2021年江蘇省南通市高考數(shù)學考前練習試卷（四模）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）（2021?南通四模）已知集合/={1,2,3},2={-1,0,1,2},若A/q/且A/,

則M的個數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.6

2.（5分）（2021?南通四模）已知向量方=（sin6,l）,5=（2sinO,-l）,且〃3,則cos26?=（

）

A.0B.-C.—D.-1

22

3.（5分）（2021?南通四模）已知等比數(shù)列仞“}的公比為g,則“g<l”是"|4|>|名|"的

（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）（2021?南通四模）4位優(yōu)秀黨務工作者到3個基層單位進行百年黨史宣講，每人

宣講1場，每個基層單位至少安排1人宣講，則不同的安排方法數(shù)為（）

A.81B.72C.36D.6

5.（5分）（2021?南通四模）我國于2021年5月成功研制出目前國際上超導量子比特數(shù)量

最多的量子計算原型機“祖沖之號”，操控的超導量子比特為62個.已知1個超導量子比特

共有“|0>,|1>”2種疊加態(tài)，2個超導量子比特共有“|00>,|01>,|10>,|11>"4

種疊加態(tài)，3個超導量子比特共有“|000>,|001>,|010>,|011>,|1（）0>,|101>,|110>,

種疊加態(tài)，….只要增加1個超導量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就呈指數(shù)級增長.設(shè)

62個超導量子比特共有N種疊加態(tài)，則N是一個（）位的數(shù)（參考數(shù)據(jù)：/g2?0.3010）

A.18B.19C.62D.63

6.（5分）（2021?南通四模）在（1+2-）（*+與°的展開式中，常數(shù)項為（）

X

A.210B.252C.462D.672

22

7.（5分）（2021?南通四模）雙曲線C:1-與=1（。>0力>0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,

ab~

若C上存在點P滿足N8PO=2ZF；PO=q,則該雙曲線的離心率為（）

第1頁（共27頁）

A.G+lB.四+1C.73D.5/2

8.（5分）（2021?南通四模）在棱長為2的正方體Z8C。-481GA中，N為8C的中點.當

點〃在平面。CGA內(nèi)運動時，有四V//平面48。，則線段的最小值為（）

A.1B.—C.V2D.6

2

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，分選對的得3分，有選錯的得0分。

9.（5分）（2021?南通四模）新中國成立以來，我國共進行了7次人口普查，這7次人口普

查的城鄉(xiāng)人口數(shù)據(jù)如圖:

萬人％

100000

90000

80000

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

0

城鎮(zhèn)人口―鄉(xiāng)村人口--城滇人口比重

根據(jù)該圖數(shù)據(jù)，這7次人口普查中（）

A.城鎮(zhèn)人口數(shù)均少于鄉(xiāng)村人口數(shù)

B.鄉(xiāng)村人口數(shù)達到最高峰是第4次

C.和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第7次

D.城鎮(zhèn)人口總數(shù)逐次增加

10.（5分）（2021?南通四模）下列結(jié)論正確的是（）

A.若復數(shù)z滿足z+3=0,則z為純虛數(shù)

B.若復數(shù)z滿足則zeR

Z

C.若復數(shù)Z滿足z220,則zeR

D.若復數(shù)Z1,Z?滿足z：+z；=0,則ZI=Z2=0

11.（5分）（2021?南通四模）在A48C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且。=工,

2

第2頁（共27頁）

將A4BC分別繞邊“，b,c所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的體積分別記為匕，V?,

匕，側(cè)面積分別記為S,,Sh,Sc,貝U（）

A-Va+V^2VcB,S.+S〃》2S,

「111「111

,記+%=歡'氐+氐：氏

12.（5分）（2021?南通四模）已知定義在及上的函數(shù)/（x）=|Jl+sin2x-Jl-sin2x|,則（

A./（-x）=/（x）

TT

B./（X+y）=/（X）

C.的最大值為2

D.不等式/（x）》2cosx的解集為{x|2+2A?rWx<亥+2Avr,keZ}

44

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2021?南通四模）已知角a的終邊經(jīng)過點（-3,4）,則cos（芋+a）的值是.

