習(xí)題答案第一章題1-1圖題1-1圖（1）求軌道方程，并畫(huà)出軌跡圖；（2）求到之間的，和；（本題中，的單位是，的單位是，的單位為。）[答案]（1），（2），，.（1）由質(zhì)點(diǎn)在水平方向、豎直方向的位置-時(shí)間函數(shù)關(guān)系：消去，得軌道方程為軌跡為拋物線，如題1-1圖所示。（2）將質(zhì)點(diǎn)的位矢分量式：代入位矢，可得質(zhì)點(diǎn)的位置矢量。代入時(shí)間參量，得質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的位置。由質(zhì)點(diǎn)位移和平均速度的定義，可求得1-2如圖1-2所示，一足球運(yùn)動(dòng)員在正對(duì)球門(mén)前處以的初速率罰任意球，已知球門(mén)高為。若要在垂直于球門(mén)豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門(mén)，問(wèn)他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球（足球可視為質(zhì)點(diǎn)）？題1-2圖[答案]，.題1-2圖以踢球點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)取平面坐標(biāo)系。按高中物理，設(shè)斜拋小球初速度，斜拋仰角，寫(xiě)出小球水平方向、豎直方向的位置-時(shí)間函數(shù)關(guān)系：（1）（2）消去得足球的軌跡方程依題意以，及代入后，可解得。1-3一質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在某一時(shí)刻它的位置矢量，經(jīng)后，其位移。求：（1）此時(shí)刻的位矢；（2）在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度。[答案]（1），（2）.（1）設(shè)此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為，由質(zhì)點(diǎn)位移的定義，可得質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)刻的位置矢量（2）將時(shí)間間隔代入質(zhì)點(diǎn)的平均速度公式，可得質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的平均速度。1-4質(zhì)點(diǎn)在半徑為的圓周上以角速度（，為周期）做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，試用笛卡兒坐標(biāo)系表示其運(yùn)動(dòng)方程的速度及加速度。[答案]，.取如圖所示笛卡爾坐標(biāo)系，、分別表示軌道的切向與法向單位矢量。令笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)與圓心重合。設(shè)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為，。質(zhì)點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，則在笛卡爾坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為將以上兩式代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：可得這就是笛卡爾坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的矢量式。根據(jù)，將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)求導(dǎo)，則速度在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為于是繼續(xù)求導(dǎo)，得加速度在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為故1-5當(dāng)物體以較低速度通過(guò)流體（氣體或液體）時(shí)，假定粘滯力可以表示成，試求：（1）物體豎直自由下落后的極限速度（極大速度）；（2）在物體豎直自由下落過(guò)程中速度隨時(shí)間的變化規(guī)律；（3）在物體豎直自由下落過(guò)程中位置隨時(shí)間的變化規(guī)律。[答案]（1），（2），（3）.物體在流體中自由沉降時(shí)受到重力、浮力和粘滯力的作用，如圖所示，動(dòng)力學(xué)方程為（1）取豎直向下為正方向，釋放點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出式（1）的分量形式為（2）（1）極限速度就是速度不會(huì)再發(fā)生變化的極大速度，也就是在沉降中合力等于零時(shí)的速度。在物體剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，因速度，作用于物體上的合力最大，物體加速度也最大，它使物體的速度增加。隨著的增加，阻力在減小，合力在減小，加速度也在減小，直到增加到時(shí)，合力減小為零，物體的速度也就達(dá)到了極限值，這就是極限速度。此時(shí)（3）所以（4）（2）求物體下落時(shí)，速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。由式（4）求出代入式（2）有（5）分離變量后，得（6）根據(jù)初始條件，兩邊求定積分得從而（7）（3）求物體自由下落時(shí)的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)式（7）直接積分求得。題1-6圖1-6如圖1-6所示，有一高速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子（）沿豎直方向向上運(yùn)動(dòng)，初速為，從某時(shí)刻開(kāi)始，粒子受到沿水平方向向右、隨時(shí)間成正比增大的電場(chǎng)力的作用，是已知的常量，粒子質(zhì)量為。試求粒子的運(yùn)動(dòng)軌道。題1-6圖[答案].將帶電粒子看作質(zhì)點(diǎn)，對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的微粒，可不計(jì)它受到的重力，粒子在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程為力是隨時(shí)間變化的力，粒子的加速度也隨時(shí)間變化，要進(jìn)一步從加速度求速度和位移，就必須采用積分方法。用代入動(dòng)力學(xué)方程，整理后得按，初速度，兩邊取定積分得再用代入上式，整理后得選時(shí)粒子所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用初始條件，對(duì)上式兩邊取定積分就可求出由于不計(jì)高速運(yùn)動(dòng)微粒的重力，利用，最后求得粒子的軌道方程：題1-7圖1-7如圖1-7所示，質(zhì)量為的小球在向心力作用下，在水平面內(nèi)作半徑為的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，速率為，自點(diǎn)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的半周內(nèi)，試問(wèn)：題1-7圖（1）小球動(dòng)量變化多少？（2）向心力的平均值是多大？方向如何？[答案]（1），方向；（2）.（1）以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析它在水平面內(nèi)只受向心力，建立如題1-7圖所示的坐標(biāo)系，則、二態(tài)的動(dòng)量及其變化量可表示為分量式，即上式表明，動(dòng)量變化不為零，而是大小為，其方向沿軸反方向。