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內(nèi)蒙巴盟奮斗中學(xué)傅裕東

教學(xué)目標(biāo)

1．把握球的定義．

2．把握球的性質(zhì)，并能嫻熟應(yīng)用；

3．通過球的教學(xué)，培養(yǎng)同學(xué)分析問題解決問題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：球的截面性質(zhì)．

難點(diǎn)：球面距離的計算．

教學(xué)設(shè)計過程

一、復(fù)習(xí)提問

師：圓柱是怎樣定義的．

生：以矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．

師：是矩形的邊為旋轉(zhuǎn)軸嗎？

生：是

師：學(xué)生們請讀p．21定義，然后老師強(qiáng)調(diào)指出，是以矩形的一邊所在的直線為軸．

師：學(xué)生們再考慮：圓錐、圓臺是怎樣定義的．老師要強(qiáng)調(diào)邊所在的直線為軸．

二、講課題

師：以上學(xué)生們清晰了圓柱、圓錐、圓臺的形成過程．那么球是怎樣形成的呢？是否也可以通過某一個幾何體旋轉(zhuǎn)而形成呢？同學(xué)經(jīng)過思量不難發(fā)覺，半圓以它的直徑所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面圍成的幾何體．（待同學(xué)回答后）老師展示教具，（從而得出球面的旋轉(zhuǎn)定義）（板書）半圓以它直徑所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體（簡稱球），（接著老師畫出下圖并介紹球的有關(guān)概念：球心、球半徑、直徑、球的表示，特殊要強(qiáng)調(diào)球面與球二者的區(qū)分）

師：球面與球的區(qū)分是什么？

生：球是包括球面在內(nèi)的一個幾何體，球面是一個面．

師：在平面幾何里，從點(diǎn)集的觀點(diǎn)看圓是怎么定義的，我們是否也可用類似的辦法定義球面．

生：在同一平面內(nèi)，一動點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓．

師：在空間到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，是以定點(diǎn)為球心的球面．

球的性質(zhì)：

師：通過上面的研究我們不難看出：球面兩種定義和圓有聯(lián)系．比如說：從點(diǎn)集的觀點(diǎn)看圓與球面的定義，這個定義就其內(nèi)容來說，都是指到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，它們的不同之處只在于定義適用的范圍，圓的定義是對平面而言，而球的定義則是對空間而言的，因此可以說，球面的概念是圓的概念在空間的推廣，既然如此我們不禁要問，它們之間會不會有某些相像的性質(zhì)，我們能否從圓的某些性質(zhì)去推想并證實球的某些性質(zhì)．

（顯而易見，上面的引入和啟發(fā)為同學(xué)對球性質(zhì)的進(jìn)一步探討在思維辦法上做好了須要的預(yù)備，同學(xué)已形成了一定的“定勢”思維，老師要牢牢掌握住既定的思維軌道去探究）

師：我們知道圓的割線在圓內(nèi)的部分是一條線段，球被平面所截其截面是什么？

生：是圓面．

師：為什么是圓面，老師出示教具演示，并指出教材不做證實要求．（請有愛好的學(xué)生下去完成證實）

（下面的證實僅供老師參考）

證實：設(shè)球的半徑是R，下面分兩種狀況討論．

（1）設(shè)平面α與球面相交，假如點(diǎn)O∈α（如上圖2），設(shè)A是球面和平面α的交線上的隨意一點(diǎn)，由于A在球面上，所以AO=R．

