近代時(shí)間序列分析選講:一.非線性時(shí)間序列二GARCH模型三.多元時(shí)間序列四.協(xié)整模型非線性時(shí)間序列第一章.非線性時(shí)間序列淺釋1■從線性到非線性自回歸模型2.線性時(shí)間序列定義的多樣性第二章.非線性時(shí)間序列模型1.概述2.非線性自回歸模型3.帶條件異方差的自回歸模型E

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Lu4.兩種可逆性5.時(shí)間序列與偽隨機(jī)數(shù)第三章?馬爾可夫鏈與AR模型1.馬爾可夫鏈

2.AR模型所確定的馬爾可夫鏈3.若干例子第四章.統(tǒng)計(jì)建模方法1.概論2.線性性檢驗(yàn)3.入日模型參數(shù)估計(jì)4.AR1.概論2.線性性檢驗(yàn)3.入日模型參數(shù)估計(jì)4.AR模型階數(shù)估計(jì)第五章.實(shí)例和展望1.實(shí)例2.展望第一章.非線性時(shí)間序列淺釋第一章.非線性時(shí)間序列淺釋1.從線性到非線性自回歸模型時(shí)間序列儀｝是一串隨機(jī)變量序列,

它有廣泛的實(shí)際背景，特別是在經(jīng)濟(jì)與金融領(lǐng)域中尤其顯著.關(guān)于它們的從線性與非線|||-

概|||-

概性概念，可從以下的例子入手作一淺釋的說明.考查一階線性自回歸模型---LAR(1):x=ax+e,t=1,2，…(1.1)其中｛e｝為i.i.d?序列，且Ee=0,Ee=B<8,而t t t且e與｛x,x，…｝獨(dú)立.反復(fù)使用(1.1)式的遞tt-1 t-1推關(guān)系，就可得到xt=axt-1+et=e+ax1=et+a{et1+axt2}=e+ae1+ax2=..?=q+ae1+a2e2+..?+an-ie +anX. (1.2)如果當(dāng)nr8時(shí),(1.3){e+ae+a2e+???+an-ie }t t-1 t-2—￡ 8aje -j=0 t-jt-n+1(1.4)雖然保證以上的收斂是有條件的，而且要涉及到具體收斂的含義，但是，對(duì)以上的簡(jiǎn)單模型，不難相信，當(dāng)|a|<1時(shí)，(1.3)(1.4)式成立.于是，當(dāng)|a|<1時(shí)，模型LAR(1)有平穩(wěn)篇且可表達(dá)為x=￡x=￡8烈.

tj=0t-j(1.5)通過上面敘述可見求LAR(1)模型的解有簡(jiǎn)便之優(yōu)點(diǎn)，此其一.還有第二點(diǎn)，容易推廣到LAR(p)模型.為此考查如下的？階線性自回歸模型LAR(p):x=ax+ax+?.?+ax+e,(1.6)t=1,2,…(1.6)其中｛e｝為i.i.d?序列，且Ee=0,Ee=B<8,而t t t且e與｛x,x，…｝獨(dú)立.雖然反復(fù)使用(1.6)式tt-1 t-1的遞推式，仍然可得到(1.2)式的類似結(jié)果,

但是,用擴(kuò)后的一階多元AR模型求解時(shí)，可顯示出與LAR(1)模型求解的神奇的相似.為此記tXt-1lX )t-p+1(a a0p0(1.7)100…0)0p0(1.7)Xt=AXti+etU.Xt=AXti+etU.(1.8)反復(fù)使用此式的遞推關(guān)系，形式上仿照(1.2)式可得Xt=AXt1+etU=e.+q1AU+A2Xt2=???=e“+et〔AU+q2A2U+…+et1An-iU+AnXt.如果矩陣A的?半徑(A的特征值的最大模)MA),滿足如下條件MA)<1, (1.10)由上式可猜想到(1.8)式有如下的解:

X=Xk0^AkUe『其中向量乂的第一分量x形成的序列快｝,就t t t是模型(1?6)式的解.由此不難看出，它有以下表達(dá)方式XtXt=Zko^9ketk.(1.11)其中系數(shù)氣由(1.6)式中的吧，…，％確定,細(xì)節(jié)從略.不過，(1.11)式給了我們重要啟發(fā),即考慮形如x=Z8寸e,Zw2<8tk=0Tkt-kk=0丫k的時(shí)間序列類(其中系數(shù)Wk能保證(1.12)式中的乂有定義).在文獻(xiàn)中，這樣的序列織｝就t t被稱為線性時(shí)間序列.雖然以上給出了線性時(shí)間序列的定義,以下暫時(shí)不討論什么是非線性時(shí)間序列，代之先討論一階非線性自回歸模型---NLAR(1),以便與LAR(1)模型進(jìn)行比較分析.首先寫出NLAR(1)模型如下x=?(x)+e,t=1,2,… (1.13)tt-1t其中也｝為i.i.d?序列，且Ee=0,Ee=B<8,而t t t且鳥與｛Xt-1,Xt-2，…｝獨(dú)立，這些假定與LAR(1)模型相同，但是，戒x)不再是x的線性函t-1 t-1數(shù)，代之為非線性函數(shù)，比如尸洲血/.此時(shí)雖然仍可反復(fù)使用(1.13)式進(jìn)行迭代，但是所得結(jié)果是x=?(x)+et t-it=et+9(xt)=et+9(q1+9(xt2))=et+9(%+9(q2+9(xt3)))=q+9(氣+9(q2+???+9(xt))???).(1.14)根據(jù)此式，我們既不能輕易判斷9(xj函數(shù)

滿足怎樣的條件時(shí)，上式會(huì)有極限，也不能猜測(cè)其極限有怎樣的形式.對(duì)于？階非線性自回歸模型x=?(x,x，…,x)+e,tt-1 t-2t-ptt=1,2,…t=1,2,…(1.15)仿照(1.6)至(1.9)式的擴(kuò)的方法，我們弓1入如下記號(hào)①(如七…片-戶(X①(如七…片-戶(X,X,...,Xt—1 t—2Xt—1Xt-p+17(1.16)我們得到與(1?15)式等價(jià)的模型X=(X1)+eU,t=1,2,…(1.17)但是,我們?cè)僖驳貌怀龅?我們?cè)僖驳貌怀?1.9)至(1?14)式的結(jié)至此我們已將看出,從線性到非線性自回歸模型有實(shí)質(zhì)性差異,要說清楚它們,E

自回歸模型有實(shí)質(zhì)性差異,要說清楚它們,E

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Lu并不是很簡(jiǎn)單的事情.從數(shù)學(xué)角度而言，討論線性自回歸模型可借用泛函分析方法，然而，討論非線性自回歸模型，則要借用馬爾可夫鏈的理論和方法.這也正是本講座要介紹的主要容.2.線性時(shí)間序列定義的多樣性

現(xiàn)在簡(jiǎn)單敘述一下非線性時(shí)間序列定義的復(fù)雜性，它與線性時(shí)間序列的定義有關(guān).前一小節(jié)中(1.12)式所顯示的線性時(shí)間序列,只是一種定義方式.如果改變對(duì)系數(shù)的服k制條件，就會(huì)給出不同的定義.更為重要的是，在近代研究中，將(1.12)式中的i.i.d.序列{e}放寬為平穩(wěn)鞅差序列,這在預(yù)報(bào)理論中t很有意義.無論引用哪一種線性時(shí)間序列定義，都對(duì)相應(yīng)的序列的性質(zhì)有所研究，因?yàn)槠溲芯砍晒捎糜谟嘘P(guān)的線性時(shí)間序列模型解的特性研究.事實(shí)上，已經(jīng)有豐富的成果被載AI特性研究.事實(shí)上，已經(jīng)有豐富的成果被載AI入文獻(xiàn)史冊(cè).依上所述可知，由于線性時(shí)間序列定義的多樣性，必然帶來非線性時(shí)間序列定義的復(fù)雜性.這里需要強(qiáng)調(diào)指的是，對(duì)于非線性時(shí)間序列，幾乎沒有文章研究它們的一般性質(zhì)，這與線性時(shí)間序列情況不同.于是人們要問，我們用哪些工具來研究非線性時(shí)間序列模型解的特性呢？這正是本次演講要回答的問題.確切地說，我們將介紹馬爾可夫鏈，并借助于此來討論非線性自回歸模型解的問題.第二章.非線性時(shí)間序列模型從(1.12)式可見，一個(gè)線性時(shí)間序列｛x｝,t被再｝的分布和全部系數(shù)［所決定.在此有無

