2022-2023學(xué)年天津市薊州區(qū)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(2,2,5),B(4,6,3),則線段48的長度是()

A.2遙B.4V3C.4V2D.4

2.圓心坐標(biāo)為半徑長為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x—I)2+(y+1)2=2B.(x+I)2+(y—I/=2

C.(x—I)2+(y+l)2=4D.(x+l)2+(y—l)2=4

3.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，點(diǎn)4(1,-2,3)在坐標(biāo)平面Oyz的射影坐標(biāo)是()

A.(0,-2,3)B.(1,0,3)C.(1,-2,0)D.(1,0,0)

4.兩條平行直線小3x+4y=10,12：3尤+4曠=0之間的距離為()

A.|B.2C.2V5D.4

5.設(shè)aeR,直線k：ax+y=1,與直線％：2x+(a+l)y=—1垂直，則a=()

A.—2B.1C.-2或1D.-g

6.若過點(diǎn)P(2,l),且與圓/+y2=i相切的直線方程為()

A.2x+y-5=0B.2x+y—5=0或y—1

C.4%—3y—5=0D.4x—3y—5=0或y=1

7.在棱長為1的正方體43。。-4/修1。1中，點(diǎn)8到直線4。1距離是()

A.yB.5C.yD.|

8.點(diǎn)P(-2,-1)到直線/：(1+3A)x+(1+A)y-2-4A=0,(4€R)的距離最大時(shí)，其最

大值以及此時(shí)的直線方程分別為()

A.V13；x+y-2=0B.Vil；3x+y-4=0

C.V13；2x-3y+1=0D.VTT；2x-3y+1=0

9.已知直線/：%-丫=1與圓「：/+y2-2刀+2y-1=0相交于A,C兩點(diǎn)，點(diǎn)B,。分

別在圓r上運(yùn)動，且位于直線/的兩側(cè)，則四邊形ABCC面積的最大值為()

A.V30B.2V30C.V51D.2V51

10.己知空間向量五=(1,2,—3)1=(1,一1,2),則位+24)％=.

11.已知點(diǎn)P(l,2)到直線/：4x—3y+1=0的距離為.

12.設(shè)空間向量五=(1,2,3),b=(0,-1,1)，則向量方在向量石上的投影向量的坐標(biāo)為.

13.圓/+y2-4=。與圓/+y2-4x+4y-12=。的公共弦的長為.

14.直三棱柱4BC-力i/G中，ABCA=90°,a分別是必當(dāng)，41cl的中點(diǎn)，BC=AC=

CG，則BO】與AR所成角的余弦值為.

15.己知圓C的圓心在x軸正半軸上，點(diǎn)M(0,遮)在圓C上，且圓心到直線2x—y=0的距

離為華,則圓C的方程為.

16.如圖，棱長為2的正方體ABCD-4iBiG￡)i中，E,F,G分別是BD,的中點(diǎn).

(1)求證：EF1CF；

(2)求點(diǎn)G到平面EFC的距離.

17.已知△ABC的頂點(diǎn)4(一2,4),B(4,-6),C(5,l).

(1)求AB邊上的中線所在直線的方程；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)A,且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程.

18.如圖，在三棱錐P—ABC中，P4_L底面ABC,NB4C=90°.點(diǎn)。，E,N分別為棱PA,

PC,BC的中點(diǎn)，M是線段A。的中點(diǎn)，PZ=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN〃平面BDE-,

(2)求平面PAC與平面EMN所成角的余弦值.

19.已知圓C過點(diǎn)4(2,6),且與直線小x+y-10=0相切于點(diǎn)B(6,4).

(1)求圓C的方程；

(2)過點(diǎn)P(6,24)的直線％與圓C交于何，N兩點(diǎn)，若ACMN為直角三角形，求直線%的方程.

20.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PAJL底面ABC。，底面ABC。為平行四邊形，AB].AC,

且R4=ZB=3,AC=2,E是棱的中點(diǎn).

(1)求直線PC與平面AEC所成角的正弦值；

(2)在線段P8上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)使得平面M4c與平面4CE所成角的余弦值為噂?

