集體運動模式總的振動動能為：因此，振幅的平方與相應的格波模的能量相聯(lián)系，用聲子的語言，則是比例于相應的聲子數(shù)。對的計算，最終要考慮所有格波模的貢獻，對和求和，大體相當于將比例于總聲子數(shù)變化。在低溫下，聲子比熱與T3成正比，相當于聲子系統(tǒng)能量比例于T4，如聲子平均能量為kBT，則相當于總的聲子數(shù)比例于T3變化。由此得到電子-聲子散射的弛豫時間低溫下涉及的聲子波矢較小，因而還需考慮因子(1-cosθ)的影響，從圖6.1可得sin(θ/2)=q/2kF，因而(1-cosθ)=2sin(θ/2)=1/2*(q/kF)2由于q≈kBT/?c，(1-cosθ)因子比例于T2變化，這樣，由于溫度下降。小角度散射增加，最終電阻率比例于T5變化，即：通常稱為布洛赫-格林艾森T5定律。高溫時，晶格中總的聲子數(shù)比例于T變化，且涉及的聲子波矢約為qD大小，因子(1-cosθ)與溫度無關，電阻率隨溫度線性變化，需注意兩點：

1、低溫下電子-聲子散射過程中U過程的影響。如圖6.2所示，當近自由電子費米面接近布里淵區(qū)邊界時，小的即可對電阻有明顯的貢獻。這里為簡單，去掉了加撇的上標。對球形費米面情形，能態(tài)密度上兩式相比，可見1/τ比例于費米面處的能態(tài)密度。由此可理解過渡族金屬電阻率一般較高的事實。過渡族金屬d帶很窄，d電子有效質量大，可動性差，因而導電主要靠s電子。

2、在對進行計算的(6.2.3-3)式中，在k空間費米面上積分的體積元對k’的積分可改成對能量的積分，即

6.2.4剩余電阻率在實際樣品中，電子還將受到雜質原子的散射，這種散射是彈性的，源于雜質原子基態(tài)和最低激發(fā)態(tài)之間的能量間隔，一般為數(shù)個電子伏特的量級，遠大于kBT。假如電子和雜質原子之間的散射勢為，當雜質原子濃度ni很低，低到可以認為每次只和一個雜質原子作用時，按照量子力學微擾論的“黃金定則”，由于均不隨溫度的變化，電子和雜質原子散射產(chǎn)生的電阻與溫度無關。在有兩種散射機制的情況下，如電子被雜質原子和聲子散射，假如兩種機制相互獨立，總散射幾率可表達為兩種機制分別作用之和，即這意味著：即在幾種不同的散射機制存在時，電阻率為各機制單獨存在時電阻率之和。這一表述稱為馬西森定則。如果對每種機制，弛豫時間均與無關，則有：按照這一定則，金屬的電阻率一般寫成：來自電子-聲子散射，與溫度有關。對于結構完整的理想晶體，亦存在，常稱為理想電阻率。來源于電子-雜質原子的散射，與溫度無關。在低溫下，當很小時，成為電阻率中的主要部分，一般稱為剩余電阻率。當雜質原子具有局域磁矩時，電阻率隨溫度的變化與前述溫度下降因電子-聲子散射的減弱，電阻率單調下降，隨后過渡到由雜質散射決定的常數(shù)剩余電阻率不同，一般在10~20K溫度區(qū)內(nèi)有極小，此后，溫度下降時電阻率按對數(shù)規(guī)律比例于lnT上升，最終過渡到與溫度無關的常數(shù)值。

1964年近藤首先對電阻極小給出了正確的理論解釋。從此，稀磁合金中電阻極小，以及與此關聯(lián)的一系列低溫反常現(xiàn)象，通稱為近藤效應。

6.2.5近藤效應溫度下降時電阻率從lnT反常逐漸過渡到常值。來源于雜質原子有效磁矩的趨于消失。反鐵磁的耦合是磁性雜質原子被自旋取向相反的傳導電子包圍，從而對雜質磁矩起屏蔽抵消作用，這種作用隨溫度的降低、熱漲落的減小而增大，最終在T→0時形成一個由雜質原子和聚集在其周圍的自旋反向的傳導電子形成的組合狀態(tài)，總自旋為零，稱為近藤單態(tài)，它對電阻行為的影響與上一節(jié)討論的非磁性外來原子相同。

6.2.6半導體的電導率稱為載流子的遷移率對于半導體材料，仍可用(6.2.1-4)式表示電場作用下相應的電流密度，但在其后的計算中，由于化學勢在禁帶中，載流子一般是非簡并的，不能利用類δ函數(shù)的特性。假定τ是能量的函數(shù)，載流子服從經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計，易于證明，電導率仍可寫成(6.2.1-13)式的形式，只需將τ理解成對能量的平均值。對于半導體材料，習慣上將(6.2.1-13)寫成：其中n，p和分別為電子，空穴的濃度和遷移率。將寫成的形式，可以看出遷移率表示