2021-2022學(xué)年河南省靈寶市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)日的虛部為（）

1+i5

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)模長與四則運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】=1—i,所以虛部為-1.

1+i(l+i)(l-i)

故選：A

2.如圖5個(gè)（x,y）數(shù)據(jù)，去掉。（3,10）后,下列說法錯(cuò)誤的是（）

?￡(10,12)

0(3,10)

?C(4,5)

.?B(2,4)

A(l,3)

Ox

A.相關(guān)系數(shù),?變大B.相關(guān)指數(shù)R2變大

C.殘差平方和變大D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)

【答案】C

【分析】去掉離群點(diǎn)。后，結(jié)合散點(diǎn)圖對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷得解.

【詳解】解：由散點(diǎn)圖知，去掉離群點(diǎn)。后，x與y的相關(guān)性變強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，

的值變大，故選項(xiàng)A正確;

相關(guān)指數(shù)K的值變大，殘差平方和變小，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，故選項(xiàng)D正確.

故選：C.

3.用反證法證明命題①：“已知/+d=2,求證：p+442”時(shí)，可假設(shè)“p+q>2”；命題②：“若

f=4,則x=-2或x=2”時(shí)，可假設(shè)或XH2”.以下結(jié)論正確的是

A.①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B.①與②的假設(shè)都正確

C.①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤D.①的假設(shè)錯(cuò)誤，②的假設(shè)正確

【答案】C

【詳解】分析：利用命題的否定的定義判斷即可.

詳解：①P+442的命題否定為。+“>2,故①的假設(shè)正確.

x=-2或x=2”的否定應(yīng)是-2且②的假設(shè)錯(cuò)誤，

所以①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤，故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查反證法，命題的否定，屬于簡單題.用反證法證明時(shí)，假設(shè)命題為假，應(yīng)為原

命題的全面否定.

4.關(guān)于下面幾種推理，說法第堡的是（）

A.“由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可以導(dǎo)電.”這是歸納推理

B.演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論不一定正確

C.由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)是類比推理

22

D.“橢圓二+與=1（。>10）的面積S=iaA,則長軸為4,短軸為2的橢圓的面積5=2萬.”這是演

ab~

繹推理

【答案】B

【分析】根據(jù)歸納推理和演繹推理以及類比推理的概念逐個(gè)判斷可得結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,“由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可以導(dǎo)電這是歸納推理，說法正確；

對(duì)于8,演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確，所以說法錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)是類比推理，說法正確；

22

對(duì)于O,“橢圓「+《=1（a>6>0）的面積5=次力，則長軸為4,短軸為2的橢圓的面積S=2w”

arb

這是演繹推理，說法正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理和演繹推理以及類比推理的概念，屬于基礎(chǔ)題.

5.在平面內(nèi)，點(diǎn)5,為）到直線Ar+By+C=0的距離公式為）」盤：孫）:。,通過類比的方法，

+B-

可求得在空間中，點(diǎn)（2,1,2）到平面工+），+22-1=0的距離為（）

6萬

A.3B.>/6C.—D.3亞

7

【答案】B

【分析】類比得到在空間，點(diǎn)（用,%，z°）到直線Ar+8），+Cz+3=0的距離公式，再求解.

【詳解】類比得到在空間，點(diǎn)5,%，Z。）到直線小+8），+。2+。=0的距離公式為

^_[Ar?+fiy?+Cz0+D|

VA2+B2+C2

所以點(diǎn)（2,1,2）至1」平面4+。+22—1=0的距離為"=\：：；寸=瓜

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

6.下列使用類比推理正確的是

A.“平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行”類比推出“空間中平行于同一平面的兩直線平行”

B.“若.舊9則9+1=2”類比推出“若工」=2,則丁―二=2"

C.“實(shí)數(shù)“，b，C滿足運(yùn)算（他）c=〃（歷）”類比推出“平面向量〃也c滿足運(yùn)算（a/）c=a（b-c）”

D.“正方形的內(nèi)切圓切于各邊的中點(diǎn)”類比推出“正方體的內(nèi)切球切于各面的中心”

【答案】D

【分析】根據(jù)類比結(jié)果進(jìn)行判斷選擇.

