圖像傅立葉變換第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二引言 圖像變換的意義便于對圖像進行分析通過對圖像進行傅立葉變換，分析不同目標結(jié)構的頻譜成分進行目標特征提取，圖像匹配和圖像識別便于對圖像進行處理在頻率域中的一些簡單操作可以代替空間域中的復雜操作，從而簡化處理過程，提高運算效率第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二引言 圖像變換的意義剔除多個波段圖像數(shù)據(jù)之間的相關性，減小存儲容量，提高各種大數(shù)據(jù)量圖像傳輸?shù)男省D像變換是數(shù)字圖像處理基礎理論的重要組成部分，是圖像復原、圖像增強、圖像編碼、圖像匹配和圖像識別的重要數(shù)學基礎。第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二引言 圖像變換是圖像處理過程中的一個過渡手段，要求任何形式的圖像變換均可逆。經(jīng)典的圖像變換方法有：傅立葉變換余弦變換沃爾什變換哈達瑪變換K-L變換第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二傅立葉變換及其性質(zhì)理論基礎是線性系統(tǒng)、卷積與相關。實質(zhì)是將圖像函數(shù)展開成具有不同空間頻率的正余弦函數(shù)的線性組合，將空間域的圖像數(shù)據(jù)變換到頻率域，對圖像數(shù)據(jù)實施不同頻率成分的提取。建立在所處理的信號是平穩(wěn)信號的假設基礎上。一個復雜的連續(xù)平穩(wěn)信號總可以分解為許多簡單的正、余弦信號的疊加。第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二傅立葉變換及其性質(zhì)將圖像灰度值形成的空間域與其頻率域聯(lián)系起來，起到了一種橋梁的作用。（空間域和頻率域來回切換）對頻譜圖像中的各種頻率成分進行有針對性的分析和處理，可實現(xiàn)圖像的濾波處理。第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二傅立葉變換及其性質(zhì)一維連續(xù)傅立葉變換一維傅立葉變換性質(zhì)一維離散傅立葉變換二維傅立葉變換二維傅立葉變換的性質(zhì)第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維連續(xù)傅立葉變換函數(shù)f(x)的一維傅立葉變換由下式定義：

其中j是虛數(shù)單位。傅立葉變換是一個線性積分變換，它將一個有n個實變量的復函數(shù)變換為另一個有n個實變量的復數(shù)函數(shù)。第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維連續(xù)傅立葉變換一維傅立葉逆變換定義為：正、反傅立葉變換的唯一區(qū)別是冪的符號

正變換第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維連續(xù)傅立葉變換傅立葉積分定理指出：也就是說變換是可逆的，即

第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維連續(xù)傅立葉變換函數(shù)f(x)和函數(shù)F(u)被稱作一個傅立葉變換對，用符號表示：對于任一個函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是唯一的，反之亦然。第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維連續(xù)傅立葉變換在頻譜分析中F(u)也可稱作f(x)的頻譜函數(shù)。對函數(shù)f(x)做傅立葉變換實際上就是求它的頻譜，即求各個頻率分量及其所占的比重。頻譜函數(shù)是一個復函數(shù)，在復平面坐標系中可以表示為：第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維連續(xù)傅立葉變換在復平面極坐標系中可表示為:其中：(f(x)振幅譜或傅立葉譜)(f(x)的相位譜)第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換建立了原函數(shù)f(x)與頻譜函數(shù)F(u)之間的基本關系。它具備一些基本性質(zhì)。

位移性共軛性線性疊加性對稱性比例性面積性微分性積分性

第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維傅立葉變換性質(zhì)位移性若則原函數(shù)的坐標位移，導致傅立葉變換的相位改變。同樣，傅立葉變換的相位發(fā)生改變，可以實現(xiàn)原函數(shù)的坐標位移。第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維傅立葉變換性質(zhì)位移性證明如下令則有以及第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維傅立葉變換性質(zhì)共軛性

若則共軛性證明如下：第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維傅立葉變換性質(zhì)在頻譜面上對稱點的值是共軛的。在計算實函數(shù)的頻譜函數(shù)時，只要計算出頻譜函數(shù)的一半，則可利用對稱共軛性，導出另一半。對于實函數(shù)來說，它的頻譜函數(shù)的共軛函數(shù)的傅立葉變換就是實函數(shù)本身。利用這種共軛性，在實際運算中可以調(diào)用同一傅立葉變換程序進行逆變換運算。

第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維傅立葉變換性質(zhì)線性疊加性

即兩個函數(shù)的傅立葉變換或逆變換等于它們各自變換之和。

若則第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維傅立葉變換性質(zhì)對稱性即傅立葉變換的奇偶性與原函數(shù)的奇偶性相同。

則，且若，且第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維傅立葉變換性質(zhì)比例性（又稱定標性）若原函數(shù)伸展a倍，則傅立葉變換函數(shù)坐標收縮a倍，振幅也變換1/|a|倍。

若有常數(shù)a，且有則第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維傅立葉變換性質(zhì)面積性即一個函數(shù)的面積等于它的傅立葉變換的中心點的值。

若則第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維離散傅立葉變換將連續(xù)函數(shù)f(x)用N個互相間隔為△x的采樣方法進行離散化，可形成一個離散序列：并規(guī)定：

且取x=0，1，2，…，N-1，上述序列可表示為：

第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二一維離散傅立葉變換經(jīng)采樣后離散序列的離散傅立葉變換對為：式中u=0,1,2,…,N-1,是與x相對應的