14.（5分）（2021?南通四模）設(shè)曲線y=/（x）在x=0處的切線斜率為1,試寫出滿足題設(shè)

的一個/（x）=.

15.（5分）（2021?南通四模）甲、乙、丙三支足球隊進行雙循環(huán)賽（任意兩支球隊都要在

自己的主場和對方的主場各賽一場）.根據(jù)比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，負一

場得0分.比賽進行中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

已賽場數(shù)勝的場數(shù)平的場數(shù)負的場數(shù)積分

甲42117

乙30212

丙31114

根據(jù)表格中的信息可知

（1）還需進行一場比賽，整個雙循環(huán)賽全部結(jié)束;

（2）在與乙隊的比賽中，甲隊共得了一分.

16.（5分）（2021?南通四模）舒騰尺是荷蘭數(shù)學家舒騰（1615-1660）設(shè)計的一種作圖工具,

如圖，。是滑槽48的中點，短桿ON可繞。轉(zhuǎn)動，長桿A/N通過N處的錢鏈與ON連接，

第3頁（共27頁）

MN上的栓子?？裳鼗?8滑動.當點。在滑槽18內(nèi)作往復移動時，帶動點N繞。轉(zhuǎn)動,

點M也隨之而運動.記點N的運動軌跡為G，點M的運動軌跡為C?.若CW=￡W=1,

MN=3,過G上的點尸向G作切線，則切線長的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）（2021?南通四模）已知等比數(shù)列｛q｝的各項均為正數(shù)，且4=2,4+%=12.

（1）求數(shù)列組,｝的通項公式；

（2）設(shè)6“=qa3a5…。2吁1，neN*，求數(shù)列｛"｝的最大項.

18.（12分）（2021?南通四模）如圖，A,B,C為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂尸處觀測

三點的俯角分別為a,4，7.現(xiàn)測得a=15。，￡=45。，y=30。，AD=^km,EB=^km,

BC=\km.計劃沿直線NC開通一條穿山隧道，試求出隧道。E的長度.

19.（12分）（2021?南通四模）如圖，在四棱錐P-N8CD中，平面_L平面48C。，

PA=PD,AB//CD,AB1AD,AB=\,AD=2,CD=3.直線尸8與平面力8C。所成

的角為45。.

（1）求證：PBJ.BC；

（2）求二面角N-P8-C的正弦值.

20.（12分）（2021?南通四模）已知尸為拋物線C:必=4x上位于第一象限的點，尸為C的

第4頁（共27頁）

焦點，尸尸與C交于點0(異于點尸).直線/與C相切于點尸，與X軸交于點M.過點尸作

/的垂線交C于另一點N.

(1)證明：線段河產(chǎn)的中點在定直線上；

(2)若點尸的坐標為(2,272),試判斷M,Q,N三點是否共線.

21.(12分)(2021?南通四模)在醫(yī)學上，為了加快對流行性病毒的檢測速度，常采用“混

檢”的方法：隨機的將若干人的核酸樣本混在一起進行檢測，若檢測結(jié)果呈陰性，則認定該

組每份樣本均為陰性，無需再檢測；若檢測結(jié)果呈陽性，則還需對該組的每份樣本逐個重新

檢測，以確定每份樣本是否為陽性.設(shè)某流行性病毒的感染率為

(1)若p=0.005,混檢時每組10人，求每組檢測次數(shù)的期望值；

(2)混檢分組的方法有兩種：每組10人或30人.試問這兩種分組方法的優(yōu)越性與p的值

是否有關(guān)？

(參考數(shù)據(jù)：0.995i°=0.9511,0.995”=0.8604)

22.(12分)(2021?南通四模)已知函數(shù)/(x)=(f+〃ir+l)e*,m&R.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若不等式/-蛆+1+/*220恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

第5頁(共27頁)

2021年江蘇省南通市高考數(shù)學考前練習試卷（四模）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）（2021?南通四模）已知集合力={1,2,3},8={-1,0,1,2},若朋且A/qB，

則"的個數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.6

【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應用

【專題】集合思想；定義法；集合；數(shù)學運算

【分析】求出由/項/且也得到M可能為0,{1},{2},{1,2},由此

能求出"的個數(shù).

