江蘇省南京市玄武2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷即可.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.2．已知，則（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正切的兩角差公式直接求解即可.【詳解】故選：D3．在中，角的對(duì)邊分別是，若，，，則=（）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】由余弦定理求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋琤=3，，所以由余弦定理可得.所以.故選：B.4．已知向量滿足，，則=（）A．-0.5 B． C．0 D．2.5【答案】C【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則.故選：C.5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的范圍，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出的值，利用已知角和未知角之間的關(guān)系可知，最后用兩角差的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】∵,,∴,∴.故選:.6．在ABC中，則cosC=（）A． B． C．或 D．-或-【答案】B【分析】利用平方關(guān)系得到，再根據(jù)A+B+C=π討論求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，且，所以，所以A+B>π，所以，所以，，.故選：B.7．設(shè)O為△ABC的外心，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若b=3，c=5，則=（）A．8 B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義結(jié)合圓的性質(zhì)求解作答.【詳解】因?yàn)镺為△ABC的外心，則，同理，所以.故選：A8．凸四邊形就是沒(méi)有角度數(shù)大于180°的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABCD中，，，，，當(dāng)變化時(shí)，對(duì)角線BD的最大值為（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，在△ABC中，根據(jù)余弦定理表示，根據(jù)正弦定理表示，在△BCD中，由余弦定理表示，化簡(jiǎn)求得最值.【詳解】設(shè)，，，，在△ABC中，由余弦定理，得，由正弦定理，得，∴.∵，，，在△BCD中，由余弦定理，得,∴，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，為，即BD的最大值為.故選：C.二、多選題9．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】熟練掌握二倍角公式，，根據(jù)題中式子的特點(diǎn)，選擇公式計(jì)算即可.【詳解】A.；B.；C.；D..故選：BCD10．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，下列結(jié)論正確的是（）A．若，則為等腰三角形B．若，則為等腰三角形C．若，，則為等邊三角形D．若，，，則有兩解【答案】AC【分析】利用正弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用正弦定理、二倍角公式可判斷B選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)；利用正弦定理求出的值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，由正弦定理可得，則，所以，為等腰三角形，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?、中至少有一個(gè)是銳角，則，從而可知、均為銳角，由可得，因?yàn)?、，則、，所以，或，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，由余弦定理可得，即，所以，，因此，為等邊三角形，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，由正弦定理得，所以，不存在，D錯(cuò).故選：AC.11．中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積.把以上文字寫成公式，即（S為三角形的面積，a，b?c為三角形的三邊）.現(xiàn)有△ABC滿足，且△ABC的面積，則下列結(jié)論正確的是（

）A．△ABC的最短邊長(zhǎng)為4 B．△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足C．△ABC的外接圓半徑為 D．△ABC的中線CD的長(zhǎng)為【答案】AB【分析】結(jié)合題意利用正余弦定理處理運(yùn)算，常用向量處理△ABC的中線：．【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，解得，則，，，A正確；因?yàn)?，所以，，故B正確；因?yàn)椋?，由正弦定理得，，C錯(cuò)誤；，所以，故，D錯(cuò)誤.故選：AB.12．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為1，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則（）A．B．在向量上的投影向量為C．若則，為中點(diǎn)D．若在線段（包括端點(diǎn)）上，且，則取值范圍[1,2+]【答案】BD【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則且，所以，A錯(cuò)誤；又，，所以，即在向量上的投影向量為，B正確；又，設(shè)，所以，因?yàn)椋瑒t，整理可得，與八邊形有兩個(gè)交點(diǎn)，C錯(cuò)誤；若在線段（包括端點(diǎn)）上，設(shè)，，所以，，由，可得，則，所以，D正確.故選：BD.三、填空題13．已知是第三象限角，且，則的值是___________.【答案】/-0.75【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，再根據(jù)正切二倍角公式求得的值.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，所以，則，所以.故答案為：.14．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C，向量，，且.則角A=___________.【答案】.