若存在，確定加的位置；若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)4(2,2,5),B(4,6,3),

所以|4司=7(2-4)2+(2-6)2+(5-3)2=2限

故選：A.

利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解.

本題主要考查空間兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：圓心為(1,一1),半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(％-17+(y+=4.

故選：C.

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可求解.

本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：在空間直角坐標(biāo)系O^z中，點(diǎn)4(1,-2,3)在坐標(biāo)平面Oyz的射影坐標(biāo)是(0,-2,3).

故選：A.

根據(jù)坐標(biāo)平面0yz滿足橫坐標(biāo)為0即可解決.

本題主要考查空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：匕：3x+4y-10=0,l2：3x+4y=0,

則兩平行線之間的距離為旱匕&=2.

j32+42

故選：B.

由平行線之間的距離公式直接求解即可.

本題主要考查兩平行線之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：因?yàn)橹本€匕：ax+y=l,與直線2x+(a+l)y=-1垂直，

所以2Q+Q+1=0,解得Q=—

故選：D.

利用兩直線垂直公式求解.

本題主要考查兩直線垂直公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：圓/+y2=1的圓心是(0,0),半徑是?-=1,

把點(diǎn)P(2,l)的坐標(biāo)代入圓的方程/+y2=1可知點(diǎn)P在圓=1外，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

直線為x=2,不滿足題意；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，

設(shè)直線為y-1=k(x-2),即kx-y+l-2k=0,

因?yàn)橹本€與圓相切，

所以圓心到直線的距離等于半徑，即詈8=1,

河

解得k=0或k=

切線為4x-3y-5=0或y=1,

故選：D.

驗(yàn)證點(diǎn)在圓外，然后討論切線斜率存在與不存在兩種情況即可解決.

本題考查直線與圓相切的性質(zhì)以及切線方程的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：如圖，連接BG，過B作BH14G，垂足點(diǎn)為H,

則根據(jù)題意易得即為所求，

又AB=1,BCr=V2,AJ=a,AB1BCr,

.?_4BXBC1_lxV2_V6

“BRH-石，

???點(diǎn)B到直線4cl的距離為坐

故選：C.

連接BG，過B作B”_L4Ci，垂足點(diǎn)為H,則易得即為所求，再解三角形即可求解.

本題考查空間中點(diǎn)到直線的距離的求解，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：/：(1+3A)x+(1+A)y—2—4A=0,(A6R)變形為％+y—2+(3x+y—4)A=0,

故EU1U。，解得｛江:，

所以直線/過定點(diǎn)4(1,1),

故|P4|為點(diǎn)P(—2,-1)到直線/：(l+3/l)x+(l+Qy-2-4/l=0,(46R)的距離最大值，

即|P4|=J(_2_1)2+(_1_1)2=V13,

且此時(shí)直線PA的斜率％=44=|-

-Z-13

o

故此時(shí)直線方程為y+1=((%+2),即2x-3y+1=0.

故選：C.

先求出直線/所過定點(diǎn)4,由幾何性質(zhì)可知|P*即為點(diǎn)P(-2,-l)到直線/的距離最大值，求出|PA|,

得到此時(shí)直線PA的斜率，進(jìn)一步得到方程.

本題主要考查兩點(diǎn)之間的距離公式，以及直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】4

【解析】解:把圓廠/+y2-2x+2y-1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-I)2+(y+I)2=3,圓心(1,一1),

半徑r=V3.

直線與圓相交，由點(diǎn)到直線的距離公式的弦心距d=

jl2+(-l)22

由勾股定理得半弦長=/3—(鄲=當(dāng)，所以弦長依引=

2x^=V10.

又8,。兩點(diǎn)在圓上，并且位于直線/的兩側(cè)，

四邊形ABCD的面積可以看成是兩個(gè)三角形443。和4

ACD的面積之和，

如圖所示，

當(dāng)B,。為如圖所示位置，即8。為弦AC的垂直平分線時(shí)(即為直徑時(shí))，

兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABC。的面積最大，

最大面積為：S=：x\AB\x\CE\+gx\AB\x\DE\=|\AB\■\CD\=|xV10x273=同.

