數(shù)學(xué)分析第九章教案第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三§3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分三、某些無理函數(shù)的不定積分二、三角函數(shù)有理式的不定積分第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三有理函數(shù)是由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù),一、有理函數(shù)的不定積分m>n時(shí)稱為真分式,m≤n

時(shí)稱為假分式.其一般形式為:第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三假分式相除多項(xiàng)式+真分式由代數(shù)知識(shí)，真分式必可表示成若干個(gè)部分分式之和．下列分式稱為部分分式：第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三部分分式的積分第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三令t=x+p/2,得其中第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三當(dāng)k=1時(shí),上式右邊兩個(gè)積分分別為第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三當(dāng)k

2時(shí),上式右邊第一個(gè)積分為對(duì)第二個(gè)積分，記第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三用分部積分法導(dǎo)出求Ik的遞推公式：第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三整理得重復(fù)使用上述公式，最終歸為計(jì)算I1．下面討論將真分式化為部分分式的方法．分解真分式為部分分式的步驟如下：第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三第一步：對(duì)分母Q(x)在實(shí)數(shù)系內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：其中均為正整數(shù)，而且第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三第二步：根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分式：對(duì)形如的因式，它所對(duì)應(yīng)的部分分式是對(duì)形如的因式，它所對(duì)應(yīng)的部分分式是第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例如，若Q(x)分解因式為則相應(yīng)的部分分式分解為第三步：確定待定系數(shù)．第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三確定待定系數(shù)的方法一：待定系數(shù)法將R(x)的所有部分分式通分相加，所得分式的分母仍為Q(x)，分子與原分子P(x)相等.再根據(jù)兩個(gè)多項(xiàng)式相等時(shí)同次冪系數(shù)必定相等的原則,得到待定系數(shù)所滿足的線性方程組,由此解出待定系數(shù).

分式分解.例1作部分第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三解因?yàn)榈谑?，共五十二頁，編輯?023年，星期三比較同次項(xiàng)系數(shù),得到線性方程組解得于是完成了R(x)的部分分式分解:第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三確定待定系數(shù)的方法二：賦值法取使Q(x)=0的根代入下式求解系數(shù)，若系數(shù)未求完，可再令x為其他特殊值，直到求出所有系數(shù)。以例1為例說明：令x=2和x=-2代入上式，有第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例

將下列分式分解為部分分式：

解去分母得令x=0，得A=1；令x=1，得C=1；比較兩端x2的系數(shù)，得A+B=0，從而B=1．第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三所以此題也可如下進(jìn)行（拼湊）：根據(jù)分母的形式，將分子湊為第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三說明:

將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,

因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.

例2求解第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三于是其中第一個(gè)積分第二個(gè)積分第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三p.186例9（或用遞推公式）：第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三于是第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三解由例1,例其中第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三于是第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三設(shè)表示三角函數(shù)有理式,則三角函數(shù)有理式的不定積分通過變換（萬能變換）總可以化為t的有理函數(shù)的積分．二、三角函數(shù)有理式的不定積分第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三這是因?yàn)樗缘诙隧?，共五十二頁，編輯?023年，星期三例3

求

解

令則第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例解第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三對(duì)三角函數(shù)有理式的不定積分,在某些條件下還可選用如下三種變換,使不定積分簡(jiǎn)化.第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例解第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例4解第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三令令1．令三、某些無理根式的不定積分第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例如，積分可令積分

可令第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例5求解令則有其中第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三2．方法1由于則作相應(yīng)的變換，上述積分必可轉(zhuǎn)化為以下三種積分之一：再作相應(yīng)的三角變換，它們都可轉(zhuǎn)化為三角有理式的不定積分．第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三方法2（歐拉變換）(1)若a>0,令(2)若c>0,令(3)若有兩個(gè)不同實(shí)根x1,x2,令第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例6解法1:第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三由于第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三解法2令則第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三因此第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三但實(shí)質(zhì)上只相差某一常數(shù)而已.注1

由以上兩種方法所得的結(jié)果,形式雖不相同注2

對(duì)于本題來說,解法2顯然比解法1簡(jiǎn)捷.在解法2中也可作變換會(huì)產(chǎn)生相同的效果.第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三注

雖然初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù),從而它們都存在原函數(shù),但并非初等函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)．例如都不是初等函數(shù),因此都不可能用我們介紹的方法把它們的原函數(shù)求出來．第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例解從而有第四十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三第