2021年黑龍江省伊春市宜春大公中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意，都有，又，則等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略2.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，則這個(gè)幾何體的表面積為(

)（A） （B）（C）

（D）參考答案：B還原為立體圖形是半個(gè)圓錐，側(cè)面展開(kāi)圖為扇形的一部分，計(jì)算易得.3.在二項(xiàng)展開(kāi)式中只有x6的系數(shù)最大，則n等于

（

）

A．13

B．12

C．11

D．10參考答案：B4.設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則（）A．B．a(chǎn)=3，b=1C．D．a(chǎn)=1，b=3參考答案：A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等的充要條件．分析：先化簡(jiǎn)，然后用復(fù)數(shù)相等的條件，列方程組求解．解答：解：由可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)相等的概念及有關(guān)運(yùn)算，考查計(jì)算能力．是基礎(chǔ)題．5.已知集合，則集合A中元素個(gè)數(shù)為（

）A.3 B.4 C.5 D.6參考答案：C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域可解得x的范圍，結(jié)合，即可求出A中元素的個(gè)數(shù)。【詳解】由題意得，即，解得，又，所以滿足條件的x為1,2,3,4,5，共5個(gè)，故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域問(wèn)題，考查了一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題，6.若函數(shù)f(x)=2sin(2x+)關(guān)于直線x=m（m＜0）對(duì)稱(chēng)，則m的最大值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C由題意得，，即，，時(shí)，的最大值為.7.已知數(shù)列對(duì)任意的滿足,且,那么等于（

）A.-165

B.-33

C.-30

D.-21參考答案：C8.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分別為AA1、BC、C1D1的中點(diǎn)，現(xiàn)有下面三個(gè)結(jié)論：①△EFG為正三角形；②異面直線A1G與C1F所成角為60°；③AC∥平面EFG。其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.①

B.②③

C.①②

D.①③參考答案：D9.“”是“”的 （

）A．充分不必要條件；

B．必要不充分條件；C．充要條件；

D．既不充分也不必要條件.參考答案：A10.由等式定義映射，則

A.10

B.7

C.-1

D.0參考答案：D由定義可知，令得，，所以，即，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，a3=3，S4=10，則

．參考答案：設(shè)首項(xiàng)為，公差為．則求得，，則，12.直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn),則橢圓的離心率為_(kāi)___

___；參考答案：略13.已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在雙曲線上，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），則此雙曲線的方程是

. 參考答案：14.定義函數(shù)，若存在常數(shù)，對(duì)于任意，存在唯一的，使得，則稱(chēng)函數(shù)在上的“均值”為，則函數(shù)的“均值”為_(kāi)_______．參考答案：1010【分析】根據(jù)定義域可知，；由在上單調(diào)遞增，可知若需滿足題意，則，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】，即若，則，對(duì)于任意，存在唯一的使得且在上單調(diào)遞增

本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠充分理解新定義的“均值”的含義，進(jìn)而通過(guò)單調(diào)性可得的值，考查學(xué)生的分析和解決問(wèn)題能力.15.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為．參考答案：7【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】模擬程序的運(yùn)行，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S，i的值，當(dāng)i=3時(shí)，不滿足條件i≤2，退出循環(huán)，輸出S的值為7．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得S=1，i=1滿足條件i≤2，執(zhí)行循環(huán)體，S=3，i=2滿足條件i≤2，執(zhí)行循環(huán)體，S=3+4=7，i=3不滿足條件i≤2，退出循環(huán)，輸出S的值為7．故答案為：7．16.函數(shù),其最小正周期為，則________.參考答案：217.設(shè)向量=（1，3），=（2，x+2），且∥，則x=．參考答案：4【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得1×（x+2）=2×3，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量=（1，3），=（2，x+2），若∥，則有1×（x+2）=2×3，解可得x=4；故答案為：4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（16分）學(xué)校欲在甲、乙兩店采購(gòu)某款投影儀，該款投影儀原價(jià)為每臺(tái)2000元，甲店用如下方法促銷(xiāo)：買(mǎi)一臺(tái)價(jià)格為1950元，買(mǎi)兩臺(tái)價(jià)格為1900元，每多買(mǎi)臺(tái)，每多買(mǎi)一臺(tái)，則所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均再減50元，但最低不能低于1200元；乙店一律按原售價(jià)的80%促銷(xiāo)．學(xué)校需要購(gòu)買(mǎi)x臺(tái)投影儀，若在甲店購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用記為f（x）元，若在乙店購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用記為g（x）元．（1）分別求出f（x）和g（x）的解析式；（2）當(dāng)購(gòu)買(mǎi)x臺(tái)時(shí)，在哪家店買(mǎi)更省錢(qián)？參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法．專(zhuān)題： 應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）由2000﹣50x=1200，可得x=16，再分類(lèi)討論，即可求出f（x）和g（x）的解析式；（2）1≤x≤16時(shí)，由f（x）=g（x），可得x=8，再分類(lèi)討論，即可得出結(jié)論．解答： （1）由2000﹣50x=1200，可得x=16，1≤x≤16時(shí)，f（x）=x；x＞16時(shí)，f（x）=1200x，∴f（x）=，g（x）=2000×80%x=1600x；（2）1≤x≤16時(shí)，由f（x）=g（x），可得x=8∴1≤x≤8時(shí)，f（x）﹣g（x）=（400﹣50x）x＞0，f（x）＞g（x）；x=8時(shí)，f（x）=g（x）；8≤x≤16時(shí)，f（x）﹣g（x）=（400﹣50x）x＜0，f（x）＜g（x）；x≥16時(shí)，f（x）﹣g（x）=﹣400x＜0，f（x）＜g（x）；綜上所述，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)大于8臺(tái)時(shí)，在甲店買(mǎi)省錢(qián)；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)小于8臺(tái)時(shí)，在乙店買(mǎi)省錢(qián)；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)等于8臺(tái)時(shí)，在甲、乙店買(mǎi)一樣．點(diǎn)評(píng)： 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．19.（本小題滿分12分）某校為了解高三年級(jí)不同性別的學(xué)生對(duì)取消藝術(shù)課的態(tài)度（支持或反對(duì)），進(jìn)行了如下的調(diào)查研究．全年級(jí)共有1350人，男女生比例為8：7，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取若干名學(xué)生，每人被抽到的概率均為，通過(guò)對(duì)被抽取學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查，得到如下2x2列聯(lián)表：