【詳解】因?yàn)榭臻g中平行于同一平面的兩直線位置關(guān)系不定，所以A錯(cuò)；

因?yàn)椤叭艄ひ弧?2,貝ijx=l土&，產(chǎn)―±二2”，所以B錯(cuò)；

XX

因?yàn)?，c）,所以C錯(cuò)；

因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球切于各面的中心，所以D正確.選D.

【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系判斷、向量運(yùn)算律以及正方體性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基

礎(chǔ)題.

7.在數(shù)學(xué)課堂上，張老師給出一個(gè)定義在R上的函數(shù),f（x）,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各說出了這

個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)：

甲：在（F,0］上函數(shù)/（x）單調(diào)遞減；

乙：在［0,+8）上函數(shù)“X）單調(diào)遞增；

丙：函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱；

T：/e）不是函數(shù)f（x）的最小值.

張老師說：你們四位同學(xué)中恰好有三個(gè)人說的正確，那么，你認(rèn)為說法錯(cuò)誤的同學(xué)是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】采用反證法判斷.

【詳解】假設(shè)甲，乙正確，則丙，丁錯(cuò)誤，與題意矛盾

所以甲，乙中必有一個(gè)錯(cuò)誤

假設(shè)甲錯(cuò)誤乙正確，則在［0,+8）上函數(shù)“X）單調(diào)遞增；

而函數(shù)f（x）的圖像不可能關(guān)于直線X=1對(duì)稱，則丙錯(cuò)誤，與題意矛盾；

所以甲正確乙錯(cuò)誤；

故選：B

8.已知下列命題：

①回歸直線?=或+育恒過樣本點(diǎn)的中心（元刃，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)；

②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r就越接近于1；

③將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差不變；

④在回歸直線方程？=2-0.5x中，當(dāng)解釋變量x增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量》平均減少0.5；

⑤在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)我表示解釋變量x對(duì)于預(yù)報(bào)變量y的貢獻(xiàn)率，心越接近于1,表示

回歸效果越好；

⑥對(duì)分類變量X與丫，它們的隨機(jī)變量長的觀測(cè)值%來說，％越小，"X與y有關(guān)系"的把握程度

越大.

⑦兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好.

則正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由回歸直線恒過樣本中心點(diǎn)，不一定經(jīng)過每一個(gè)點(diǎn)，可判斷①：由相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值趨近

于1,相關(guān)性越強(qiáng)，可判斷②；由方差的性質(zhì)可判斷③；由線性回歸直線方程的特點(diǎn)可判斷④；相

關(guān)指數(shù)R2的大小，可判斷⑤；由的隨機(jī)變量應(yīng)的觀測(cè)值后的大小可判斷⑥；殘差平方和越小，

模型的擬合效果越好，可判斷⑦.

【詳解】對(duì)于①，回歸直線；=晟+:恒過樣本點(diǎn)的中心（石7）,可以不過任一個(gè)樣本點(diǎn)，故①錯(cuò)

誤；

對(duì)于②，兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值就越接近于1,故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，由方差的性質(zhì)可得方差不變，故③正確；

對(duì)于④，在回歸直線方程，=2-0.5x中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，

預(yù)報(bào)變量;平均減少0.5個(gè)單位，故④正確；

對(duì)于⑤，在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量x對(duì)于預(yù)報(bào)變量y的貢獻(xiàn)率，

R2越接近于1,表示回歸效果越好，故⑤正確；

對(duì)于⑥，對(duì)分類變量X與匕它們的隨機(jī)變量我的觀測(cè)值”來說，％越大，

“X與丫有關(guān)系”的把握程度越大，故⑥錯(cuò)誤；

對(duì)于⑦，可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故⑦正確.