第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二二維傅立葉變換二維傅立葉變換定義為：可以簡化表示為：第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二二維傅立葉變換N×N數(shù)字圖像二維離散傅立葉變換表示為：逆變換為：第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二離散傅立葉變換函數(shù)f(x,y)的傅立葉變換是f(x,y)積分的函數(shù)，因此計算每一個傅立葉變換值，原函數(shù)f(x,y)的每一個點都需要參予。第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二二維傅立葉變換F(u,v)表示圖像函數(shù)f(x,y)的頻譜。其中u,v表示圖像平面的x方向和y方向的空間頻率。空間頻率的值域叫做圖像的頻率域。圖像傅立葉變換對，建立了圖像空間位置函數(shù)與空間頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關系。利用這種關系，可以對圖像進行頻譜分析和處理。

第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二二維傅立葉變換變換平移后，低頻集中在中心位置，高頻分散第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二離散傅立葉變換的顯示經(jīng)過置換以后，中心部分為低頻成分，四周為高頻成分第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二二維傅立葉變換性質(zhì)二維傅立葉變換除具備一維傅立葉變換的線性迭加性、對稱性、比例性、位移性、共軛性等性質(zhì)外，還具備：可分性

旋轉(zhuǎn)性

第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二二維傅立葉變換性質(zhì)可分性

若有

則有

二維函數(shù)的傅立葉變換（或逆變換），可以通過相應的兩次一維傅立葉變換（或逆變換）來實現(xiàn)。

第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二快速傅立葉變換離散傅立葉變換公式為：

具有可分性和周期性第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二快速傅立葉變換將上式用矩陣表示為：

每一頻率分量，需N次復數(shù)乘和（N-1）次加運算。N點需N2次復數(shù)乘和N×(N-1）次復數(shù)法。1965年，庫利-圖基提出了快速DFT(FFT)算法。

第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二FFT基本思想

充分利用復指數(shù)正交函數(shù)系的可分性和周期性，把原始的N點序列，依次分解成一系列短序列，然后求出這些短序列的DFT，以此來減少乘法運算。第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二二維傅立葉變換算法利用可分性，二維DFT變換可以先讓x保持不變，對y實行N點FFT變換，得到F(x,v)；然后對F(x,v)轉(zhuǎn)置，進行M點的FFT變換，再轉(zhuǎn)置，從而得到F(u,v)。二維DFT可以調(diào)用一維FFT子程序完成。第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二交叉圖形及其FFT幅值譜圖像圓形及其FFT幅值譜圖像矩形旋轉(zhuǎn)圖像及其FFT變換幅值譜圖像矩形及其FFT幅值譜圖像不同圖形及其FFT變換幅值譜圖像對比第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二正交變換為什么要對圖像進行正交變換？圖像中所包含的數(shù)據(jù)，相關性很強，直接處理難度和冗余度都很大。必須通過采取必要的手段來消除相關性，使各像元的數(shù)據(jù)間或各個波段的數(shù)據(jù)間相對獨立。正交變換運算比較簡單，數(shù)學描述容易，可進行正變換和逆變換。第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二正交變換傅立葉變換的實質(zhì)--把代表圖像的圖像函數(shù)展開成具有不同空間頻率的正、余弦函數(shù)的線性組合，或者說用正、余弦正交函數(shù)系來描述圖像函數(shù)。除傅立葉變換是正交變換外，還有很多種正交變換方法，如Walsh變換、Hadamard變換和K-L變換等正交變換。第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二沃爾什和哈達瑪變換

圖像變換的基函數(shù)形式除正弦型函數(shù)外，還有一些其他波形。沃爾什和哈達瑪變換，其基函數(shù)就是基于方波的。沃爾什和哈達瑪變換的實質(zhì)都是基于沃爾什函數(shù)的，只是同一種方波的變形。將它們結(jié)合起來稱為沃爾什－哈達瑪變換。第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二沃爾什和哈達瑪變換

若用矩陣形式，可表示為：

正變換

逆變換

沃爾什－哈達瑪正反變換的公式形式是相同的，采用一個程序就可以完成。當輸入圖像矩陣時，就得到正變換結(jié)果，而當輸入變換結(jié)果時就得到反變換結(jié)果。

第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二沃爾什和哈達瑪變換

對稱的、可分離的正交變換，它的核矩陣中只有＋1和－1元素。在圖像處理中，矩陣的階數(shù)N一般取為N=2n，其中n是整數(shù)。2×2核矩陣為：

第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二沃爾什和哈達瑪變換

對于N>2的情況，其核矩陣可以通過塊矩陣的形式遞推產(chǎn)生：

第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二沃爾什和哈達瑪變換

對于N＝8，其核矩陣為：第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二沃爾什和哈達瑪變換

通過重新安排各行的次序來使得列率按行號遞增，與傅立葉變換核的頻率遞增類似。當N＝8時，有序的變換核矩陣為：

第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二沃爾什和哈達瑪變換

對于均勻分布的數(shù)字圖像

由于圖像是4×4矩陣，則n＝2，N＝4，變換核矩陣為：

第四十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二沃爾什和哈達瑪變換

二維沃爾什－哈達瑪變換為：

具有能量集中的性質(zhì)，原始圖像數(shù)據(jù)越是均勻分布，變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。應用二維沃爾什－哈達瑪變換可以壓縮圖像信息。第四十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二沃爾什和哈達瑪變換

將一個函數(shù)變換成取值為+1或-1的基本函數(shù)構成的級數(shù)，用它來逼近數(shù)字脈沖信號時要比傅立葉變換有利。在圖像傳輸、通信技術和數(shù)據(jù)壓縮中獲得了廣泛的使用。此變換是實數(shù)變換，對一個給定的問題，這種變換所要求的計算機存儲量比傅立葉變換要少，運算速度也快。第四十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二離散K-L變換

離散K-L變換--霍特林變換（Hotelling）、特征向量變換或主成分變換。K-L變換以圖像統(tǒng)計性質(zhì)為基礎。主要特征：通過選擇代表