【解答】解：集合4={1,2,3},3={-1,0,1,2},

.,.始8={1,2},

:Mq4且M18,

.?.M可能為0,{1},{2},{1,2},

:.M的個數(shù)為4.

故選：C.

【點評】本題考查了集合的包含關(guān)系，交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2021?南通四模）已知向量G=（sin<9,1）,B=（2sina-l）,且則COS2<9=（

）

A.0B.-C.—D.-1

22

【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算

【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，二倍角公式，求得cos2?

的值.

【解答】解：「向量萬=（sin。,1）,A=（2sin0,-l）,Lb,

a-b=2sin2。-1=-cos26=0,

則cos26=0,

第6頁（共27頁）

故選：A.

【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，二倍角公式，屬于基

礎(chǔ)題.

3.（5分）（2021?南通四模）已知等比數(shù)列｛為｝的公比為q,則"g<1"是"|4|>|%I"的

（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件、必要條件、充要條件；等比數(shù)列的性質(zhì)

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想：綜合法；簡易邏輯：數(shù)學運算

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【解答】解：若|對|>|%I，則II，

:。尸0,qH。，：.-\<q<\,

:.q<\是|a41>1牝I的必要不充分條件,

故選：B.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)是解決

本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2021?南通四模）4位優(yōu)秀黨務工作者到3個基層單位進行百年黨史宣講，每人

宣講1場，每個基層單位至少安排1人宣講，則不同的安排方法數(shù)為（）

A.81B.72C.36D.6

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題：方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法：排列組合：數(shù)學運算

【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將4位優(yōu)秀黨務工作者分為3組，②將分好的3

組排列，安排到3個單位，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①將4位優(yōu)秀黨務工作者分為3組，有C：=6種分組方法，

②將分好的3組排列，安排到3個單位，有A；=6種情況，

??.不同的安排方法數(shù)有6x6=36種,

第7頁（共27頁）

故選：c.

【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2021?南通四模）我國于2021年5月成功研制出目前國際上超導量子比特數(shù)量

最多的量子計算原型機“祖沖之號”，操控的超導量子比特為62個.已知1個超導量子比特

共有“|0>,|1>”2種疊加態(tài)，2個超導量子比特共有“|00>,|01>,|10>,|11>"4

種疊加態(tài)，3個超導量子比特共有“|000>,|001>,1010>,|011>,1100>,1101>,1110>,

|111>”8種疊加態(tài)，….只要增加1個超導量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就呈指數(shù)級增長.設(shè)

62個超導量子比特共有N種疊加態(tài)，則N是一個（）位的數(shù)（參考數(shù)據(jù)：/g2=0.3010）

A.18B.19C.62D.63

【考點】進行簡單的合情推理

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；推理和證明；邏輯推理；數(shù)學運算

【分析】根據(jù)"個超導量子比特共有2?種疊加態(tài)，得到N=262,然后兩邊同時取常用對數(shù),

由此進行分析求解即可.

【解答】解：由題意，設(shè)"個超導量子比特共有2"種疊加態(tài)，

所以62個超導量子比特共有N=262種疊加態(tài)，

兩邊同時取常用對數(shù)，則/gN=lg262=621g2a62x0.3010=18,662,

所以N=10風662=100.662x10%

因為10°<10°662<101,

故N是一個19位數(shù).

故選：B.

【點評】本題考查了數(shù)學文化，對數(shù)的運算，考查了知識的遷移與應用，屬于中檔題.

6.（5分）（2021?南通四模）在（1+2/）（》+1嚴的展開式中，常數(shù)項為（）

X

A.210B.252C.462D.672

【考點】二項式定理

【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學運算

【分析】（l+2x2）（x+3'°的展開式中的常數(shù)項，由第一個括號中的1與（x+的展開式中

XX

的常數(shù)項之積與第一個括號中的2/與（x+V的展開式中的1項之積合并而成.

X

【解答】解：在（1+2/）。+與°的展開式中，

第8頁（共27頁）

常數(shù)項為

1xC調(diào)-(與+X3.(I)6=黨+2C；,=10x9x8x7x610X9X8X7

+2X=252+420=672

XX5x4x3x2xl4x3x2x1

故選：D.