（2）根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理，可表示為平均力的形式，即故向心力的平均值為1-8力作用在質(zhì)量的物體上，使物體質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求：頭內(nèi)該力的沖量；末物體的速度。[答案]，.(1)根據(jù)沖量定義，計(jì)算該力的沖量，變力不能直接從的積分號(hào)中提出。(2)再由質(zhì)點(diǎn)初、末狀態(tài)動(dòng)量、，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有(因)可得WM(a)(b)題1-9圖1-9繩的上端固定于點(diǎn)（見(jiàn)圖1-9（a）），下端掛一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)以速率在水平面內(nèi)作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。求作用在質(zhì)點(diǎn)上的重力、拉力及合力在半個(gè)周期（圖中的點(diǎn)至點(diǎn)）中的沖量。WM(a)(b)題1-9圖[答案]，，.質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，半個(gè)周期為由于重力是個(gè)恒力，在計(jì)算沖量時(shí)可以從積分號(hào)內(nèi)提出，因此重力的沖量它的大小為，方向與相同，即垂直向下。繩的拉力以及合力則與重力不同。盡管他們的大小是常量（，），但方向隨時(shí)在變，因此，和都是變力，不能再?gòu)姆e分號(hào)中提出，即,為了求和的沖量，先將拉力分解為垂直分量和圓平面上的分量，即其中（即）（即）則的沖量為再如題1-9圖（b）所示，在圓平面上取直角坐標(biāo)系，令與軸的夾角為，則又所以于是，的沖量為由于，所以最后，將和合成，得。1-10在軸線上運(yùn)動(dòng)的物體，速度為，作用力大小為，并沿軸方向，試求在至期間，力對(duì)物體所做的功。[答案].變力做功，根據(jù)功的定義求解。力不能直接從積分號(hào)中提出，要先積分后求解。題1-11圖1-11如圖1-11所示，一物體平放在傾角為的長(zhǎng)斜面上，斜面與物體間的摩擦因數(shù)為，當(dāng)我們沿斜面向上給物體以沖量，使物體在點(diǎn)產(chǎn)生初速度時(shí)，問(wèn)物體是否可能返回點(diǎn)？如果可能的話，返回至點(diǎn)時(shí)的速度等于多少？題1-11圖[答案]能，.物體從最高點(diǎn)的靜止?fàn)顟B(tài)能夠下滑的條件是：大于。因物體在沿斜面上升過(guò)程中，重力和摩擦力都做負(fù)功，正壓力恒不做功，所以，物體的動(dòng)能一定是逐漸減少，直至為零，這時(shí)速度也為零，物體達(dá)到最高點(diǎn)。在這之后，它從最高點(diǎn)的靜止?fàn)顟B(tài)能否下滑，取決于斜面的傾角，只有大于時(shí)，物體才能下滑。即大于，作用于物體的合力沿斜面向下。在下滑過(guò)程中，合力的功大于零，即物體的動(dòng)能將會(huì)由零逐漸增加，物體的速度越來(lái)越大，物體也就一定能回到出發(fā)點(diǎn)。設(shè)物體可以上升到最高點(diǎn)，，根據(jù)動(dòng)能定理，從到有解得。物體從至最高點(diǎn)，再回至點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)路徑為（它與摩擦力的功有關(guān)），位移為零（它說(shuō)明重力所做總功為零）。根據(jù)動(dòng)能定理，有將代入上式，便可解得物體返至點(diǎn)時(shí)的速率為顯然，由于物體在往返運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有摩擦力做負(fù)功，所以總動(dòng)能一定減少，。A題1-12A題1-12圖[答案]，.一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)由點(diǎn)自由下落時(shí)，若以為參考點(diǎn)，釋放時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，圖1-13并且不計(jì)空氣阻力，則質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的角動(dòng)量為若以為參考點(diǎn)，釋放時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，并且不計(jì)空氣阻力，則質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的角動(dòng)量為。題1-13圖習(xí)題1-13如圖1-13所示，求作用于圓錐擺質(zhì)點(diǎn)題1-13圖[答案]如題1-13圖所示，質(zhì)點(diǎn)所受重力的大小為，拉力大小，合力大小，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)圓錐擺懸點(diǎn)的矢徑為，相對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)中心的矢徑為，設(shè)，可按式計(jì)算重力、拉力及合力分別以點(diǎn)及點(diǎn)為參考點(diǎn)所得力矩。力矩參考點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)重力矩大?。悍较颍捍笮。悍较颍豪?jù)大?。悍较颍汉狭卮笮。悍较颍毫胤较虼怪奔埫嫦蚶飼r(shí)以表示，垂直紙面向外以表示。題1-14圖1-14在變半徑旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中，如圖1-14所示，一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)系在繩子的一端，繩的另一端穿過(guò)水平光滑平板的小孔后下垂，用手握住。開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)以速率做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后用手慢慢地向下拉繩子，當(dāng)圓半徑由開(kāi)始時(shí)的變至?xí)r，小球運(yùn)動(dòng)速率為多少？題1-14圖[答案].在手緩慢下移過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)受到的是一個(gè)有心力，此力對(duì)小孔的力矩為零，故質(zhì)點(diǎn)對(duì)小孔的角動(dòng)量守恒，即。1-15列出你在高中物理中學(xué)習(xí)過(guò)的所有理想模型。[答案]略.第二章題2-1圖2-1一質(zhì)量為、速率為的鋼球，以與鋼板法線成角的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度反彈。設(shè)鋼球與鋼板的碰撞時(shí)間為，求在此時(shí)間內(nèi)鋼板受到的平均沖力。題2-1圖[答案]，方向沿軸的負(fù)方向.設(shè)球受到鋼板作用的平均沖力為。如題2-1圖所示選取坐標(biāo)，由題意可知，，則有，，運(yùn)用動(dòng)量定理，可得因此，球受到鋼板作用的平均沖力設(shè)為球?qū)︿摪遄饔玫钠骄鶝_力，由牛頓第三定律有，因而有a)b)題2-2圖2-2用棒打擊質(zhì)量、速率的水平飛來(lái)的球，球飛到豎直上方的高度。求棒給予球的沖量多大？設(shè)球與棒的接觸時(shí)間為，求球受到的平均沖力。