故選：4

先求出弦長|AB|的長度，然后結(jié)合圓與直線的位置關(guān)系圖象，然后將A8C。的面積看成兩個(gè)三角

形△ABC和△4C。的面積之和，分析可得當(dāng)8。為AC的垂直平分線時(shí)，四邊形ABC。的面積最大.

本題涉及到圓與位置關(guān)系的題目，可采用數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)現(xiàn)代數(shù)和幾何間的轉(zhuǎn)化，然后分析題

目具體問題，求解即可，屬于中檔題

10.【答案】5

【解析】解：a+2b=(1,2,-3)+(2,-2,4)=(3,0,1),

???(a+2b)-b=3x1+0x(-1)+1x2=5.

故答案為：5.

由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】|

【解析】解：點(diǎn)P(L2)到直線/；4%-3y+1=。的距離為d=手-：2：1=1

故答案為：

利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】(0,-另)

【解析】解：因?yàn)閨五|cos@,b)=普=—^^=爭jly=^(0,—1,1)=(0,-，-^),

所以向量五在向量F上的投影向量的坐標(biāo)為|磯cos(乙分\=爭(0,-乎凈=(0,—另).

故答案為：(0,—H

由|a|cos(a5)-高結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

|0|

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】2y[2

【解析】

【分析】

此題考查了圓與圓相交的性質(zhì)，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關(guān)鍵.

兩圓方程相減求出公共弦所在直線的解析式，求出第一個(gè)圓心到直線的距離，再由第一個(gè)圓的半

徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出公共弦長.

【解答】

解：圓/+y?-4=0與圓尤2+y2-4%+4y-12=0的方程相減得：x-y+2=0,

由圓/+y2-4=0的圓心(0,0),半徑r為2,

且圓心(0,0)到直線x-y+2=0的距離d=三浮i=V2,

則公共弦長為2“2-d2=2d=2V2.

故答案為：2夜.

14.【答案】特

【解析】解：直三棱柱48。一4道傳1中，ABCA=90°,貝I]AC,BC,CC1兩兩相互垂直，

建立以C為原點(diǎn)，以C4、CB、CG所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系C一xyz,

如圖所示:

則4(2,0,0),尸式1,0,2),5(020),。式1,1,2),

.?.麗=(-1,0,2),西=(1,-1,2),

設(shè)BO】與AR所成角為a,則ae（0,今,

麗?西|_

則|cosa|=3_V30

麗卜|西|—V5XV6—To-

故答案為：骨.

由題意建立以C為原點(diǎn)，以C4、CB、CG所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

利用向量法，即可得出答案.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征和異面直線的夾角，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力

和運(yùn)算能力、直觀想象，屬于中檔題.

15.【答案】（x—2）2+y2=9

【解析】

【分析】

本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題.

由題意設(shè)出圓的方程，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入圓的方程，結(jié)合圓心到直線的距離列式求解.

【解答】

解：由題意設(shè)圓的方程為（x-a）?+y2=「29>0）,圓心（見0）,

由點(diǎn)M（0,遮）在圓上，且圓心到直線2%-y=0的距離為華，

(a24-5=r2

得]12al一也解得a=2,r=3,

(j22+(-l)25

???圓C的方程為：(x-2)2+y2=9,

故答案為(x-2)2+y2=9.

16.【答案】解：（1）以。為原點(diǎn)，分別以D4,DC,DDi為x,y,

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則E(O,O,1),F(1,1,O),C(0,2,0),G(2,2,l),

???EF=(1,1,-1),CF=(l.-l.O),

.-.FF-CF=lxl+lx(-1)+(-1)x0=0,

EFlCF,

即EF1CF；

(2)vCE=(0,-2.1),

設(shè)平面CEF的法向量為記=(x,y,z),

則第U(~2y+z=°,取乃

[%-y=0(1,1,2),

又葡=(2,0,1).

二點(diǎn)G到平面CEF的距離d=I常I=2xl+0xl+lx2._2V6

Jl2+l2+22-3,

【解析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和前，次的坐標(biāo)，根據(jù)

數(shù)量積的結(jié)果，即可證明;

（2）求得平面EFC的法向量和葡的坐標(biāo)，以及而在法向量上的投影向量的模長，即可求得結(jié)果.