【點評】本題考查二項式定理，考查分類與整合思想，考查運算求解能力，屬于中檔題.

22

7.（5分）（2021?南通四模）雙曲線C:1-與=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,

ab~

若C上存在點P滿足/入PO=2ZF；PO=q,則該雙曲線的離心率為（）

A.V3+1B.6+1C.73D.72

【考點】雙曲線的性質(zhì)

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算

【分析】設(shè)產(chǎn)在雙曲線的右支上，|尸片|=加，|尸乙|=〃，|百瑪|=2c,由等邊三角形的性質(zhì)

和雙曲線的定義，可得w=c+2a,〃=c,再由勾股定理和離心率的公式，解方程可得所求

值.

【解答】解：設(shè)尸在雙曲線的右支上，|PE|=m,|EE|=2c,

由紙尸0=24尸0=。，可得4尸6/+。=',

|OP|=c,為等邊三角形，即有〃=c,

由雙曲線的定義可得加-"=2a,貝!|/n=c+2a,

2

由勾股定理可得〃/+/=4c,

即（c+2a）2+c2-4c2,

化為c2-lac-2a2=0,

又e=J,可得e2-2e-2=0,

a

解得e=l+6（負的舍去）.

故選：A.

【點評】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，以及等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，考查方程思

想和運算能力，屬于中檔題.

8.（5分）（2021?南通四模）在棱長為2的正方體/BCD-44GA中，N為8c的中點.當

第9頁（共27頁）

點/在平面。CG。內(nèi)運動時，有MN//平面48。，則線段的最小值為（）

A.1B.—C.V2D.73

2

【考點】直線與平面平行

【專題】計算題：數(shù)形結(jié)合：數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離：數(shù)學運算

【分析】取CD的中點P，的中點。，連接P。、PN、QN,D?,%。，BD,A、B,

利用線面平行的判定和平行四邊形的性質(zhì)可得48//￡>C，可得PQ//&B,利用面面平行的

判定和性質(zhì)可知MN//平面NR。，可證MeP。，在AP0N中，求解PN,PQ,0N的值,

利用余弦定理可求cosNNPQ,可得NNP0=12O。，即可求解線段MN的最小值.

【解答】解：取的中點P,O0的中點。，連接尸。、PN、QN,DC,4。，BD,

AtB,

如圖所示:

因為尸、N分別為CD、8c中點，

所以PN//BD,

因為PNU平面8。<=平面4。8,

所以尸N//平面

同理，P、。分別為8、中點，

所以P0//RC,

因為4A=BC,且4R//BC,

第10頁（共27頁）

所以四邊形8co4是平行四邊形,

所以48//RC,

所以PQ//48，

因為尸0仁平面48匚平面4。8,

所以PQ//平面

又尸?！竱PN=P,P0u平面「QV,PNu平面PQN,

所以平面PQN//平面A.BD，

因為MV//平面48。,

所以MNu平面尸QV,又點M在平面DCG。內(nèi)運動，

所以點M在平面PQN和平面DCCR的交線上，即/ePQ,

在APQN中，PN=6.,PQ=；CD、=五,0N=J（何+2?=而,

PN1+PQ1-QN2

所以cos/NP0=

2PQxPN2

所以NNPQ=120。，

所以N點到PQ的最小距離d=PN=y[2,

所以線段MN的最小值為0.

故選：C.

【點評】本題主要考查了線面平行的判定和平行四邊形的性質(zhì)，考查了面面平行的判定和性

質(zhì)，考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和推理論證能力，屬于中檔

題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，分選對的得3分，有選錯的得0分。

9.（5分）（2021?南通四模）新中國成立以來，我國共進行了7次人口普查，這7次人口普

查的城鄉(xiāng)人口數(shù)據(jù)如圖：

第11頁（共27頁）

萬人

100000

90000

80000

70000

60000

40000

30000

20000

10000

0

城鎮(zhèn)人口―鄉(xiāng)村人口--城鎮(zhèn)人口比重

根據(jù)該圖數(shù)據(jù)，這7次人口普查中（）

A.城鎮(zhèn)人口數(shù)均少于鄉(xiāng)村人口數(shù)

B.鄉(xiāng)村人口數(shù)達到最高峰是第4次

C.和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第7次

D.城鎮(zhèn)人口總數(shù)逐次增加

【考點】進行簡單的合情推理

【專題】整體思想；數(shù)形結(jié)合法；推理和證明；數(shù)據(jù)分析

【分析】利用題中條形圖和折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢，對四個選項逐一分析判斷即

可.