a)b)題2-2圖[答案]，方向如圖2-2所示；，方向與相同.選球作為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)量定理，棒給予球的沖量為則，方向如題2-2圖所示。又由沖量定義，可得球受到的平均沖力為所以。題2-3圖2-3討論兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心。設(shè)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，他們的質(zhì)量分別為、，且并相距為，題2-3圖[答案]以點(diǎn)為參考點(diǎn)，，以點(diǎn)為參考點(diǎn)，。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心公式求解。如題2-3圖所示，當(dāng)以圖中所示點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)心位矢為或這表明，質(zhì)心位于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)連線的中點(diǎn)。當(dāng)以圖中所示點(diǎn)為參考原點(diǎn)，并令兩質(zhì)點(diǎn)連線方向?yàn)榉较驎r(shí)，質(zhì)心位矢為這說(shuō)明，質(zhì)心還是位于兩質(zhì)點(diǎn)連線的中點(diǎn)。2-4一枚炮彈在它飛行的最高點(diǎn)炸裂成質(zhì)量相等的兩部分，每部分的質(zhì)量都為，一部分在炸裂后豎直下落，另一部分則繼續(xù)向前飛行。求這兩部分的著地點(diǎn)以及質(zhì)心的著地點(diǎn)，已知炮彈發(fā)射時(shí)的初速度為，發(fā)射角為。（忽略空氣阻力）[答案]，，.炮彈飛行按拋體問(wèn)題處理，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心公式求解。以炮彈發(fā)射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2-4所示坐標(biāo)系。如果炮彈沒(méi)有炸裂，則它的著地點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是它的射程，即（1）當(dāng)炮彈在最高處炸裂后，一部分豎直下落，因?yàn)樽罡唿c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，豎直下落部分的著地點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（2）炮彈炸裂時(shí)在內(nèi)力的作用下兩部分被分開(kāi)，但圖2-5炮彈水平方向受合外力為零，只在豎直方向受到重力的作用，所以質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)仍和未炸裂的炮彈一樣，它著地點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍是，即（3）設(shè)第二部分炮彈著地點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則根據(jù)質(zhì)心的定義，有由此可得。題2-5圖SHAPE2-5如圖2-5所示，有兩部裝運(yùn)沙子的卡車和沿水平面在同一方向運(yùn)動(dòng)?？ㄜ嚨乃俾蕿?，從卡車上以的速率將沙子抽到卡車上。沙子由管尾部垂直下落，在時(shí)刻，卡車的質(zhì)量為，速度為。求時(shí)刻卡車的瞬時(shí)加速度（不計(jì)地面摩擦）。題2-5圖[答案].以卡車、卡車和時(shí)刻被抽的沙子組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象。設(shè)它們的質(zhì)量分別為,。由于不計(jì)地面摩擦，系統(tǒng)水平方向受力為零。水平方向動(dòng)量守恒。時(shí)刻系統(tǒng)總動(dòng)量為時(shí)刻系統(tǒng)總動(dòng)量為由水平方向動(dòng)量守恒，得整理，得兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得所以。2-6有一個(gè)三級(jí)火箭，第一級(jí)火箭脫落前的質(zhì)量比為，第二級(jí)火箭剛發(fā)動(dòng)時(shí)火箭的質(zhì)量與第二級(jí)火箭耗盡時(shí)火箭的質(zhì)量比為，第三級(jí)火箭剛點(diǎn)燃時(shí)火箭的質(zhì)量與燃料耗盡時(shí)火箭的質(zhì)量比為。若取，各級(jí)火箭的噴射速率都為，不計(jì)重力影響，求該火箭最后達(dá)到的速率。[答案].火箭在自由空間飛行，可認(rèn)為它不受引力或空氣阻力等任何外力的影響。如圖2-7所示，火箭在飛行時(shí)，將某時(shí)刻火箭的總質(zhì)量分為兩部分，一部分是火箭主體質(zhì)量，另一部分是將被噴射的物質(zhì)質(zhì)量。在時(shí)刻，尚未被噴出，火箭總質(zhì)量相對(duì)地面的速度為，動(dòng)量為（沿空間坐標(biāo)軸正向）；在時(shí)刻，火箭噴出了質(zhì)量為的氣體，其噴射速度相對(duì)于箭體為，此時(shí)箭體相對(duì)于地面的飛行速度為。將箭體和噴射物質(zhì)視為一個(gè)系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，系統(tǒng)在方向分量守恒，則有令，代入上式，整理得圖2-7即積分得火箭速度公式根據(jù)火箭速度公式，各級(jí)火箭燃料耗盡時(shí)達(dá)到的速度分別為火箭主體最后達(dá)到的速度為。題2-7圖2-7如圖2-7所示，一根長(zhǎng)為的均質(zhì)鏈條，放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，其一端下垂長(zhǎng)度為，如果鏈條自靜止開(kāi)始向下滑動(dòng)，試求鏈條剛剛滑離桌面時(shí)的速率？題2-7圖[答案].非保守力做功問(wèn)題，應(yīng)用功能原理求解。由于鏈條下滑時(shí)摩擦力為變力，當(dāng)下垂的長(zhǎng)度為時(shí)，摩擦力大小為式中為鏈條總質(zhì)量。故摩擦力做功為(1)又由功能原理可得(2)聯(lián)立(1)、(2)兩式可得。2-8倔強(qiáng)系數(shù)為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體。先用手托住物體，使彈簧不伸長(zhǎng)。手突然與物體分開(kāi)，使物體快速下落，問(wèn)彈簧的最大伸長(zhǎng)和彈性力是多少？在（1）中，物體經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的速度是多少？[答案]（1），；（2）.（1）物體快速下落時(shí)，由于只受重力與彈性力作用，故機(jī)械能守恒。取物體開(kāi)始下落位置為勢(shì)能零面。設(shè)到達(dá)最大位置時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有則此時(shí)彈性力大小為（2）設(shè)物體經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的速度大小為，由機(jī)械能守恒律有（1）當(dāng)物體平衡時(shí)，所受的重力與彈簧的彈力相等，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律（2）聯(lián)立（1）、（2），可得。2-9舉例說(shuō)明什情況下采用“隔離體法”，什么情況下采用“整體方法”？[答案]略.