2021-2022學(xué)年浙江省臺(tái)州市山河中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.圓關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.已知，,若為滿(mǎn)足的一隨機(jī)整數(shù)，則是直角三角形的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知函數(shù)f（x）=，則方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） A．（0，） B．[，] C．（0，） D．[，e]參考答案：B【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用． 【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】由題意，方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又a表示直線(xiàn)y=ax的斜率，求出a的取值范圍． 【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根， ∴y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)， 又∵a表示直線(xiàn)y=ax的斜率， ∴y′=， 設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），k=， ∴切線(xiàn)方程為y﹣y0=（x﹣x0）， 而切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，∴y0=1，x0=e，k=， ∴直線(xiàn)l1的斜率為， 又∵直線(xiàn)l2與y=x+1平行， ∴直線(xiàn)l2的斜率為， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，）． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖象，以及函數(shù)與方程的關(guān)系，進(jìn)行解答，是易錯(cuò)題． 4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，是橢圓上的一點(diǎn)，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A5.某國(guó)企進(jìn)行節(jié)能降耗技術(shù)改造，如表是該國(guó)企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤(rùn)：年號(hào)x12345年生產(chǎn)利潤(rùn)y（單位：千萬(wàn)元）0.70.811.11.4預(yù)測(cè)第8年該國(guó)企的生產(chǎn)利潤(rùn)約為（

）千萬(wàn)元（參考公式及數(shù)據(jù)：,）A.1.88 B.2.21 C.1.85 D.2.34參考答案：C【分析】由所給數(shù)據(jù)求出，再求出線(xiàn)性回歸方程，即可預(yù)測(cè)第8年該國(guó)企的生產(chǎn)利潤(rùn)?！驹斀狻坑伤o數(shù)據(jù)可得，，，所以線(xiàn)性回歸方程為當(dāng)時(shí)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性回歸方程等知識(shí)，屬于簡(jiǎn)單題。6.函數(shù)f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．1＜a＜e B．1＜a＜eC．0＜a＜e D．e＜a＜e參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】原題意等價(jià)于方程ax=x3恰有兩個(gè)不同的解．分類(lèi)討論結(jié)合函數(shù)思想求解當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=ax與y=x3的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)a＞1時(shí)，y=ax與y=x3的圖象在x∈（﹣∞，0）上沒(méi)有交點(diǎn)，所以只考慮x＞0，于是可兩邊同取自然對(duì)數(shù)，得xlna=3lnx，即lna=，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，求解，利用導(dǎo)數(shù)求解即可．【解答】解：∵f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)∴等價(jià)于方程ax=x3恰有兩個(gè)不同的解．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=ax與y=x3的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)a＞1時(shí)，y=ax與y=x3的圖象在x∈（﹣∞，0）上沒(méi)有交點(diǎn)，所以只考慮x＞0，于是可兩邊同取自然對(duì)數(shù)，得xlna=3lnx，即lna=，令g（x）=，則，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜1時(shí)，當(dāng)g（x）＜0，x∈（e，+∞）時(shí)，g（x）單減且g（x）＞0．∴要有兩個(gè)交點(diǎn)，0＜lna＜g（e）=，即1＜a＜．故選：A7.下列函數(shù)中,在(0,+∞)上為增函數(shù)的是(

)A.

y＝sin2x

B.

y＝x3－x

C.

y＝xex

D.