本題考查向量法證明線線垂直，向量法求解點(diǎn)面距問題，屬中檔題.

17.【答案】解：（1）由題意得，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一1）,

則AB邊上的中線過點(diǎn)（1,一1）,斜率k=言=g，

AB邊上的中線所在直線的方程為y+1=|（x-l）,即久一2y-3=0.

（2）當(dāng)截距為0時(shí)，直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為y=依，則卜=芻=-2,

?,?直線方程為y=-2%；

當(dāng)截距不為。時(shí)，直線方程為弓+上=1,

aa

???直線過點(diǎn)4（一2,4）,則?+￡=1,解得，a=2,

二直線方程為x+y-2=0.

綜上，經(jīng)過點(diǎn)A,且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程為y=2x或x+y-2=0.

【解析】(1)求得中點(diǎn)坐標(biāo)及中線斜率，點(diǎn)斜式求直線方程；

(2)分截距為0和不為0兩種情況討論，求得直線方程.

本題考查了直線的方程的應(yīng)用問題，也考查了線段中點(diǎn)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

18.【答案】解：(1)證明：因?yàn)镻4_L面ABC。，ABcffiABCD,ACc?ABCD,

故P414B,PA1AC,5LAB1AC,

以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

依題意可得4(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4).D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,l),N(l,2,0),

所以屁=(0,2,0),DB=(2,0,-2).設(shè)元=(x,y,z)為平面8DE的法向量，

則y.匹=0,即件竺=2y=0,不妨設(shè)z=i,可得元=Q0,l).

In?DB=0(.n-DB=2x-2z=0

又而=(1,2,-1),故可得標(biāo)n=lxl+0x2+lx(-1)=0.

因?yàn)镸NC平面BOE,所以MN〃平面BOE.

(2)易知方=(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量，

設(shè)有=(%,y,z)為平面EMN的法向量，則［曰,絲二°,

\n2-MN—0

因?yàn)榈?(0,-2,-1),而=(1,2,-1),所以。金二

(XIL>y—z—u

不妨設(shè)y=l,可得冗=(一4,1,一2)；

設(shè)平面PAC與平面EMN所成角為。,cos0=|cos〈而尼)|=|二巴|=-4==與?，

I九ill九2lvZlZ1

所以平面PAC與平面EMN所成角的余弦值為警.

【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得MN的方向向量和平面8DE的法向

量，根據(jù)其數(shù)量積的結(jié)果即可證明；

(2)分別求得兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合法向量夾角和二面角之間的關(guān)系，即可求得結(jié)果.

本題考查空間向量在立體幾何中的運(yùn)用，考查邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)圓心C(a,b),由題意:CA2=CB2^,

(a—2產(chǎn)+(b-6)2=(a-6)2+(b-4)2=>2a—b—3=0①，

CB1",二=1②，

a—6

由①②得，Q=1,b=—1,

即圓心C(l,—1),半徑r=CA=y/(a-2)2+(6-6)2=V50=5A/2,

所以圓C的方程：Q—+(y+1)2=50.

(2)使△「"可為直角三角形，CM=CN,則4MOV=90。，MN=岳=10,

???圓心到直線%的距離為d=\MN=5,

設(shè)，2的斜率存在時(shí)設(shè)直線G方程：y-24=k(x-6)nkx—y-6k+24=0,

"=等1=5=小色

府5

所以直線。的方程：y—24=竽(x—6),

當(dāng)。的斜率不存在時(shí)即x=6,這時(shí)圓心到直線的距離為6-1=5,正好ACMN也是直角三角形,

也符合條件；

所以，直線。的方程：12x-5y+48=0或者x=6.

【解析】(1)根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件及過兩點(diǎn)求圓的方程，進(jìn)行求解即可.

(2)由題意得直角三角形的哪個(gè)角是直角的等腰三角形,得弦長與半徑的關(guān)系，設(shè)直線，利用半徑，

圓心到直線的距離，半個(gè)弦長之間的關(guān)系，求出直線方程.

本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵.屬

中檔題

20.【答案】解：(1)???PA_L面A8CD,又4C,ABu面

ABCD,

PALAC,PALAB,又4BJ.AC,

.??分別以AC,AB,AP所在直線為x軸，y軸