【解答】解：由統(tǒng)計圖可知，2020年城鎮(zhèn)人口多于鄉(xiāng)村人口，故選項/錯誤;

由統(tǒng)計圖可知，鄉(xiāng)村人口數(shù)達到最高峰是第4次，故選項8正確；

從第二次開始，城鎮(zhèn)人口與前一次相比的人口比重增量分別為：

18.30-13.26=5.04,20.91-18.30=2.61,

26.44-20.91=5.53,

36.22-26.44=9.78,

49.68-36.22=13.46，

63.89-49.68=14.21,

所以城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第7次，故選項C正確：

由統(tǒng)計圖可知，城鎮(zhèn)人口總數(shù)逐次增加，故選項O正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查了條形圖和折線圖的應用，讀懂統(tǒng)計圖并能從統(tǒng)計圖得到必要的信息是解

決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

第12頁（共27頁）

10.（5分）（2021?南通四模）下列結(jié)論正確的是（）

A.若復數(shù)z滿足z+彳=0,則z為純虛數(shù)

B.若復數(shù)z滿足,亡火，則zeR

Z

C.若復數(shù)Z滿足z220,則zeR

D.若復數(shù)Z1,z?滿足z；+z；=0,則Z|=Z2=0

【考點】虛數(shù)單位i、復數(shù)；復數(shù)的運算

【專題】計算題；對應思想；試驗法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算

【分析】對于工、。選項通過舉反例排除，設(shè)2=。+加5,6eR）,通過化簡運算可判斷8、

C正確.

【解答］解：若z=0,則z+3=0,故/錯，

z=a+bi（a,beR）,則，=,",——Ze7?,

za~+b-a-+b~

故J,=0,即6=0,故zeR,故8對，

a2+b2

因z?=（a+bi）2—a2+lahi—b,0,故a'—b'》0且lab=0,

故b=0,故zeR,故C對，

若4=1,z2=i,則滿足z；+z；=0,故。錯,

故選：BC.

【點評】本題考查了復數(shù)的運算及判斷，同時考查了通過舉反例判斷命題的真假性，屬于基

礎(chǔ)題.

11.（5分）（2021?南通四模）在A48C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且。=工，

2

將A48C分別繞邊a,h,c所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的體積分別記為匕，Vh,

vc,側(cè)面積分別記為S,,S?,S,,貝!］（）

A.匕+以煞匕B.S0+S〃》2S,

?11_1nI1_1

彳+“一可比+取一氐

【考點】命題的真假判斷與應用

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學運算

第13頁（共27頁）

【分析】如圖所示，過點C作垂足為。，設(shè)C0=〃，則力=絲.分別計算出體

C

積匕，vh,匕，側(cè)面積s.，s?,通過作差即可比較出大小關(guān)系.

【解答】解：如圖所示，過點C作。，/B,垂足為。，設(shè)CZ)=/7,則〃=空，c2=a2+b2.

c

由題意可得：K=-xntrxa,V=-^a2b,V=-^(—)2xc=-7t.a,

3b3。3c，3777F

2ab

：.Va+Vh-2匕=-ab(a+h--,)^-ab(2y/^b--1^=)=-ab(2-&)疝>0,因此N

3yJa2+b23J2ab3

不正確；

11_9111_9a2+h2911

萬+甲=^^^+/'l^=ea2b2a2b2+

：.-L+-L=4>因此c正確.

WWVe

側(cè)面積分別記為Sa=兀be,Sb=rtac,Sc="ab(a+b)

2次。+%=%(“+6)S2)-2ab(a+6),因此§正確;

Sa+Sh-2SC=7i\bc+ac-

ii^iiiii二i

S：+S：7T2c2a2+b2n:2a2b2S；7v2a2b2(a+b)2

■4+1口=(“+4-(。：+〃)<0,.,Jr+±<J7因此。不正確.