窮多個(gè)自由參數(shù)，這對(duì)統(tǒng)計(jì)不方便，因此人們更關(guān)心只依賴有限個(gè)自由參數(shù)的線性時(shí)間序列，這就是線性時(shí)間序列的參數(shù)模型.其中最常用的如ARMA模型.對(duì)于非線性時(shí)間序列而言，使用參數(shù)模型方法幾乎是唯一的選擇.由于非線性函數(shù)的多樣性，帶來了非線性時(shí)間序列模型的多樣性?但是，迄今為止被研究得較多，又有應(yīng)用價(jià)值的非線性時(shí)序模型，為數(shù)極少，而且主要是針對(duì)非線性自回歸模型.在介紹此類模型之前，我們W-

概W-

概先對(duì)非線性時(shí)序模型的分類作一概述.通用假定:"LLd.序列，且Es=O,而且尚七七…｝獨(dú)立.可加噪聲模型:x=?(x,x,???)+￡,tt-1 t-2 t(2.1)t=1,2，…(2.1)其中戒…)是自回歸函數(shù).當(dāng)它僅依賴于有限個(gè)未如參數(shù)時(shí)，記此參數(shù)向量為a,其相應(yīng)的(2?1)模型常寫成x=?(x,x，…;a)+&tt-1 t-2 tt=1,2,… (2.2)否則，稱(2.1)式稱為非參數(shù)模型.關(guān)于(2.1)(2.2)的模型的平穩(wěn)性，要在下一章討論，但是，它有類似于線性AR模型的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)，是重要的而且容易獲得的,它們是：TOC\o"1-5"\h\zE(x|x,x，…)tt-1 t-2=E{中(xti，xt2,…)+￡jxti，xt2，…}W(xt-1,x2,…)+E(etlxt-i，x2,…)=9(x，x，…) (2.3)t-1 t-2var{x|x，x，…}

tt-1 t-2三Enxtw(xt，…)]2|xt-1,x2，…}=Efe2|x,x,…}

tt-1 t-2=E&2t=b. (2.4)P{xt<x|xt1，xt2,…}=P{中(Xt「…)+￡t<x|xt1,Xt2,…}TOC\o"1-5"\h\z=P{s<x-9(x，…)|x,x,…}

t t-1 t-1 t-2=Fs(x-戒*「???)). (2.5)其中Fs是耳的分布函數(shù).帶條件異方差的模型：x=9(x,x，…)tt-1 t-2+S(x,x,???)￡,t-1 t-2tt=1,2,… (2.6)其中(P(…)和S(…)也有限參數(shù)與非參數(shù)型之分，這都是不言自明的.另外，(2.6)式顯然不屬于可加噪聲模型.但是，它比下面的更

一般的非可加噪聲模型要簡(jiǎn)單得多.這可通IJJJ一般的非可加噪聲模型要簡(jiǎn)單得多.這可通IJJJ過推廣(2.3)(2.4)(2.5)式看出，即有,TOC\o"1-5"\h\zE（x|x,x，…）tt-1 t-2=E{偵x,x，…）t-1 t-2+S（x,x,—）8|x,x，…}t-1 t-2tt-1 t-2=9（x,x，…）t-1 t-2+S（x,x，…）E{8|x,x，…}t-1 t-2 tt-1 t-2=9（x,x，…）. （2?3）'t-1 t-2var{x|x,x,…}