第三章3-1一個(gè)勻質(zhì)圓盤(pán)，由靜止開(kāi)始，以恒定角加速度繞過(guò)中心而垂直于盤(pán)面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在某一時(shí)刻，轉(zhuǎn)速為，再轉(zhuǎn)60轉(zhuǎn)后，轉(zhuǎn)速為。試計(jì)算：（1）圓盤(pán)的角加速度；（2）由靜止到達(dá)轉(zhuǎn)速為所需的時(shí)間；（3）由靜止到轉(zhuǎn)速為時(shí)，圓盤(pán)所轉(zhuǎn)的圈數(shù)。[答案]（1）；（2）；（3）.（1）轉(zhuǎn)動(dòng)角速度由變?yōu)槠陂g的角位移，則角加速度可用求得。（2）從靜止到轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為所需的時(shí)間（3）時(shí)間內(nèi)圓盤(pán)所轉(zhuǎn)的圈數(shù)為。題3-2圖3-2如圖3-2所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)題3-2圖[答案].如圖3-2所示，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式，對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)有。題3-3圖3-3如圖3-3所示，與兩飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接，輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，開(kāi)始時(shí)輪靜止，輪以的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后使與連接，因而輪得到加速而輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于為止。求：(1)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2)在嚙合過(guò)程中損失的機(jī)械能。題3-3圖[答案]（1）；（2）.(1)取兩飛輪為系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，有則輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)系統(tǒng)在嚙合過(guò)程中機(jī)械能的變化為。（a）(b)題3-4圖3-4如圖3-4(a)所示，質(zhì)量的實(shí)心圓柱體，其半徑為，可以繞其固定水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，阻力忽略不計(jì)。一條輕的柔繩繞在圓柱體上，其另一端系一個(gè)質(zhì)量為的物體，求：（a）(b)題3-4圖物體由靜止開(kāi)始下降后的距離。繩的張力。[答案]（1）；（2）.（1）分別作兩物體的的受力分析圖[3.4(b)]。對(duì)實(shí)心圓柱體而言，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得(1)對(duì)懸掛物體而言，依據(jù)牛頓定律，有(2)且，又由角量與線量之間的關(guān)系，得(3)解上述方程組，可得物體下落的加速度在時(shí)刻，下落的距離為（2）由式(2)可得繩中的張力為。題3-5圖3-5一塊長(zhǎng)為,質(zhì)量為的均質(zhì)薄木板，可繞水平軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)木板靜止在平衡位置時(shí)，有一質(zhì)量為的子彈以速度垂直擊中它的點(diǎn)，離轉(zhuǎn)軸的距離為，如圖3-5所示。子彈穿出木板后速度為，試求木板獲得的角速度等于多少？題3-5圖[答案].先以木板為研究對(duì)象。在子彈穿射過(guò)程中，木板受子彈的沖力、重力和軸的支持力，此三力中只有沖力對(duì)軸產(chǎn)生力矩。如果面對(duì)軸觀察，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，則外力矩為，根據(jù)角動(dòng)量定理，可列得木板在該過(guò)程中的下述等式，即式中，。于是，只要知道木板所受沖量，即可由上式解得。為求該沖量，再以子彈為研究對(duì)象。動(dòng)量定理可知它受到的沖量為（以子彈的速度方向?yàn)檎较颍┞?lián)立以上兩式可算出以上是應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理與剛體的角動(dòng)量定理聯(lián)立求解的。取子彈與木板這一物體系為研究對(duì)象。在子彈穿射過(guò)程中，外力只有重力（、）和軸的支持力，合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。對(duì)于初、末兩態(tài)可列出下面的守恒式，即由此可解得。3-6登山運(yùn)動(dòng)員所用的尼龍繩，當(dāng)爬山者的體重為時(shí)，繩伸長(zhǎng)了，如果繩的原長(zhǎng)為，直徑為，問(wèn)繩的彈性模量是多少？[答案].繩中的張力與爬山者所受重力相等。由，得楊氏模量。3-7一質(zhì)量為的重物系于原長(zhǎng)為的鋼絲一端。使重物在豎直平面內(nèi)作圓周轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)重物轉(zhuǎn)到圓周最低點(diǎn)時(shí)其角速度為，鋼絲的橫截面積為。計(jì)算當(dāng)重物經(jīng)過(guò)路線的最低點(diǎn)時(shí)鋼絲的伸長(zhǎng)量（此題值查P81表3-2）。[答案].設(shè)在最低點(diǎn)重物受鋼絲拉力為，則即鋼絲所受的力與大小相等，故鋼絲伸長(zhǎng)量為。3-8一根鋼絲拴住圓木后由拖拉機(jī)拉走，鋼絲直徑為，拖拉機(jī)到圓木的距離為，拉走圓木需要的力，設(shè)鋼絲的，求：鋼絲中的應(yīng)力。鋼絲中的應(yīng)變。（3）拉圓木時(shí)鋼絲的伸長(zhǎng)量。[答案]（1）；（2）；（3）.（1）由正應(yīng)力的定義式，（2）由式，可得（3）由式，可得。題3-9圖3-9一鋼桿的橫截面積為，所受軸向外力如圖3-9所示：，，，，試計(jì)算、，、和、之間的正應(yīng)力。題3-9圖[答案]，，.正應(yīng)力是垂直作用在單位面積上的力。、之間的正應(yīng)力為、之間的正應(yīng)力為、之間的正應(yīng)力為。3-10有一個(gè)水平放置的針筒，內(nèi)徑為，針孔內(nèi)徑為。當(dāng)用力推活塞時(shí)，可使藥水從針孔噴出，設(shè)藥水密度為，求藥水噴出的速度。[答案].設(shè)針筒中藥水流速為，藥水噴出的速率為。針筒的截面積為，針頭的截面積為，當(dāng)用力推活塞時(shí)，針筒中軸線上的壓強(qiáng)為。當(dāng)針?biāo)椒胖脮r(shí)，藥水滿足伯努力方程：由流體的連續(xù)性原理得近似取為一個(gè)大氣壓，即，可得。舉例說(shuō)明你在學(xué)習(xí)物理過(guò)程中如何運(yùn)用“類比法”？[答案]略.第四章4-1計(jì)算均勻帶電圓盤(pán)軸線上任一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。設(shè)圓盤(pán)半徑為，面電荷密度為，點(diǎn)到圓盤(pán)中心的距離為。解法一：在帶電圓盤(pán)上任取一面元，如圖所示，面元所帶電荷量，該電荷元在場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為將分解為與軸平行及與軸垂直的分量和，它們分別是，由電荷分布的軸對(duì)稱性可知，各電荷元的將互相抵消，又因，所以圖中點(diǎn)沿軸的方向。解法二：取任一半徑為，寬為的細(xì)圓環(huán)，如圖c）中陰影所示，該環(huán)所帶的電荷量為。