S：S；S：(兀ab)2S：SiS：

故選：BC.

【點評】本題考查了圓錐的體積與側(cè)面積計算公式、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能

力與計算能力，屬于中檔題.

12.（5分）（2021?南通四模）已知定義在尺上的函數(shù)"X）=|Jl+sin2x-Jl-sin2x|,則（

A./(-x)=/(x)

第14頁（共27頁）

TT

B./(x+y)=/(x)

C./(x)的最大值為2

D.不等式/(x)》2cosx的解集為｛x|工+2氏萬令〈衛(wèi)+2Qr,k&Z]

44

【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義

【專題】函數(shù)思想；試驗法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學運算

【分析】分別取x=-x,x=x+生代入驗證判斷力與8；由周期性化簡函數(shù)解析式，求得

2

最大值判斷C;驗證x=主時不等式成立判斷。.

4

【解答】解：對于A,f(-x)=|Jl+sin(-2x)-Jl-sin(-2x)|=|Jl+sin2x-Jl-sin2x|=f(x),

故4正確；

對于8,/(x+y)=|Jl+sin(2x+萬)-Jl-sin(2x+兀)|=|Jl+sin2x-71-sin2x|=f(x),

故5正確；

對于C,由選項8可知，/(x)的周期為不妨取X￡[0,y],

f(x)=|Vl+sin2x-Jl-sin2x|=|J(sinx+cosx)2-J(sinx-cosx)2\

71

2sin元0令(—

=||sinx+cosx|-|sinx-cosx||=<4,可得/(X)E[0,y/2],故C錯誤；

c九/)

2cosx,一<xW一

42

對于。，當片上時，/(—)=V2=2cos—,即》=衛(wèi)時，不等式成立，故。錯誤.

4444

故選：AB.

【點評】本題考查函數(shù)周期性與奇偶性的應用，訓練了特殊值的恰當運用，考查分析問題與

解決問題的能力，是中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)(2021?南通四模)已知角a的終邊經(jīng)過點(-3,4),則cos(與+a)的值是_g_.

【考點】任意角的三角函數(shù)的定義

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學運算

【分析】先求出角a的終邊上的點P(-3,4)到原點的距離r的值，再利用任意角的三角函數(shù)

的定義可求sina,進而根據(jù)誘導公式即可求出結(jié)果.

第15頁(共27頁)

【解答】解：角a的終邊上的點尸（-3,4）到原點的距離為一=4萬口3=5,

由任意角的三角函數(shù)的定義得sina=上=&,

r5

所以cos（半+a）=sina=：.

故答案為：

5

【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點間的距離公式的應用，考查計算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2021?南通四模）設(shè)曲線y=/（x）在x=0處的切線斜率為1,試寫出滿足題設(shè)

的一個/（x）=_f（x）=x+x2（答案不唯一）.

【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

【專題】計算題；探究型；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；邏輯推理；數(shù)學運算

【分析】利用已知條件構(gòu)造導函數(shù)，即可得到一個函數(shù)的解析式即可.

【解答】解：曲線y=/（x）在x=0處的切線斜率為1,

可得八0）=1,不妨令f'（x）=l+2x,

所以/（X）可以為f（x）=x+x2,

故答案為：/（x）=x+Y（答案不唯一）.

【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線的斜率的求法，函數(shù)的求解，是基礎(chǔ)題.

15.（5分）（2021?南通四模）甲、乙、丙三支足球隊進行雙循環(huán)賽（任意兩支球隊都要在

自己的主場和對方的主場各賽一場）.根據(jù)比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，負一

場得0分.比賽進行中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

已賽場數(shù)勝的場數(shù)平的場數(shù)負的場數(shù)積分

甲42117

乙30212

丙31114

根據(jù)表格中的信息可知

（1）還需進行1場比賽,整個雙循環(huán)賽全部結(jié)束;

（2）在與乙隊的比賽中，甲隊共得了一分.