tt-1 t-2三Enxtw（xt,…）］2|xt-1,xt-2,…}=E{S2（x,x，…）82|x,x,…}

t-1t-2 t t-1 t-2=S2（x,x，…）E{82|x,x,…}t-1t-2 t t-1 t-2=S2（x,x，…）B. （2?4）’t-1 t-2

P{Xt<X|Xti，Xt2,…}=P{^(x，…)t-1+S(x,..?)￡t<x|x,x,…}=P{e<[x-9(x，…)]/S(x,???)}

t t-1 t-1=Fe([x-9(xt「???)]/，(％「???)).(2.5)’(2.7)一般非線性時(shí)序模型:噪聲模型，也不屬于(2.6)式的帶條件異方差的模型.雖然，它可能具有條件異方差性質(zhì).相反，后兩者都是(2.7)式的特殊類型.雖說(2.7)(2.7)式是更廣的模型形式，在文獻(xiàn)中卻很少被研究.只有雙線性模型作為它的一種特殊情況，在文獻(xiàn)中有些應(yīng)用和研究結(jié)果出現(xiàn).現(xiàn)寫出其模型于后，可供理解其雙線性模型的含義x=￡pax+￡qR￡tj=1jt-jj=1Ljt-j+￡p￡Q0￡x.i=1 j=1ijt-it-j2.非線性自回歸模型在前一小節(jié)中的(2.1)和(2.2)式就是非線性自回歸模型，而且屬于可加噪聲模型類?在這一小節(jié)里，我們將介紹幾種(2.2)式的常見的模型.函數(shù)后的線性自回歸模型:悠)=氣悠1)+a2f(Xt2)+???+af(xt?+中t=1,2,… (2.8)其中f(.)是一元函數(shù)，它有已知和未知的不同情況,不過總考慮單調(diào)增函數(shù)的情況a=(a,a，…,a'是未知參數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中,'1 2p｛X｝是可獲得量測(cè)的序列.t當(dāng)f(.)是已知函數(shù)時(shí)，｛f(x)｝也是可獲得t量測(cè)的序列，于是只需考慮y=f(x)所滿足的tt線性AR模型

(2.9)y=ay+ay+...+ay+e,

t1t-1 2t-2 pt-pt(2.9)t=1,2,…此時(shí)可不涉及非線性自回歸模型概念.在宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中，常常對(duì)原始數(shù)據(jù)先取對(duì)數(shù)后，再作線性自回歸模型統(tǒng)計(jì)分析，就屬于此種情況.這種先取對(duì)數(shù)的方法，不僅簡(jiǎn)單，而且有經(jīng)濟(jì)背景的合理解釋，它反應(yīng)了經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)幅度的量化規(guī)律.雖然在統(tǒng)計(jì)學(xué)中還有更多的變換可使用，比如Box-Cox變換,但是，由于缺少經(jīng)濟(jì)背景的合理解釋，很少被使用.由此看來，當(dāng)f(.)有實(shí)際背景依據(jù)時(shí)，可以考慮使用(2.7)式的模型.當(dāng)f(.)是未知函數(shù)時(shí)，機(jī)x)｝不是可量測(cè)的t序列，于是只能考慮(2.8)模虱注意f(.)是單調(diào)函數(shù)，可記它的逆變換函數(shù)為f-i(.),于是由(2?8)模型可得xt=f-i(a1f(xt1)+a2f(Xt2)+.?.+apf(Xtp)+et),t=1,2,… (2.9)*此式屬于(2.7)式的特殊情況，此類模型很少被使用.取而代之是考慮如下的模型Xt=a1f(Xt1)+a2f(Xt2)+...+af(Xt?+匕，t=1,2，… (2.10)其中f(.)是一元函數(shù)，也有已知和未如之分，可不限于單調(diào)增函數(shù).此式屬于(2.1)式的特殊情況，有一定的使用價(jià)值.當(dāng)(2.10)式中的f(.)函數(shù)是已知時(shí)，此式還有更進(jìn)一步的推廣模型，%=電［(亳［，…,xts)+aJ2(Xt［，…,筆)+...+af(x，…,x)+￡,t=1,2,… (2.11)其中f(???)(k=1,2,…,p)是已知的，無函數(shù).k例虬以后將要多次提到的如下的模型：x=aI(x<0)x+aI(x>0)x+e,t1 t-1 t-1 2 t-1 t-1tt=1,2,… (2.12)其中I(.)是示性函數(shù).此模型是分段線性的,是著WlSTAR模型的特殊情況.為了有助于理解它，我們寫出它的分段形式:a%+s,%<0,■ ' i 八t=1,2,…a%+s,%>0.2t-1 t t-1請(qǐng)注意，(2.8)(2.10)和(2.11)式具有一個(gè)共同的特征，就是未知參數(shù)都以線性形式出現(xiàn)在模型中.這一特點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)建模時(shí)帶來極大的方便.此類模型便于實(shí)際應(yīng)用.但是,對(duì)于｛x｝而言不具有線性特性，所以，討論它t們的平穩(wěn)解的問題，討論它們的建模理論依據(jù)問題,都需要借助于馬爾可夫鏈的工具.已知非線性自回歸函數(shù)的模型:Xt=Xt=9（Xt「匕，…R；a）+8t，t■ t-1 t-2t-pt=1,2,…(2.13)其中戒…）是P元巳知函數(shù)，但是其中含有未加參教婦氣,氣,…加參教婦氣,氣,…,a*.-般說來a在一定圍取值.例虬x=,以七+￡,t=1,2,…1