此環(huán)在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為，將上式積分便得點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為（a）（b）（c）4-2求無(wú)限大均勻帶電平面外的電場(chǎng)分布。設(shè)面電荷密度為。解：我們作一閉合柱面（高斯面），如圖所示，使其側(cè)面垂直于帶電平面，兩底面與帶電平面平行，底面的面積以及柱面所截帶電平面的面積都是。這樣，通過(guò)側(cè)面的電通量為零，通過(guò)兩底面的電通量均為。因此，通過(guò)整個(gè)閉合柱面的電通量就是。根據(jù)高斯定理，有，于是4-3如題4-3圖所示，球形金屬腔帶電荷量，內(nèi)半徑為，外半徑為，腔內(nèi)距球心為處有一點(diǎn)電荷，求球心處的電勢(shì)。解：導(dǎo)體球達(dá)到靜電平衡時(shí)，內(nèi)表面感應(yīng)電荷，外表面感應(yīng)電荷，根據(jù)電勢(shì)疊加，點(diǎn)的電勢(shì)等于帶電量為的點(diǎn)電荷、帶電量分別為、題4-3圖的兩個(gè)球殼三者在空間產(chǎn)生電勢(shì)的疊加。根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)公式，點(diǎn)電荷在點(diǎn)的電勢(shì)；電荷任意分布的帶電球殼在球心的電勢(shì)，所以內(nèi)表面感應(yīng)電荷在點(diǎn)的電勢(shì)，外表面電荷在點(diǎn)的電勢(shì)，球心的電勢(shì)為三者之和。4-4如題4-4圖所示，在真空中，將半徑為的金屬球接地，與球心相距為處放置一點(diǎn)電荷，不計(jì)接地導(dǎo)線上電荷的影響。求金屬球表面上的感應(yīng)電荷總量。題4-4圖解：金屬球上任一點(diǎn)的電勢(shì)等于點(diǎn)電荷和金屬球表面感應(yīng)電荷在球心激發(fā)的電勢(shì)之和，金屬球表面感應(yīng)電荷在球心激發(fā)的電勢(shì)，而接地金屬球的電勢(shì)，由此可解出感應(yīng)電荷，。4-5如題4-5圖所示，空間有兩個(gè)球，球心間的距離小于兩球半徑之和。今使今使一球未重疊區(qū)域均勻充滿體密度為的電荷，另一球未重疊區(qū)域均勻充滿體密度為的電荷，重疊區(qū)題4-5圖域不帶電，求重疊區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：設(shè)為大球中心到點(diǎn)的位矢，為小球中心到點(diǎn)的位矢。帶電球體內(nèi)部一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為，大球在點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，小球在點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)4-6如題4-6圖所示，點(diǎn)電荷各帶電荷量，置于一正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，各點(diǎn)距正方形中心點(diǎn)均為，試求：（1）點(diǎn)的電勢(shì)。（2）將試驗(yàn)電荷從無(wú)窮遠(yuǎn)移到點(diǎn)，電場(chǎng)力做功多少？題4-6圖（3）整個(gè)系統(tǒng)的電勢(shì)能改變了多少？解：直接帶點(diǎn)電荷電勢(shì)公式，得，根據(jù)兩點(diǎn)電勢(shì)和功的關(guān)系式，計(jì)算功，電場(chǎng)力做負(fù)功電勢(shì)能增加，所以。4-7舉例說(shuō)明“元分析法”在力學(xué)中的應(yīng)用。[答案]略第五章5-1在一個(gè)顯像管的電子束中，電子有的能量，這個(gè)顯像管安放的位置使電子水平地由南向北運(yùn)動(dòng)，地球磁場(chǎng)的垂直分量，并且方向向下。求題5-1圖（1）電子束偏轉(zhuǎn)方向電子束在顯像管內(nèi)通過(guò)到達(dá)屏面時(shí)光點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)間距。解：根據(jù)電子所受的洛侖茲力，可以判定的方向，即電子束偏轉(zhuǎn)方向。偏向東。電子的動(dòng)能，因?yàn)椋?，然后利用公式，求，最后利用幾何關(guān)系，求得。5-2某一粒子的質(zhì)量為，帶有的電荷。這一粒子獲得一初始水平速度，若利用磁場(chǎng)使這粒子仍沿水平方向運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)加的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向各如何？解：粒子仍沿水平方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，它受的重力應(yīng)被磁力平衡，即由此得題5-3圖此磁場(chǎng)方向應(yīng)垂直于速度，水平向左。5-3一種質(zhì)譜儀的構(gòu)造原理如題5-3圖所示。離子源所產(chǎn)生的離子經(jīng)過(guò)窄縫和之間的加速電場(chǎng)加速后射入速度選擇器，通過(guò)速度選擇器的離子進(jìn)入均勻磁場(chǎng)后，它們將沿著半圓周運(yùn)動(dòng)而到達(dá)記錄照相底片上形成譜線。如果測(cè)得譜線到入口處的距離為，試證明與此譜線相應(yīng)的離子質(zhì)量為。證明：通過(guò)濾速器的離子速率為記錄的離子譜線到入口處的距離恰好等于離子圓周運(yùn)動(dòng)的直徑。于是，可得得證。5-4如題5-4圖所示，一根長(zhǎng)直導(dǎo)線載有電流，矩形回路載有電流。試計(jì)算作用在回路上的合力，已知，，。解：線圈所受安培力為左右兩邊安培力和之矢量和題5-4圖的大小為的大小為故合力的大小為合力的方向朝左，指向直導(dǎo)線。5-5如題5-5圖所示的電纜，由半徑為的導(dǎo)體圓柱和同軸的內(nèi)外半徑分別為和的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成。電流從導(dǎo)體圓柱流入，從導(dǎo)體圓筒流出，設(shè)電流都是均勻地分布在導(dǎo)體的橫截面上，以表示到軸線的垂直距離。試求從到的范圍內(nèi)各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。題5-5圖解：由對(duì)稱性可知：磁力線是以圓柱軸線為圓心的一組同心圓，作一半徑為與磁力線同心的回路，由安培環(huán)路定理則有：若，則若，則若，則若，則5-6如題5-6圖所示，電流由長(zhǎng)直導(dǎo)線1沿半徑方向經(jīng)點(diǎn)流入一電阻均勻分布的圓環(huán)，再由點(diǎn)沿半徑方向從圓環(huán)流出，經(jīng)長(zhǎng)直導(dǎo)線2返回電源。已知直導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度為，圓環(huán)的半徑為，且1，2兩直導(dǎo)線的夾角，則圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為多少？題5-6圖線段1和2上，處處滿足，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，所以該兩段對(duì)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零；任意圓弧載流導(dǎo)線在圓心激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，其中為圓弧載流導(dǎo)線所張的圓心角，所以圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：上電流對(duì)點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)，方向垂直紙面向里。