2021-2022學(xué)年江蘇省南京市溧水中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.偶函數(shù)在區(qū)間[0，4]上單調(diào)遞減，則有（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A2.如果α∈（，π）且sinα=，那么sin（α+）﹣cos（π﹣α）=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點(diǎn)】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值．【分析】通過(guò)α∈（，π）且sinα=，求出cosα，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)表達(dá)式，代入sinα，cosα的值，即可得到選項(xiàng)．【解答】解：因?yàn)棣痢剩?，π）且sinα=，所以cosα=﹣=，所以sin（α+）﹣cos（π﹣α）=+==．故選B．3.在等差數(shù)列中，，則前項(xiàng)之和等于Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．參考答案：A略4.設(shè)函數(shù)y=x3與y=（）x﹣2的圖象的交點(diǎn)為（x0，y0），則x0所在的區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】根據(jù)y=x3與y=（）x﹣2的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為g（x）=x3﹣22﹣x的零點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)g（x）=x3﹣22﹣x的零點(diǎn)的所在區(qū)間的問(wèn)題，再由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得到答案．【解答】解：∵y=（）x﹣2=22﹣x令g（x）=x3﹣22﹣x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函數(shù)g（x）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（1，2）．故選B．5.若方程的解為，則滿足的最大整數(shù)

．參考答案：2略6.若x，y滿足，則z=x+2y的最大值為（）A．0 B．1 C． D．2參考答案：D【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故選：D．7.半徑為cm，中心角為120o的弧長(zhǎng)為 （ ）A． B． C． D．參考答案：D試題分析：，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式，故選D.考點(diǎn)：弧長(zhǎng)公式8.（5分）若向量=（1，1），=（﹣1，1），=（4，2），則=（） A． 3+ B． 3﹣ C． ﹣+3 D． +3參考答案：B考點(diǎn)： 平面向量的基本定理及其意義；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．專題： 計(jì)算題；待定系數(shù)法．分析： 設(shè)=λ+μ，由=（4，2），用待定系數(shù)法求出λ和μ，可得結(jié)果．解答： 設(shè)=λ+μ=（λ，λ）+（﹣μ，μ）=（λ﹣μ，λ+μ）=（4，2），∴λ﹣μ=4，λ+μ=2，∴λ=3，μ=﹣1，可得，故選B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查兩個(gè)向量的加減法的法則，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算．9.函數(shù)的定義域?yàn)榧?，則集合（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B要使解析式有意義：，解得：，故選B；10.已知點(diǎn)在不等式表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是

A、

B、

C、

D、參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則

___.參考答案：12.在[0,5]上隨機(jī)地選一個(gè)數(shù)p，則方程有兩個(gè)負(fù)根的概率為_______________

參考答案：

13.=_____________；參考答案：

14.關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命題：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整數(shù)倍；②y=f（x）的表達(dá)式可改寫為y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣，0）對(duì)稱；④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱．其中正確的命題的序號(hào)是．參考答案：②③【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；H6：正弦函數(shù)的對(duì)稱性．【分析】根據(jù)函數(shù)求出最小正周期，可知①錯(cuò)；利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)②，判斷正誤；求出函數(shù)的對(duì)稱中心判定③；對(duì)稱直線方程判斷④的正誤；即可得到解答．【解答】解：①函數(shù)f（x）=4sin的最小正周期T=π，由相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的距離是=知①錯(cuò)．②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（2x+﹣）=4cos（2x﹣）③f（x）=4sin（2x+）的對(duì)稱點(diǎn)滿足（x，0）2x+=kπ，x=（）

k∈Z（﹣，0）滿足條件④f（x）=4sin（2x+）的對(duì)稱直線滿足2x+=（k+）π；x=（k+）x=﹣不滿足故答案為：②③【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，誘導(dǎo)公式的利用，以及正弦函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．15.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin（2x＋）（x∈R），有下列命題：

①由f(x1）＝f（x2）＝0可得x1－x2必是π的整數(shù)倍；②y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos（2x－)；③y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－，0）對(duì)稱；④y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱.其中正確的命題的序號(hào)是__________________．參考答案：(2)(3)16.若實(shí)數(shù)滿足條件，則代數(shù)式的取值范圍是

．參考答案：略17.（2016秋?建鄴區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)f（x）=2x+3，函數(shù)g（x）=，f（g（27））的值是．參考答案：9【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先求出g（27）==3，從而f（g（27））=f（3），由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵f（x）=2x+3，函數(shù)g（x）=，∴g（27）==3，f（g（27））=f（3）=2×3+3=9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(滿分12分）如圖，是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于點(diǎn)北偏東，點(diǎn)北偏西的點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于點(diǎn)南偏西°且與點(diǎn)相距海里的點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救，其航行速度為海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？參考答案：解：由題意知=海里，∠

DBA=90°—60°=30°，∠

DAB=90°—45°=45°，……2分∴∠ADB=180°—（45°+30°）=105°，……3分在△ADB中，有正弦定理得……5分∴即

……7分在△BCD中，有余弦定理得：

……9分==900

即海里……10分設(shè)所需時(shí)間為小時(shí)，則小時(shí)……11分答：該救援船到達(dá)點(diǎn)需要1小時(shí)……12分19.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足，.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，證明：.參考答案：(1)(2)見(jiàn)證明【分析】（1）列方程解出公比與首項(xiàng)，再代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）先化簡(jiǎn)，再利用裂項(xiàng)相消法求和，即證得結(jié)果.【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，解得或.因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，首項(xiàng)，故其通項(xiàng)公式為.（2）由（Ⅰ）得所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20.(10分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M為PD的中點(diǎn)．求證：PB∥平面ACM.參考答案：21.（12分）已知函數(shù)f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期為3π．在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．參考答案：考點(diǎn)： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 利用倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．解答： f（x）=sin（ωx）﹣2?=sin（ωx）+cos（ωx）﹣1=2sin（ωx+）﹣1…（2分）依題意函數(shù)f（x）的最小正周期為3π，即=3π，解得ω=，所以f（x）=2sin（x+）﹣1．…（4分）由f（C）=2sin（+）﹣1及f（C）=1，得sin（+）=1，…（6分）∵0＜C＜π，∴＜+＜，∴+=，解得C=，…（8分）在Rt△ABC中，∵A+B=，2sin2B=cosB+cos（A﹣C），∴2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，∴sin2A+sinA﹣1=0，解得sinA=，…（11分）∵0＜sinA＜1，∴sinA=…（12分）點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)周期公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．22.已知函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)于任意的,有,

且當(dāng)時(shí),.⑴求的值，并判斷函數(shù)的奇偶性（不要求證明）；⑵若,且,求的值；⑶若,試解關(guān)于的方程.參