第二章函數(shù)INNOVATIVEDESIGN第3節(jié)奇偶性、對稱性與周期性1.理解函數(shù)奇偶性的含義.2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質的綜合問題.考試要求知識診斷基礎夯實內容索引分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實11.函數(shù)的奇偶性知識梳理奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對一切使F(x)有定義的x，_______也有定義，并且______________成立，則稱F(x)為偶函數(shù)關于______對稱奇函數(shù)如果對一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(－x)也有定義，并且_________________成立，則稱F(x)為奇函數(shù)關于______對稱F(－x)F(－x)＝F(x)y軸F(－x)＝－F(x)原點2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的______正周期.最小[常用結論]1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)×診斷自測×√√解析(1)由于偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)錯誤.(2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù)，且在x＝0處有意義時才滿足f(0)＝0，(2)錯誤.2.(多選)(教材改編)給出下列函數(shù)，其中是奇函數(shù)的為(

)BC解析對于f(x)＝x4，f(x)的定義域為R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函數(shù)，3.設奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5]，若當x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為__________________.(－2，0)∪(2，5]解析由圖象可知，當0＜x＜2時，f(x)＞0；當2＜x≤5時，f(x)＜0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當－2＜x＜0時，f(x)＜0，當－5≤x＜－2時，f(x)＞0.綜上，f(x)＜0的解集為(－2，0)∪(2，5].4.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x＋m，則f(－3)＝________.解析因為f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，則f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.-7第一課時奇偶性、對稱性與周期性考點一函數(shù)的奇偶性角度1判斷函數(shù)的奇偶性因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

解顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱.因為當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知，對于定義域內的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

解顯然函數(shù)f(x)的定義域為R，判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，否則為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.感悟提升角度2函數(shù)奇偶性的應用例2(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域為R，當x＞0時，f(x)＝x＋1，則當x＜0時，f(x)＝________.

解析

當x＜0時，－x＞0. f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.x－1

ln2若a＝0，則函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠1}，不關于原點對稱，不具有奇偶性，所以a≠0，因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以定義域必須關于原點對稱，

1.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或參數(shù)的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.2.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.感悟提升訓練1(1)已知函數(shù)f(x)＝ln(2＋2x)＋ln(3－3x)，則f(x)(

)A.是奇函數(shù)，且在(0，1)上單調遞增B.是奇函數(shù)，且在(0，1)上單調遞減C.是偶函數(shù)，且在(0，1)上單調遞增D.是偶函數(shù)，且在(0，1)上單調遞減解析對于f(x)＝ln(2＋2x)＋ln(3－3x)，D所以f(x)的定義域為(－1，1)，關于原點對稱.因為f(－x)＝ln(2－2x)＋ln(3＋3x)＝ln[2(1－x)]＋ln[3(1＋x)]＝ln2＋ln(1－x)＋ln3＋ln(1＋x)＝ln(3－3x)＋ln(2＋2x)＝f(x)，

所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).由對數(shù)運算性質知f(x)＝ln(2＋2x)＋ln(3－3x)＝ln[(2＋2x)(3－3x)]＝ln[6(1－x2)]＝ln6＋ln(1－x2)(－1＜x＜1)，設u＝1－x2，y＝lnu，則u＝1－x2在(0，1)上單調遞減，函數(shù)y＝lnu單調遞增，由復合函數(shù)的單調性可知函數(shù)f(x)在(0，1)上單調遞減.故選D.

C∴f(x)和g(x)在[－5，5]上的單調性相同，設g(x)在[－5，5]上有最大值g(x)max，最小值g(x)min.

∴g(x)在[－5，5]上為奇函數(shù)，∴g(x)max＋g(x)min＝0，考點二函數(shù)的周期性及應用例3(1)函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝f(x＋2)，當x∈(0，2)時，f(x)＝x2，則f(2025)＝________.

解析

由f(x－2)＝f(x＋2)知f(x)的周期為4，

故f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝1.1

(2)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，則f(2023)＝________.解析∵f(x)f(x＋2)＝13，1.求解與函數(shù)周期有關的問題，應根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉化到已知區(qū)間上，進而解決問題.感悟提升

(2)(2023·金華調研)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當－1≤x＜3時，f(x)＝x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝________.解析因為f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝337×1＋1＋2＝340.340考點三函數(shù)的對稱性例4(1)(多選)(2023·承德模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結論正確的是(

) A.f(x)的圖象關于直線x＝2對稱 B.f(x)的圖象關于點(2，0)對稱 C.f(x)的周期為4 D.y＝f(x＋4)為偶函數(shù)

解析

∵f(2＋x)＝f(2－x),則f(x)的圖象關于直線x＝2對稱,故A正確,B錯誤； ∵函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，則f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，

∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正確； ∵T＝4且f(x)為偶函數(shù)，故y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確.ACD

12解析∵函數(shù)y＝f(x)－2為奇函數(shù)，∴函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(0，2)對稱，其圖象也關于(0，2)對稱，∴兩函數(shù)圖象交點關于(0，2)對稱，則y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.1.求解與函數(shù)的對稱性有關的問題時，應根據(jù)題目特征和對稱性的定義，求出函數(shù)的對稱軸或對稱中心.2.解決函數(shù)對稱性有關的問題，一般結合函數(shù)圖象，利用對稱性解決求值或參數(shù)問題.感悟提升BCD