5-7穩(wěn)恒電流如題5-7圖所示，求圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由畢奧-薩伐爾定律知線段及上的電流對(duì)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)均為零，上電流對(duì)點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)，方向垂直紙面向里。題5-7圖上電流對(duì)點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)，方向垂直紙面向外。故點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，方向垂直紙面向外。5-8一個(gè)扇形塑料薄片，半徑為，張角為，其表面均勻帶電，電荷面密度為，使扇形薄片繞通過(guò)并垂直于表面的軸線逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，如題5-8圖所示。求：（1）處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。題5-8圖（2）旋轉(zhuǎn)的帶電扇形薄片的磁矩。解：（1）單位時(shí)間里扇形薄片旋轉(zhuǎn)次數(shù)是，因而在處有電流元，電流元在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為故（2）轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)的總磁矩為5-9繞在空心圓環(huán)上的螺旋形線圈叫螺繞環(huán)。設(shè)環(huán)很細(xì)，平均半徑為，線圈密繞，總匝數(shù)為，導(dǎo)線上通過(guò)的電流強(qiáng)度為。求其磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布。解：根據(jù)對(duì)稱性可知，在與環(huán)共軸的周圍上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小都相等，方向沿圓周切向。先在螺繞環(huán)管內(nèi)作與環(huán)同軸（半徑等于）的圓為積分回路。由于電流穿過(guò)回路次，由安培環(huán)路定理得所以（環(huán)內(nèi)）對(duì)于螺繞環(huán)以外的空間，也可作一與環(huán)同軸的圓周，由于穿過(guò)這個(gè)回路的總電流為零，故由得（環(huán)外）5-10無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體橫截面如題5-10圖所示，半徑均為，兩圓心距離為，沿軸向通以反向電流，電流強(qiáng)度為，并均勻分布在橫截面上，求在其所圍的缺口中任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度。解：根據(jù)補(bǔ)償法，缺口中的磁感強(qiáng)度相當(dāng)于兩通以反向電流的圓柱體在該點(diǎn)產(chǎn)生磁感強(qiáng)度的矢量和。題5-10圖設(shè)左邊圓柱體的電流密度為，對(duì)缺口中任意一點(diǎn)，到的距離為，取以為圓心，半徑為的圓為安培環(huán)路，且回路正向與滿足右手螺旋關(guān)系，對(duì)無(wú)空腔導(dǎo)體柱，利用安培環(huán)路定理，得，考慮到的方向，。如圖取以為圓心，半徑為的圓為安培環(huán)路，且回路正向與滿足右手螺旋關(guān)系，同理可得，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，缺口中點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)為，其中的小為，其中，為扇形的面積，為三角形的面積。5-11如題5-11圖所示，一平面圓盤(pán)，半徑為，表面帶有面電荷密度。設(shè)圓盤(pán)繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向與轉(zhuǎn)軸夾角，試求圓盤(pán)所受到的力矩。解：圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)后，形成一系列半徑不同的圓電流，任取一半徑為，寬為的環(huán)形微元電流，。其磁矩為題5-11圖在外磁場(chǎng)中，該環(huán)形微元電流受的磁力矩為所有環(huán)形微元電流所受的磁力矩方向均相同，故轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電圓盤(pán)在外磁場(chǎng)中所受到的總磁力矩為力矩的方向由決定。5-12由兩條半無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線和一個(gè)圓弧形電流組成的電流系統(tǒng)，求圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。[答案]此題有多種導(dǎo)線組合方式，組合方式不同，結(jié)果不同。(1)延長(zhǎng)線上,(2)半無(wú)限長(zhǎng),(3)載流圓弧圓心處5-13如題5-13圖所示，有寬，厚的帶形銀導(dǎo)體，通過(guò)電流，有的磁場(chǎng)垂直帶面（與寬題5-13圖邊垂直），求霍爾電動(dòng)勢(shì)。銀的密度為。解：設(shè)銀的摩爾質(zhì)量，密度，電子數(shù)密度，自由電子定向運(yùn)動(dòng)的漂移速度與電流的關(guān)系為，，霍爾電動(dòng)勢(shì)5-14運(yùn)用“分類比較方法”將本章內(nèi)容做一次小結(jié)。[答案]略第六章6-1平均半徑為的匝線圈，在強(qiáng)度為的地磁場(chǎng)中每秒旋轉(zhuǎn)周，線圈中可產(chǎn)生的最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為多大？如何旋轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)到何時(shí)，才有這樣大的電動(dòng)勢(shì)？解：設(shè)線圈繞垂直于地磁場(chǎng)的直徑旋轉(zhuǎn)，在時(shí)刻，線圈的法線方向與平行，即，則任一時(shí)刻，法線與間夾角，則在任一時(shí)刻，穿過(guò)線圈的磁通量，線圈回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，當(dāng)時(shí)，最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，為每秒旋轉(zhuǎn)的周數(shù)，代入數(shù)據(jù)6-2有一測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度的線圈，其截面積，匝數(shù)匝，電阻。線圈與一內(nèi)阻的沖擊電流計(jì)相連。若開(kāi)始時(shí)線圈的平面與均勻磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度相垂直，然后線圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與的方向平行。此時(shí)從沖擊電流計(jì)中測(cè)得電荷值。問(wèn)此均勻磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的值為多少？