【考點】進行簡單的合情推理

第16頁（共27頁）

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；推理和證明；邏輯推理；數(shù)學運算

【分析】（1）由題意求出每隊需進行的比賽數(shù)，然后再通過表中的數(shù)據(jù)可知，乙和丙兩隊再

互相進行一場比賽即可；

（2）由表中的數(shù)據(jù)可知，乙隊未能勝利一場，故在乙和丙進行的唯一一場比賽中，乙和丙

兩隊只能平局，由此進行推理即可得到答案.

【解答】解：（1）由題意可知，每隊需要和除去自己外的另外兩隊各進行兩場比賽，

故每隊需進行的比賽數(shù)為2C；=4,

而甲隊已完成4場比賽，故乙和丙兩隊再互相進行一場比賽，即可完成整個雙循環(huán)賽；

（2）從表中可以得到，由于乙隊未能勝利一場，

故在乙和丙進行的唯一一場比賽中，乙和丙兩隊只能平局，

由此可以推斷出甲乙兩隊比賽，甲隊勝利一局，平局一局，

甲、丙兩隊的比賽，丙隊勝利一局，失敗一局，

故與乙隊比賽中，甲隊獲得了3xl+l=4分.

故答案為：（1）I：（2）4.

【點評】本題考查了合情推理的應用，涉及排列組合的應用，考查了邏輯推理能力，屬于中

檔題.

16.（5分）（2021?南通四模）舒騰尺是荷蘭數(shù)學家舒騰（1615-1660）設(shè)計的一種作圖工具，

如圖，。是滑槽48的中點，短桿ON可繞。轉(zhuǎn)動，長桿通過N處的銳鏈與ON連接，

MN上的栓子?？裳鼗?8滑動.當點。在滑槽48內(nèi)作往復移動時，帶動點N繞。轉(zhuǎn)動,

點A/也隨之而運動.記點N的運動軌跡為G,點41的運動軌跡為-若ON=rw=1,

MN=3,過G上的點尸向G作切線，則切線長的最大值為記

【考點】軌跡方程

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯推理；數(shù)學運算

【分析】以滑槽48所在直線為x軸，。為坐標原點建立平面直角坐標系，分別求出曲線G

第17頁（共27頁）

和的方程，利用三角換元設(shè)橢圓上任意一點的坐標，先求出0P的最大值，然后利用圓

的切線長的求解方法，即可得到答案.

【解答】解：以滑槽N8所在直線為x軸，。為坐標原點建立平面直角坐標系如圖所示，

因為ON=1,所以點N的運動軌跡G是以。為圓心，半徑為1的圓，其方程為f+/=l,

設(shè)點N（cos仇sin。），由于ON==1,則0（2cos0,0）,

由MV=3,可得而7=3而，設(shè)A/（x,y）,

所以（x-cos。，y-sin0）=3（cos0,-sin。），解得A/（4cos。,-2sin。），

則點"的運動軌跡是橢圓，其方程為￡+

設(shè)C2上的點尸（4cosa,2sin。），

則。尸2=16cos2a+4sin2cr=4+12cos2a46,

則切線長為Vop2-1^716-1=715,

所以切線長的最大值為后.

故答案為：屈.

【點評】本題考查了動點軌跡方程的求解，與桶圓有關(guān)的最值問題，圓的切線長的求解，要

掌握常見的求解軌跡的方法：直接法、定義法、代入法、消參法、交軌法等等，屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）（2021?南通四模）已知等比數(shù)列出,｝的各項均為正數(shù)，且&=2,4+%=12.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)6“=3a$〃6N*,求數(shù)列｛4｝的最大項.

【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)

【專題】計算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學運算

第18頁（共27頁）

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛。“｝的公比為g（g>0）,由％=2,%+%=12列關(guān)于％,g的方

程組，然后可求得％；

（2）寫出。的通項，然后確定其最大項.

【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為式q>0）,

仿5=2何=64[^=-486

由4=2，。4+。5=124',.，解得：，1或，1（舍去），

[qg+qg=12^=-^=--

■,???=64x（|）"-'=27-"；

”（6+8-2〃）

6428-2B5-2+74-35241125

（2）b?=a1a3a5...a2n_1=2X2X2X---X2=2=2""=2"-）,

.?.當"取3或4時，。取得最大項2'2.