C解析∵y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，∴y＝f(x)的圖象關于x＝2對稱，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(3)＝f(1)，f(π)＝f(4－π).抽象函數(shù)微點突破我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用y＝f(x)表示，抽象函數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念和性質，將函數(shù)定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、圖象集于一身，是考查函數(shù)的良好載體.解決這類問題一般采用賦值法解決.解析∵f(8)＝3，∴f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)＝3，∴f(2)＝1.(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，則f(4)＝________.解析令x＝y(tǒng)＝1，則f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3.令x＝y(tǒng)＝2，則f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7.7二、抽象函數(shù)的性質例2(1)(多選)(2022·威海調研)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＜0時，f(x)＞0，則函數(shù)f(x)滿足(

) A.f(0)＝0 B.y＝f(x)是奇函數(shù) C.f(x)在[1，2]上有最大值f(2) D.f(x－1)＞0的解集為{x|x＜1}

解析

令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0，A正確；

令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)＝－f(－x)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，B正確；

設x1＜x2，則x1－x2＜0，由題意可得f(x1－x2)＞0，即f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，∴f(x)在[1，2]上的最大值為f(1)，C錯誤； f(x－1)＞0等價于f(x－1)＞f(0)，又f(x)為R上的減函數(shù)，故x－1＜0,解得x＜1,D正確.ABD(3，4]訓練

函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；解因為對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.

(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論；解f(x)為偶函數(shù).證明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍.解依題意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函數(shù)，所以f(x－1)＜2?f(|x－1|)＜f(16).又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.所以x的取值范圍是{x|－15＜x＜17且x≠1}.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升21.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(

)A.y＝x2sinx

B.y＝x2cosx C.y＝|lnx| D.y＝2－x解析根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)且定義域關于原點對稱，A選項為奇函數(shù)；B選項為偶函數(shù)；C選項定義域為(0，＋∞)，不具有奇偶性；D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).B【A級

基礎鞏固】A.關于x軸對稱

B.關于y軸對稱C.關于坐標原點對稱

D.關于直線y＝x對稱B∴f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱.A解析因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.又因為f(2)＋f(0)＝1，CB

6.(2023·濟南模擬)設f(x)為偶函數(shù)，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x－1，則使f(x)＞0的x的取值范圍是(

) A.{x|x＞1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|x＜－1或x＞1} D.{x|1＜x＜0或x＞1}

解析

∵當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x－1單調遞增，又∵f(x)為偶函數(shù)，C故可以作出f(x)的大致圖象如圖所示.由圖象可知，若f(x)＞0，則x＜－1或x＞1.7.(2023·寧德模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0，2]時，f(x)＝x2＋ax＋b，則a＋b等于(

)A.0 B.－1 C.－2 D.2解析因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x∈[0，2]時，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x).又對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函數(shù)圖象關于直線x＝1對稱，C8.已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)無最小值的充分條件是(

)A.f(x)在(0，＋∞)內沒有最大值 B.f(x)的圖象關于點(1，0)對稱C.f(x)的圖象關于直線x＝1對稱 D.f(x)的圖象關于點(1，1)對稱D解析對于A，反例如圖所示.對于B，f(x)＝sin(πx)，f(x)為奇函數(shù)且圖象關于點(1，0)對稱，存在最小值，B錯誤；對于D，∵f(x)為奇函數(shù)且圖象關于點(1，1)對稱，∴f(x)＋f(－x)＝0，f(2＋x)＋f(－x)＝2，∴f(2＋x)－f(x)＝2，∴f(2k＋x)＝f(x)＋2k，k∈Z，又f(0)＝0，∴f(2k)＝2k，k∈Z，當k→－∞時，f(2k)＝2k→－∞，∴f(x)無最小值，D正確.9.函數(shù)f(x)＝lg|2x－1|圖象的對稱軸方程為__________.-2解析當x＞0時，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，

①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，

②①＋②得f(x＋1)＝－f(x－2).則f(x)＝－f(x－3)＝f(x－6)，∴f(x)的周期為6，∴f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝f(1)－f(0)＝f(0)－f(－1)－f(0)＝－f(－1)＝－2.11.已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的圖象關于點(0，1)對稱，且f′(1)＝4，則a－b＝________.解析因為f(x)關于點(0，1)對稱，所以f(x)＋f(－x)＝2，故f(1)＋f(－1)＝2，即1－a＋b＋1＋(－1)－a－b＋1＝2，解得a＝0，所以f(x)＝x3＋bx＋1，又因為f′(x)＝3x2＋b，所以f′(1)＝3＋b＝4，解得b＝1，所以a－b＝－1.-112.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意實數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)，若函數(shù)f(x－1)的圖象關于直線x＝1對稱，f(－1)＝2，則f(2025)＝________.

解析

由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關于直線x＝1對稱可知，函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù).又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期為8的偶函數(shù)，∴f(2025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2.2C【B級

能力提升】13.(2022·菏澤二模)已知定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調遞增，且滿足f(－1)＝0，則關于x的不等式f(x)＜sinπx的解集為(

) A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(0，1) D.(－1，0)∪(0，1)

解析

∵f(x)為(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，由此可在坐標系中畫出y＝f(x)與y＝sinπx的大致圖象，如圖所示，14.(多選)(2023·本溪統(tǒng)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)對?x∈R都有f(x＋2)＝

－f(x)，則下列判斷正確的是(

)A.f(x)是周期函數(shù)且周期為4 B.f(x)的圖象關于點(1，0)對稱C.f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱 D.f(x)在[－4，4]上至少有5個零點解析對于A，因為f(x＋2)＝－f(x)，