所以A在平面α內(nèi)以O(shè)為圓心，R為半徑的圓上．反過來，假如B是這個圓上的隨意一點(diǎn)．由于OB=R，所以點(diǎn)B在球面上．

點(diǎn)B在球面上，又在平面α內(nèi)，就是說點(diǎn)B在平面α和球面的交線上．

因此，平面α和球O的截面是一個圓面．

（2）假如點(diǎn)Oα（如圖3），自點(diǎn)O作OK⊥α，垂足為K，

設(shè)A是平面α和球面交線上的隨意一點(diǎn)，連結(jié)AK．由于OK⊥α，所

B在球O的球面上．

點(diǎn)B在平面α內(nèi)，又在球O的球面上，那么點(diǎn)B就在它們的交線上．

因此平面α截球O的截面是一個圓面了．

師：球的截面在球中的地位類似于弦在圓中的地位，截面是圓面．（同學(xué)明確了球的截面是圓面之后，下面的問題便迎刃而解）

師：在圓中，圓心與弦的中點(diǎn)連線與弦有什么位置關(guān)系？

生：垂直．

師：那么在球中，球心與截面圓心的連線與截面有什么位置關(guān)系．（老師畫出暗示圖）

生：垂直于截面圓．（老師板書球的性質(zhì)（1））（并展示實物或模型演示給同學(xué)，不作證實）

師：球心與截面圓心的連線垂直于截面圓，那么不難看出，球半徑R，球心與截面圓的距離d，及截面圓半徑r之間有什么關(guān)系？

師板書球的性質(zhì)（2）］

師：在圓中，弦心距的變化與弦長有什么關(guān)系．

生：當(dāng)d=0時弦最長，隨著弦心距的增大，弦在減小，當(dāng)d=R時弦長為0，這時直線與圓相切．

師：在球中，球心到截面的距離d與截面圓的大小有什么關(guān)系？

生：（可類比圓的弦變化思量）當(dāng)d=0時，截面過球心，這時R=r，截面圓最大，如圖4．

師：這個圓叫做大圓．

生：當(dāng)d增大時截面圓越來越?。?/p>

師：當(dāng)0＜d＜R時截面是小圓，如圖5．當(dāng)d=R時，截面圓縮為一個點(diǎn)，這時稱截面與球相切，如圖6．

師：在地球儀中，緯線和徑線是怎樣規(guī)定的．

生：平行于赤道的小圓線是緯線，過南北極的半大圓是經(jīng)線．

師：（下面向經(jīng)度和緯度結(jié)合圖形要講清晰，這兩個概念也是很難理解的）

如圖7，緯度——P點(diǎn)的緯度，也是或∠POA的度數(shù)，即：某地的緯度就是經(jīng)過該點(diǎn)的球半徑和赤道平面所成的角度．

如圖8，經(jīng)度——P點(diǎn)的經(jīng)度，也是或∠AOB的度數(shù)，即：某地點(diǎn)的徑度就是經(jīng)過這點(diǎn)的徑線與地軸確定的半平面與本初子午線與地軸確定的半平面所成二面角的度數(shù)．

球面上兩點(diǎn)間的距離．

（用地球儀邊演示邊發(fā)問）

師：假如我們把地球看成一個球，我們會碰到這樣的問題，由A到B的球面上應(yīng)如何走行程最短？我們知道平面上兩點(diǎn)間最短的距離是銜接這兩點(diǎn)的線段的長度，而地球的表面是曲面，球面上A，B兩點(diǎn)間的最短路程明顯不是線段AB的長度，那么它又是什么呢？（這時老師把事先做好的銜接A，B兩段鐵絲作成的圓弧由地球儀表面（見圖9）搬在電教片上，并畫圖10．）指出這相當(dāng)于在平面上銜接A，B的劣弧中，怎樣的劣弧的長度最短？就

圖而言？哪一段弧較短？（要求同學(xué)答），這兩段弧在本質(zhì)上有什么區(qū)分？

生：所在圓半徑不同．

師：可以看出，半徑較大的劣弧反而短．這就啟示我們，在球面由A到B的路程要盡量沿著所在圓半徑較大的劣弧走．在銜接A，B的劣弧中最大圓的半徑存在嗎？生：（同學(xué)互相談?wù)?，討論發(fā)覺）最大圓半徑存在．

師：它等于多少？

生：就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓半徑R．

師：由以上研究：最后我們知道，在球面上，兩點(diǎn)間的最短距離就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧長度，把這個弧長叫做兩點(diǎn)間的球面距離．（板書）例1（把例題抄在投影片上）

我國首都北京逼近北緯40°，求北緯40°緯線的長度約為多少千米（地球半徑約6370km）．

師：怎樣能把這個問題平面化呢？

生：做地球的截面大圓．

師：是截面大圓嗎？任一個截面大圓能完成該題的要求嗎？

生：（部分同學(xué)說能，另一部分說不能，經(jīng)過研究爭吵，最后統(tǒng)一了意見）是經(jīng)過南北極的大圓截面．

師：（畫圖）請學(xué)生回答哪個角等于40°．

生：∠AOB=40°

師：請找出經(jīng)過A點(diǎn)緯線圈的半徑．

生：半徑是AK．

師：過A點(diǎn)緯線圈的周長是多少？

生：C=2π·AK．

師：用半徑R和40°表示AK的長．

生：AK=Rcos40°

師：故求出了北緯40°緯線的長度約為

C＝2π·Rocs40°=3.066×104km

練習(xí)：

（1）課本p．871．

（2）下列命題：

a．球的隨意兩個大圓的交點(diǎn)連線是球的直徑．

b．球面上隨意兩點(diǎn)的球面距離，是過這兩點(diǎn)的大圓弧長．

c．球面上隨意兩點(diǎn)的球面距離，是銜接這兩點(diǎn)的線段長．

d．用不過球心的平面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面．

正確的

是