其中正確個(gè)數(shù)為4.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，主要是線性回歸直線的特點(diǎn)和線性相關(guān)性的強(qiáng)弱、樣本數(shù)據(jù)的

特征值和模型的擬合度，考查判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.在研究某高中高三年級(jí)學(xué)生的性別與是否喜歡某學(xué)科的關(guān)系時(shí)，總共調(diào)查了N個(gè)學(xué)生

（N=100m,,〃€N*）,其中男女學(xué)生各半，男生中60%表示喜歡該學(xué)科，其余表示不喜歡；女生中

40%表示喜歡該學(xué)科，其余表示不喜歡.若有99.9%把握認(rèn)為性別與是否喜歡該學(xué)科有關(guān)，則可以推

測(cè)N的最小值為（）

n(ad-bc')2

(a+/?)(<?+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

A.400B.300C.200D.100

【答案】B

【分析】根據(jù)題目列出2x2列聯(lián)表，再根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算K?值，進(jìn)而得到關(guān)于加的關(guān)系式，求

解即可.

【詳解】由題可知，男女各5（麗人，列聯(lián)表如下：

喜歡不喜歡總計(jì)

男30m20m50m

女20m30m50m

總計(jì)50m50m100m

100/M(900W2-400W2)2

K'=4m?

50x50x50x50〃/

有99.9%把握認(rèn)為性別與是否喜歡該學(xué)科有關(guān),

，4m>10.828,解得機(jī)>2.707,

m￡N*,

.?.心“=300.

故選：B

10.已知zeC,且|z-i|=l,i為虛數(shù)單位，則|z-3-5i|的最大值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知|z-，|=1中z對(duì)應(yīng)點(diǎn)z的軌跡是以C(0,l)為圓心，r=1為半徑的

圓，而|z-3-5,］表示圓上的點(diǎn)到A(3,5)的距離，由圓的圖形可得的|z-3-5i|的最大值.

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知|z-4=1中z對(duì)應(yīng)點(diǎn)z的軌跡是以C(0,D為圓心，廠=1為半徑的

圓.

|z-3-5i|表示圓C上的點(diǎn)到43,5)的距離,

，|z-3-5”的最大值是|C4|+r=5+l=6,

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

11.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是：從一個(gè)正三

角形開始,把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,再去掉底邊.反

復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形(圖①)的邊長為1,把圖①，圖②，

圖③，圖④中圖形的周長依次記為G，C2>G，C4,則C&=()

①②③④

12864>128

A.----D.--D.----

9927

【答案】B

【分析】觀察圖形可得出｛。｝為首項(xiàng)為G=3,公比為g的等比數(shù)列，即可求出.

【詳解】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)圖形開始，每一個(gè)圖形的周長都在前一個(gè)的周長的基礎(chǔ)上多了其

114

周長的屋apc?=c?_,+-c?-1=-c?,l,

所以｛G｝為首項(xiàng)為G=3,公比為g的等比數(shù)歹U,

C4=3x

故選：B.

12.如圖，“大衍數(shù)列”：0、2、4、8、12來源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十''的推論,

主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.如圖是求大衍數(shù)列前〃

項(xiàng)和的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，輸入，〃=8,則輸出的5=()

【答案】C

【分析】寫出程序運(yùn)行的每一步，即可得出輸出結(jié)果.

【詳解】第1次運(yùn)行，〃J2uO,SnO+OnO，不符合〃之機(jī)，繼續(xù)運(yùn)行；

2

第2次運(yùn)彳亍，〃=2,a=±=2,S=0+2=2,不符合m,繼續(xù)運(yùn)彳??；

2

?2-1

第3次運(yùn)行，〃=3,。=----=4,S=4+2=6,不符合〃之相，繼續(xù)運(yùn)行，

2

2

第4次運(yùn)行，H=4,67=—=8,5=8+6=14,不符合〃之加，繼續(xù)運(yùn)行；

2

1-I

第5次運(yùn)行，〃=5,。=----=12,5=14+12=26,不符合〃之〃2，繼續(xù)運(yùn)行；

2

第6次運(yùn)行，〃=6,。=一=183=26+18=44,不符合鹿之機(jī),繼續(xù)運(yùn)行；

2

第7次運(yùn)行，n=7,a」——-=24,S=24+44=68,不符合〃之機(jī)，繼續(xù)運(yùn)行；

2

“2

第8次運(yùn)行，=8,a=—=32,5=68+32=100,符合〃之機(jī),退出運(yùn)行，輸出5=100.