解:在線圈轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)，通過(guò)線圈平面磁通量的變化量為因此，流過(guò)導(dǎo)體截面的電量為則6-3一通有恒定電流的長(zhǎng)直導(dǎo)線，旁邊有一個(gè)與它共面的三角形線圈，的長(zhǎng)為，到邊的垂直距離為，見(jiàn)題6-3圖。在時(shí)刻，邊與長(zhǎng)直導(dǎo)線平行且相距。試求當(dāng)線圈由圖示位置以速度沿豎直方向向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三角形線圈每邊上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。解：本題為導(dǎo)體在恒定非均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的情況。應(yīng)用式求三段導(dǎo)線中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。對(duì)于導(dǎo)線，由于其的方向與線上的線元垂直，所以事實(shí)上，導(dǎo)線在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)中不切割磁力線，因而這一結(jié)果是可以預(yù)料到的。導(dǎo)線上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為長(zhǎng)直電流在距它為的線元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，又，所以式中，“”號(hào)表示的方向由指向，即點(diǎn)電勢(shì)比點(diǎn)電勢(shì)高。與求的方法類似，可得出所以，與大小相等。此結(jié)果也可由，與兩點(diǎn)電勢(shì)相等的結(jié)論分析得出。由于線圈是在豎直平面內(nèi)向上移動(dòng)，且磁場(chǎng)時(shí)恒定的，因此線圈回路中磁通量不變。線圈回路的總電動(dòng)勢(shì)為故在求得，后，即可得到6-4如題6-4圖所示，銅棒長(zhǎng)，在方向垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（）中，沿逆時(shí)針?lè)较蚶@軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為每秒轉(zhuǎn)。求銅棒中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和指向。[答案];方向題6-4圖解：當(dāng)銅棒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，銅棒上各小段切割磁力線而產(chǎn)生了動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，由于銅棒上各點(diǎn)的速度不同，可將銅棒劃成小段來(lái)考慮。在銅棒上距點(diǎn)為處，取線元為，其速度，在上產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為銅棒中總的電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì)的方向由指向。6-5如題6-5圖所示，均勻磁場(chǎng)與導(dǎo)體回路法線的夾角為，磁感應(yīng)強(qiáng)度（為大于零的常數(shù)），導(dǎo)體長(zhǎng)為，且以速度水平向右運(yùn)動(dòng)，求任意時(shí)刻感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向（設(shè)時(shí)，）。題6-5圖解：本題屬于動(dòng)生、感生的混合題目。磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化，在回路中激起感生電動(dòng)勢(shì)，導(dǎo)體又在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)切割磁力線，因而又產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是兩者之和。解法一設(shè)上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為，回路中的感生電動(dòng)勢(shì)。由公式可判斷的方向?yàn)??；芈分械母猩妱?dòng)勢(shì)大小為（設(shè)任意時(shí)刻，）的方向?yàn)轫槙r(shí)針（沿）。解法二應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律求解。首先求任意時(shí)刻回路的，可得再求，有的方向可由楞次定律定為由，即為順時(shí)針?lè)较颉?-6設(shè)有一單層密繞螺線管，管長(zhǎng)，截面積，繞組的總匝數(shù)，試求：（1）求其自感。（2）若線圈中通以交變電流（，為常數(shù)），求管內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解（1）計(jì)算自感的步驟是：1設(shè)想將回路通以電流。2計(jì)算該電流在回路面積上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。由于螺線管的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其直徑，其中部磁場(chǎng)可近似地看成和無(wú)限長(zhǎng)螺線管一樣為均勻磁場(chǎng)。當(dāng)螺線管通以電流時(shí)，管內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為式中，表示單位長(zhǎng)度的匝數(shù)。3計(jì)算磁場(chǎng)通過(guò)本回路面積的磁通量。本題中通過(guò)每匝線圈的磁感應(yīng)通量都等于通過(guò)螺線管的磁通匝鏈數(shù)為式中，表示螺線管的體積。求自感（2）根據(jù)公式6-7如題6-7圖所示，兩同軸單匝圓線圈、的半徑分別為和，兩線圈相距為。若很小，可認(rèn)為線圈在線圈處所產(chǎn)生的磁場(chǎng)是均勻的。求兩線圈的互感。解：線圈與線圈同軸，線圈中有電流時(shí)，由于很少，在線圈的面積上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小近似相等，其值為題6-7圖的方向與線圈的面積垂直，通過(guò)線圈的磁通量為兩線圈的互感為6-8半徑的“無(wú)限長(zhǎng)”直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場(chǎng)可視為均勻磁場(chǎng)，管外磁場(chǎng)可近似看作零。若通電電流均勻變化，使得磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率為常量，且為正值。試求：（1）管內(nèi)外由磁場(chǎng)變化而激發(fā)的感生電場(chǎng)分布；（2）如，求距螺線管中心軸處感生電場(chǎng)的大小和方向。解：（1）管內(nèi)磁場(chǎng)分布具有對(duì)成性，當(dāng)管內(nèi)磁場(chǎng)變化時(shí)，在空間激發(fā)感生電場(chǎng)，而且感生電場(chǎng)也有對(duì)稱性。在管內(nèi)以管軸上一點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑作圓，圓平面與管軸垂直，則圓上每一點(diǎn)的感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小相等，方向與圓相切。