【點評】本題考查等差、等比數(shù)列通項公式及求和，考查數(shù)學運算能力，屬于中檔題.

18.（12分）（2021?南通四模）如圖，A,B,C為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂尸處觀測

三點的俯角分別為a,夕，7.現(xiàn)測得a=15。，4=45。，y=30°,AD=^km,EB=；km,

BC=\km.計劃沿直線/C開通一條穿山隧道，試求出隧道。E的長度.

【考點】三角形中的幾何計算

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；數(shù)學運算

【分析】在AP8C中，正弦定理可得一!一=工里，在AP/8中，由正弦定理可得

sin15°sin30°

|/8|=3+2君，再計算|。用，即可得出答案.

【解答】解：在AP8C中，NC=7=30°,

ACPB=p-y=15°,BC=\,

18cl第I

由正弦定理可得

sinNCPBsinZC

1\PB\

即

sinl50-sin300

第19頁（共27頁）

所以|「例=------，

2sinl5°

在A/X8中，因為乙4=a=15。，NABP=0=45°,

所以44PB=I8O°-ZJ-N4BP=120°,

由正弦定理可得上"=，

sinZ.AsinNAPB

右

所以|N8|=sml20°=—2_=3+26，

2sin15°1-cos30°

所以|OE|=|1-1|-1￡81=3+-1-；=26

所以隧道。E的長度為

【點評】本題考查解三角形，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題.

19.（12分）（2021?南通四模）如圖，在四棱錐尸-Z8CO中，平面尸平面N8CO,

PA=PD,ABI/CD,AB1AD,AB=\,AD=2,CD=3.直線P8與平面工88所成

的角為45。.

（1）求證：PB1.BC;

（2）求二面角Z-PB-C的正弦值.

【考點】直線與平面垂直；二面角的平面角及求法

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算

【分析】（1）取的中點。，連結(jié)08,OC,OP,建立合適的空間直角坐標系，求出

所需點的坐標，求出直線尸8和的方向向量，通過兩個向量數(shù)量積為0,即可證明；

（2）求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面P8C和平面48的

法向量，由向量的夾角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

【解答】（1）證明：由題意，取工。的中點。，連結(jié)08,OC,OP,

因為尸/=尸。，則POLAD,又平面PAD±平面ABCD,且平面PADC平面ABCD=AD,

POu平面產(chǎn)，

故尸O_L平面ABCD,乂ABu平面ABCD,則POLAB,

以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

第20頁（共27頁）

因為P。1平面488,所以。8為尸8在平面ABCD內(nèi)的射影，

則ZPBO為直線PB與平面ABCD所成的角，

所以N尸8。=45°,又尸。_LOB,AD=2,0A=\,

所以尸0=08=&,

因為/8=1,CD=3,

所以N(l,0,0),8(1,0,0),C(-l,3,0),P(0,0,應),

則方=(1,1,-應)，況=(-2,2,0),

所以而屈=lx(-2)+lx2+(-6x0=0,

故而，前即尸81BC；

(2)解：由(1)可知,而=(1,1,-冉而=(-2,2,0),78=(0,1,0),

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

.\n-PB=0\x+y-=0

則4一，即〈，"，

n-BC=0〔-2x+2y=0

令x=1,則y=1,z=V2,

故方=(1,1,JI),

設(shè)平面PAB的法向量為玩=(a,6,c),

.[m-PB=0fa+6--Jlc=0

則｛_，即｛,

in-AB-0[b=0

令。=應，則b=0,c=\,

故而=（四,0』），

的Mi——.\n-m\205/6

所以|cos<%加>|==二~六=~7,

\n\\m\2xj33

因為＜耳麗＞W(wǎng)[0,7],

_V3

所以sin<n,in>=Jl-cos2<萬，前>=

-3'

故二面角A-PB-C的正弦值為—

3

第21頁（共27頁）

p

8

【點評】本題考查了空間向量在立體幾何的應用，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建

立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.

20.（12分）（2021?南通四模）已知產(chǎn)為拋物線C:/=4x上位于第一象限的點，尸為C的

焦點，PF與C交于點、Q（異于點P）.直線/與C相切于點尸，與x軸交于點過點尸作

/的垂線交C于另一點N.

（1）