2

故選：C.

二、填空題

13.已知復(fù)數(shù)z=(a-2)+(a+l)i(aeR)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限，則11+ai|的取值范圍是

【答案】□，⑹

【分析】根據(jù)的幾何意義，得的復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)3-2,。+1),列出不等式組求得-再結(jié)

合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z=(a-2)+(“+l)i(aeR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)3—2,。+1),

fa-2<0

因?yàn)樵擖c(diǎn)位于第二象限，所以,八，解得

所以|1+如=41+“2e[l,石).

故答案為：[1,逐).

14.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰申請(qǐng)了

北京大學(xué)的自主招生考試時(shí)，甲說：“丙或丁申請(qǐng)了“；乙說："丙申請(qǐng)了”；丙說：“甲和丁都沒有申

請(qǐng)“；丁說：“乙申請(qǐng)了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對(duì)的，那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生

考試的同學(xué)是.

【答案】乙

【分析】先假設(shè)甲乙丙丁中一個(gè)人說的是對(duì)的?然后再逐個(gè)去判斷其他三個(gè)人的說法?最后看是否滿

足題意，不滿足排除.

【詳解】解：先假設(shè)甲說的對(duì)，即甲或乙申請(qǐng)了?但申請(qǐng)人只有一個(gè)，

(1)如果是甲，則乙說“丙申請(qǐng)了''就是錯(cuò)的，丙說“甲和丁都沒申請(qǐng)''就是錯(cuò)的，丁說“乙申請(qǐng)了”也是

錯(cuò)的，這樣三個(gè)錯(cuò)的，不能滿足題意，故甲沒申請(qǐng).(2)如果是乙，則乙說“丙申請(qǐng)了”就是錯(cuò)的，丙

說“甲和丁都沒申請(qǐng)”可以理解為申請(qǐng)人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故說法不對(duì)，丁說“乙

申請(qǐng)了”也是對(duì)的，這樣說的對(duì)的就是兩個(gè)是甲和丁?滿足題意.

故答案為乙.

【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的應(yīng)用，屬于中檔題.

111111111111111111

15.有下列一組不等式:一十―＞一,—+一+一＞—,一+-+—+,一+一+一+一+一＞—,,根據(jù)這

3424562567826789102

一規(guī)律，若第2020個(gè)不等式為,+一二+—'=++->^,則〃葉〃=___________.

m+1m+2n2

【答案】6064

【分析】由歸納推理得：第&個(gè)不等式為：丁二+1二+???+4>：，若第2020個(gè)不等式為

k+2&+32K+22

-—-—I1-+->—,所以m=2022,〃=4042,艮口可得解.

m/n+1m+2n2

【詳解】解：因?yàn)橛?+:＞：,11111111111

—I-----1------1—+一>-…，根據(jù)這一

3424562567826789102

規(guī)律,

1111

則第％個(gè)不等式為:--------1---------k4-------->一

Z+22+3…2k+22

若第2020個(gè)不等式為工+一二+一二十...+，＞:,

mm+\m+2n2

BPm=k+2=2022,〃=狹+2=4042,

所以m=2022,n=4042,

UP/M+/n=2022+4042=6064,

故答案為：6064.

【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知變量y關(guān)于x的回歸方程為y=e"+2,其一組數(shù)據(jù)如表所示：若x=8,則預(yù)測(cè))，值可能為

X23456

6.5

yeL5e4-5e"ee7

【答案】e8

【分析】由已知回歸方程取對(duì)數(shù)并令z=lny,得線性回歸方程z=fcv+2,根據(jù)線性回歸直線過中心

點(diǎn)求得女值，然后代入x=8可得預(yù)測(cè)值.