【分析】根據(jù)，由=0求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，且，則=0，即sinA﹣cosA=0，則tanA=，因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以A=.故答案為：.15．著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用，黃金分割比還可以表示成2sin18°，則___________.【答案】【分析】將2sin18°替換t代入所求值的式子中，利用三角變換公式化簡(jiǎn)即得.【詳解】因t=2sin18°，則有.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：含非特殊角三角函數(shù)式求值問(wèn)題，合理選擇誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、和差角的三角函數(shù)公式，二倍角公式等三角變換公式，借助通分、約分，合并等方法解決.四、雙空題16．已知△ABC的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若∠BAC=，D為邊BC上一點(diǎn)，且AD=1，BD：DC=2c：b，，則tan=___________則b+2c的最小值為_(kāi)__________.【答案】//【分析】設(shè)，則，利用面積關(guān)系可以得到，從而求得tan；再利用面積關(guān)系可以得到，再利用基本不等式的代1法即可求解.【詳解】設(shè)，則，∵AD=1，BD：DC=2c：b，∴，即，化簡(jiǎn)得，即，故，又，所以，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即2b+c的最小值為.故答案為：.五、解答題17．實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=(m2-5m+6)+(m2-3m)是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？【答案】（1）m1=0或m2=3時(shí)，z是實(shí)數(shù)；（2）m1≠0且m2≠3時(shí)，z是虛數(shù)；（3）m=2時(shí)z是純數(shù)；【詳解】試題分析：（1）當(dāng)m2-3m=0,即m1=0或m2=3時(shí)，z是實(shí)數(shù)；4分（2）當(dāng)m2-3m≠0，即m1≠0且m2≠3時(shí)，z是虛數(shù)；8分（3）當(dāng)即m=2時(shí)z是純數(shù)；12分考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念．點(diǎn)評(píng)：中檔題，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則虛部為0；復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，實(shí)部為0，虛部不為0.18．已知向量，.(1)求時(shí)，求的值；(2)若與共線，求夾角【答案】(1)(2)【分析】（1）代入得，根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得，利用向量模的公式即可；（2）計(jì)算得，利用向量共線得值，再利用向量夾角公式即可得到答案.【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴.（2），且與共線∴，解得，所以，，所以?shī)A角為.19．在△ABC中，，，點(diǎn)D在BC上，.（1）求AD的長(zhǎng)；（2）若△ABD的面積為，求AB的長(zhǎng)；【答案】（1）3；（2）9.【分析】（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得再根據(jù)正弦定理求得結(jié)果，（2）先根據(jù)三角形面積公式得，再根據(jù)余弦定理得結(jié)果.【詳解】解：（1）∵,且∴，正弦定理有，得；（2）∵，，∴，得，又∵，由余弦定理得，∴．【點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.20．已知，其中（1）求的值（2）求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，可得，兩邊平方后可得所求．（2）根據(jù)題意求出，然后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以．?）因?yàn)?，，其中，，，所以．【點(diǎn)睛】在解決三角中的給值求值問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵往往是要進(jìn)行角的變換，將已知條件作為整體進(jìn)行求解；同時(shí)在運(yùn)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時(shí)，要注意所得結(jié)果的符號(hào)．21．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，請(qǐng)?jiān)冖?；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，完成下列問(wèn)題：(1)求角A；(2)若△ABC是銳角三角形，函數(shù)，求的最大值【答案】(1)(2)2【分析】（1）①切化弦，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可；②利用正弦定理邊化角化簡(jiǎn)即可；③先化為正弦式再由正弦定理角化邊計(jì)算即可；（2）先判定B的范圍，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求其范圍即可.【詳解】（1）若選①：因?yàn)椋?，易知，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)?，所以；若選②：因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋瑒t，所以，因?yàn)?，所以；若選③：因?yàn)椋?化簡(jiǎn)可得，由正弦定理可得：，所以由余弦定理可知，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)槭卿J角三角形，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí),取得最大值為2.22．在直角梯形中，已知，，，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上，和交于點(diǎn)，且，，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)求的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)﹒【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根據(jù)