y＝ln(1＋x)－x參考答案：C略8.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線(xiàn)A1D與D1C所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】異面直線(xiàn)及其所成的角．【分析】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是異面直線(xiàn)A1D與D1C所成的角，由此能求出結(jié)果．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是異面直線(xiàn)A1D與D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等邊三角形，∴∠DA1B=60°，∴異面直線(xiàn)A1D與D1C所成的角是60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線(xiàn)所成的角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．9.已知直線(xiàn)的傾斜角為，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A10.已知，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A. B.C. D.參考答案：D當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以故有選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.點(diǎn)P（1，3）關(guān)于直線(xiàn)x+2y﹣2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．參考答案：（﹣1，﹣1）【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．【分析】設(shè)點(diǎn)P（1，3）關(guān)于直線(xiàn)x+2y﹣2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則由垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件，求出a、b的值，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P（1，3）關(guān)于直線(xiàn)x+2y﹣2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則由，解得a=﹣1，b=﹣1，故答案為（﹣1，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，利用了垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件，屬于基礎(chǔ)題．12.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓內(nèi)部的一點(diǎn)，則的取值范圍為．參考答案：13.在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為O，曲線(xiàn)C1：ρ=6sinθ與曲線(xiàn)C2：ρsin（θ+）=，則曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)到曲線(xiàn)C2的最大距離為．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．【分析】把已知曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，即可得出．【解答】解：曲線(xiàn)C1：ρ=6sinθ化為：ρ2=6ρsinθ，∴直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=6y，配方為x2+（y﹣3）2=9．曲線(xiàn)C2：ρsin（θ+）=，展開(kāi)為=，化為直角坐標(biāo)方程為：x+y﹣2=0．圓心（0，3）到直線(xiàn)的距離d==．則曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)到曲線(xiàn)C2的最大距離為．故答案為：．14.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線(xiàn)DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE，若M為線(xiàn)段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)于下列說(shuō)法：①|(zhì)CA|≥|CA1|②經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E、A1、D的球的體積為2π③一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C④|BM|是定值其中正確的說(shuō)法是．參考答案：①④【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】在①中，在△ADE翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終有|CA|≥|CA1|；在②中，A，D，E是定點(diǎn)，A1是動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E、A1、D的球的體積不是定值；在③中，AC與DE不垂直，從而DE與A1C不垂直；在④中，取DC中點(diǎn)N，連MN，NB，根據(jù)余弦定理得到|BM|是定值．【解答】解：在①中，在△ADE翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終有|CA|≥|CA1|，故①正確．在②中，∵AD=AE=A1D=A1E=1，A，D，E是定點(diǎn)，A1是動(dòng)點(diǎn)，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E、A1、D的球的體積不是定值，故②錯(cuò)誤；在③中，∵A1C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，∴存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C不正確，故③不正確．在④中，取DC中點(diǎn)N，連MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，∴面MNB∥面A1DE，MB?面MNB，∴MB∥面A1DE，故④正確；∠A1DE=∠MNB，MN=是定值，NB=DE是定值，根據(jù)余弦定理得到：MB2=MN2+NB2﹣2MN?NB?cos∠MNB，∴|BM|是定值，故④正確．故答案為：①④．15.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)P，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是

。參考答案：16.參考答案：17.f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________.參考答案：【詳解】函數(shù)f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函數(shù)，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函數(shù)，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)，（1）令，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)（是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；（2）求證：當(dāng)時(shí)，參考答案：略19.（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，已知的半徑為1，點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，BC＝1，點(diǎn)P是的上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊作正三角形PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC兩側(cè).（1）若，試將四邊形OPDC的面積y表示成的函數(shù)；（2）求四邊形OPDC面積的最大值.參考答案：

解：（1）在中，由余弦定理，得.

………………2分于是，四邊形的面積為.

………………6分（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，四邊形的面積最大,此時(shí)

………………12分略20.(本題滿(mǎn)分13分)如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥平面BCE；(2)求證：平面BCE⊥平面CDE；(3)求二面角的余弦值．參考答案：(1)證明：取CE的中點(diǎn)G，連接FG、BG.∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF＝DE，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.……………（2分）又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，[來(lái)源:Z_xx_k.Com]∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG.∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE.…………（4分）

(2)證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.…………（6分）∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.……………（7分）∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.……………（8分）（3）過(guò)A作直線(xiàn)面ABF，以A為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)、、分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）：設(shè)則，,,所以，,,,…（9分）設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為由，令得：同理可得：，…（11分）所以…（12分）故所求的二面角的余弦值為：…（13分）21.已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a10=15，且a3、a4、a7成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，（d≠0），依題意，解方程組可求得，從而可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由于bn==，于是Tn=+++…+，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)