支持反對(duì)總計(jì)男生30

女生

25

總計(jì)

（I）完成列聯(lián)表，并判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為態(tài)度與性別有關(guān)？（Ⅱ）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反對(duì)；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反對(duì)，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取一男一女進(jìn)一步調(diào)查原因．求其中恰有一人支持一人反對(duì)的概率。參考公式及臨界值表：P(K2≥k0)0.100.0500.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828

參考答案：解：（Ⅰ）列聯(lián)表如下：

支持反對(duì)總計(jì)男生305080女生452570總計(jì)7575150計(jì)算得，所以沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為態(tài)度與性別有關(guān)． ………………（6分）（Ⅱ）記6名男生為，其中為支持，為反對(duì)，記4名女生為，其中為支持，為反對(duì)，隨機(jī)抽取一男一女所有可能的情況有24種，分別為其中恰有一人支持一人反對(duì)的可能情況有12種，所以概率為． ………（12分）20.三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅱ）當(dāng)∠PCB=60°時(shí)，求三棱錐A﹣PCB的體積．參考答案：證明：（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，即O為△ABC的外心，又∵△ABC中，∠ACB=90°，故O為AB邊的中點(diǎn)，所以PO?平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）∵PA=PB=PC，∠PCB=60°，∴△PCB為正三角形，∵AC=CB=2，∴PA=PB=PC=2，

∴OA=PO=，∴三棱錐A﹣PCB的體積VA﹣PCB=VP﹣ACB=?PO===．…（12分）21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.參考答案：(1)由已知得解得，∴橢圓的方程為.(2)設(shè)，的中點(diǎn)為，點(diǎn)，使得,則.由得，由，得.∴，∴.∵∴，即，∴.當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)），∴；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)），∴，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為.22.（14分）商場(chǎng)銷(xiāo)售某一品牌的羊毛衫，購(gòu)買(mǎi)人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，購(gòu)買(mǎi)人數(shù)越少．把購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱(chēng)為無(wú)效價(jià)格，已知無(wú)效價(jià)格為每件300元．現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件，商場(chǎng)以高于成本價(jià)的價(jià)格（標(biāo)價(jià)）出售．問(wèn)：（1）商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？（2）通常情況下，獲取最大利潤(rùn)只是一種“理想結(jié)果”，如果商場(chǎng)要獲得最大利潤(rùn)的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；一元二次不等式的應(yīng)用．【專(zhuān)題】應(yīng)用題．【分析】（1）先設(shè)購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤(rùn)為y元，列出函數(shù)y的解析式，最后利用二次函數(shù)的最值即可求得商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元即可；（2）由題意得出關(guān)于x的方程式，解得x值，從而即可解決商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)的75%，每件標(biāo)價(jià)為多少元．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤(rùn)為y元，則x∈（100，300]n=kx+b（k＜0），∵0=300k+b，即b=﹣300k，∴n=k（x﹣300）y=（x﹣100）k（x﹣300）=k（x﹣200）2﹣1