【詳解】由丫二^^得：lny=H+2,令z=lny,即z=Ax+2,

2+3+4+5+6,

因?yàn)樵?----------：----------=4,

5

_Ine15+Ine4'5+Ine5,5+Ine6,5+Ine71.5+4.5+5.54-6.5+7.

z=-----------------------------------------------=---------------------------------=5,

55

將點(diǎn)(4,5)代入直線方程2=丘+2中，即可得：k=0.75,

所以回歸方程為丫=砂75"2

若x=8,則y=e038+2

故答案為：e8.

三、解答題

x=2+2cos0

17.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(。為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

y=l+2sin。

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為pcosl0+^1=V2.

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;

(2)直線/與曲線C交于〃,N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-2),求1PMl2+|PN|2的值.

【答案】(1)曲線C：(x-2)2+(y-l)2=4,直線/：x—y-2=0；(2)32.

【分析】(1)利用公式si/O+co/OE消除參數(shù)凡可得曲線C的方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)

的轉(zhuǎn)化公式求得直線/的方程；

(2)利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】(1)曲線C：(x-2>+(y_l)2=4,直線八x-y-2=0

[?

x=——/

(2)設(shè)/：<r(f為參數(shù))

y=-2+g

I2

將/的參數(shù)方程代入(X-2)2+(y-1)2=4,

得(?f-2)2+(—3+*t)2=4,

--5萬+9=0,

故4+/2=50,科=9,

2

\PMf+\PNf=$+]=(%+r2)-2f/2=50-18=32,

故哂=32.

x=pcosd

.而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐

{y=psinc/

p2=x2+y2

標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，后者也可以把極坐標(biāo)方程變形盡量產(chǎn)生P：Ocos/Psin。

tan0_y

X

以便轉(zhuǎn)化另一方面，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，我們可以用一個(gè)參數(shù)。來表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而

利用一元函數(shù)求與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題.

18.設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)z,滿足|z卜加，且復(fù)數(shù)(l+2i)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的

角平分線上.

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若彳+M('*eR)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【答案】(1)z=3-i；(2)-5.

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解，設(shè)2=。+歷(°力€/?且。>0),由題意得到關(guān)于的方程組求

解即可.

(2)根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.

【詳解】(1)設(shè)2=〃+折，a,beR,。>0,由題意：/+層二］。①

(l+2i)z=(1+2。(々+歷)=a—2/?+(2Q+/?)i,得a-2b=2a+b②

①②聯(lián)立，解得。=3,。=-1得z=3-i.

_m-i.(zn-i)(l-i)m-l(/n+1Y

1+i22I2J

所以3+祿=0且1-掾HO,解得機(jī)=一5.

19.近年來，共享單車進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚.某公司計(jì)劃對(duì)未開通共享單車的A縣城進(jìn)行車

輛投放，為了確定車輛投放量，對(duì)過去在其他縣城的投放量情況以及年使用人次進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到

了投放量x(單位：千輛)與年使用人次y(單位：千次)的數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制投放

量x與年使用人次y的散點(diǎn)圖如圖所示.

Xi234567

y611213466101196

(1)觀察散點(diǎn)圖，可知兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，擬用對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=a+4gx或指數(shù)函數(shù)

模型y=c-d'(c>0,d>0)對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合，請(qǐng)問哪個(gè)模型更適宜作為投放量x與年使用

人次y的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)，并求出y關(guān)于x的回歸方程；

(2)已知每輛單車的購入成本為200元，年調(diào)度費(fèi)以及維修等的使用成本為每人次0.2元，按用戶

每使用一次，收費(fèi)1元計(jì)算，若投入8(XX)輛單車，則幾年后可實(shí)現(xiàn)盈利？

參考數(shù)據(jù)：其中匕=愴%，C匕.

77

yV貿(mào)匕1O0-54

/=11=1

62.141.54253550.123.47

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（孫匕），（巧，%），…（X,,，然），其回歸直線&=9-波的斜率和截距的最小

n_

Z（%-x）（y-y）

二乘估計(jì)公式分別為b=\——--.

f（x,-x）2

【答案】（1）y=c?，適宜,1=3.47xlO0叫（2）6年.

【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=適宜；由y=C兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lgy=lgc+xlgd,設(shè)

lgy=v,則v=lgc+xlgd,根據(jù)參考數(shù)據(jù)以及參考公式首先求出口x的回歸直線方程進(jìn)而求出結(jié)

果；

（2）將8000代入回歸直線方程可得年使用人次，求出每年收益與總投資，則可求出結(jié)果.

【詳解】（1）由散點(diǎn)圖判斷，y=cM'適宜作為投放量x與年使用人次y的回歸方程類型.

由y=一小，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得1gy=lg（c?d'）=1gc+xlgd.

設(shè)lgy=v,則v=lgc+xlgd.

77

因?yàn)楣?4,v=1.54,=140,2蒼匕=5。12,

r=li=\

^x,.v,,-7xv

50.12-7x4xl.547

所以1g“二號(hào)---------—=0.25.

140-7X4228

i=l

把(4』.54)代入17=3。+了3〃，得lgc=0.54,

所以e=().54+0.25x，所以1g夕=0.54+0.25x,

則$=10'*4+025*=347*10。小，

故y關(guān)于X的回歸方程為a=3.47X10025\

（2）投入8千輛單車,則年使用人次為3.47*10。25'8=347千人次,

每年的收益為347x（1-0.2）=277.6（千元），

總投資8000x200=1600000=1600千元，

假設(shè)需要"年開始盈利，則”x277.6>1600,即”>5.76,

故需要6年才能開始盈利.

20.己知圓<7:/+>2=產(chǎn)有以下性質(zhì)：

①過圓C上一點(diǎn)M（%幾）的圓的切線方程是x°x+y°y=r2.

②若不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)材（毛,九）為圓C外一點(diǎn)，過用作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,則。加

垂直A8,即

（1）類比上述有關(guān)結(jié)論，猜想過橢圓C'：「■+/=1上一點(diǎn)M（%,方）的切線方程（不要求證明）；

22

（2）若過橢圓C，:.+%=1外一點(diǎn)，"（/,九）（M不在坐標(biāo)軸上）作兩直線，與橢圓相切于A,8兩

點(diǎn)，求證：K.「K°M為定值.

【答案】（1）切線方程是等+萼=1;（2）見解析.

【詳解】分析：⑴根據(jù)類比推理可得結(jié)果;（2）設(shè)4（不,％）,3（電,%）由⑴得過橢圓上點(diǎn)A&,y）

的切線4的方程是H+務(wù)=1,同理警+嚕=1,又過兩點(diǎn)48的直線是唯一的，直線48的方

CTh2CTb2

程是筆+碧:=1,軟3=_”,又的“=&,從而可得結(jié)果.

ab'a'y0/

22

詳解：⑴過橢圓c*+方=1（。>6>0）上一點(diǎn)的/（%,%）的切線方程是學(xué)+繁=1

（2）設(shè)4（%,%）,8（七,%）

由（1）得過橢圓上點(diǎn)4（%,*）的切線6的方程是至+岑=1,

???直線4過點(diǎn)M&,%）,

.x^,yy_

.?方+丁t0」i

同理斗+&善=1

a~b~

又過兩點(diǎn)A8的直線是唯一的，

直線A3的方程是警+岑=1.

arb“

?k__"當(dāng)

a%

又％=&,

%

^Afi'^OM=~~T^~=^~2為定值.

Co玉）a

點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理、圓錐曲線的切線，圓錐曲線的定值問題，屬于難題.探索圓錐曲線

的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變

量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

21.2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷項(xiàng)目迅速炒“熱”.北

京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生

中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占而男生有10人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒

有興趣.

⑴完成2x2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣沒興趣合計(jì)

男55

女

合計(jì)

（2）已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對(duì)冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)

抽取3人，求至少有2人對(duì)冰球有興趣的概率.

n=a+h+c+d.

附表：六VE

【答案】（1）有90%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)

⑵高

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出可得結(jié)論;

（2）由題意得概率為古典概型，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算可得所求.

【詳解】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表