沿此圓作的積分，則有這個(gè)圓面積上的磁通量為根據(jù)公式可得因此說(shuō)明管內(nèi)感生電場(chǎng)的大小與到管軸的距離成正比。類似地，在管外也可作一半徑為的圓，沿此圓的積分仍為此圓面積上的磁通量為因此，說(shuō)明管外感生電場(chǎng)的大小與到管軸距離成反比。（2）位于管外，感生電場(chǎng)的大小為6-9一半徑為的長(zhǎng)直螺線管中載有變化電流，圖所示為在管內(nèi)產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的一個(gè)橫截面。當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度以恒定的變化率增加時(shí)，將長(zhǎng)為的導(dǎo)體棒垂直于磁場(chǎng)放置在螺線管內(nèi)，如題6-9圖題6-9圖所示。試求棒兩端的感生電動(dòng)勢(shì)。解：根據(jù)進(jìn)行計(jì)算已知渦旋電場(chǎng)線是一沿逆時(shí)針?lè)较虻耐膱A系，今沿導(dǎo)體棒取線元，與的夾角為，則有在區(qū)域內(nèi)，，又故有又，感生電動(dòng)勢(shì)的方向由指向，即點(diǎn)電勢(shì)比點(diǎn)的高。6-10在半徑為的圓柱形空間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)，的方向如題6-10圖所示，其量值以的速率增加，現(xiàn)有一長(zhǎng)為的金屬棒放在圖示位置，其一半位于磁場(chǎng)內(nèi)部，另一半在磁場(chǎng)外部。求棒兩端的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。題6-10圖解：根據(jù)進(jìn)行計(jì)算，為渦旋電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)。已知在圓柱形內(nèi)部，大小為，在圓柱形外部，大小為，由于圓柱內(nèi)外磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)形式不同，所以需分段計(jì)算，即。（1）如圖所示沿導(dǎo)體棒取線元，與的夾角為，式（1）則有利用，則利用，，，則6-11如題6-11圖所示的平行板電容器由半徑為的兩塊圓形板構(gòu)成，用長(zhǎng)直導(dǎo)線給它供電，設(shè)某時(shí)刻極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的增加率為，求距離兩極板中心連線為處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。（1）時(shí)；（2）時(shí)。題6-11圖解：根據(jù)電場(chǎng)分布的軸對(duì)稱性，變化電場(chǎng)激發(fā)的磁場(chǎng)也具有軸對(duì)稱性，距離兩板中心距離相同點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同，方向沿如圖所示圓的切線方向。根據(jù)磁場(chǎng)分布的特點(diǎn)，利用公式計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。以兩極板中心連線上一點(diǎn)為圓心，取半徑為的圓為積分回路，是以為周界的任意平面，為方便計(jì)算取為周界的圓平面。根據(jù)計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式，且，所以，由于與無(wú)關(guān)，交換求導(dǎo)，積分順序，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則。6-12舉例介紹在你的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)中，你對(duì)自己尚不能理解的某種自然現(xiàn)象作何假設(shè)？[答案]略第七章7-1：質(zhì)量分別為和的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們相距為，如以質(zhì)點(diǎn)為原點(diǎn)，試求它們的引力場(chǎng)強(qiáng)度為零的位置?！窘忸}思路】：根據(jù)引力場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，可得兩質(zhì)點(diǎn)間任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。x●●題7-2圖【解題x●●題7-2圖【解題技巧】：解一元二次方程，利用求根公式舍去不合理的解，得。7-2月球的質(zhì)量為地球質(zhì)量的，直徑為地球直徑的，計(jì)算質(zhì)量為的人在月球上所受到的月球引力?！窘忸}思路】：人在不同星球上所受的引力均屬萬(wàn)有引力，其大小由萬(wàn)有引力定律確定。【解題方法】設(shè)地球、月球的半徑分別為，，質(zhì)量分別為，，先以代數(shù)符號(hào)作解，然后代入數(shù)字。人在地球表面所受引力的大小，即人的重量（1）人在月球表面所受的引力大小為（2）【解題技巧】：采用比較（1）、（2）的方法，可得人在月球表面所受的引力。代入數(shù)字得7-3向地球上空發(fā)送衛(wèi)星，當(dāng)衛(wèi)星有足夠的速度，就可以在地球引力作用下作有心運(yùn)動(dòng)，形成穩(wěn)定的軌道，周而復(fù)始環(huán)繞地球運(yùn)行。求衛(wèi)星在此時(shí)的速度---第一宇宙速度。解題思路：衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)滿足穩(wěn)定圓軌道的條件是，環(huán)繞速度所需要的向心力恰等于地球引力，據(jù)此可得衛(wèi)星的環(huán)繞速度。解題方法：設(shè)衛(wèi)星高度為，即，滿足穩(wěn)定圓軌道的條件為求得第一宇宙速度：7-4：同步衛(wèi)星在赤道上空以和地球自轉(zhuǎn)同樣的角速度運(yùn)行，為滿足這一要求，同步衛(wèi)星應(yīng)位于赤道多高的地方？其線速度為多大？解題思路：（1）地球自轉(zhuǎn)的角速度可由一晝夜的時(shí)間來(lái)確定。做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于受到地球的萬(wàn)有引力。此時(shí)的萬(wàn)有引力可用于決定衛(wèi)星的高度。（2）由角量和線量的關(guān)系，可得衛(wèi)星的線速度。解題方法：地球自轉(zhuǎn)的角速度為同步衛(wèi)星以此角速度作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有式中為引力常量，，分別為地球的質(zhì)量和半徑。由上式可得同步衛(wèi)星距赤道的高度其中，同步衛(wèi)星的線速度為7-5：設(shè)一顆質(zhì)量為的地球衛(wèi)星，以半徑沿圓軌道運(yùn)動(dòng)。由于微小阻力，使其軌道半徑收縮到。計(jì)算：（1）速率的變化；（2）動(dòng)能和勢(shì)能的變化；（3）總能量的變化。解題思路：（1）由于衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力是由地球隊(duì)衛(wèi)星的引力提供的，因此可計(jì)算出衛(wèi)星在不同軌道上的速率，進(jìn)而可得不同軌道動(dòng)能的變化。（2）不同的軌道具有不同的勢(shì)能。（3）總能量的變化等于勢(shì)能和動(dòng)能變化之和。解題方法：（1）衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有由此可得衛(wèi)星的速率在兩個(gè)不同的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，速率的變化為（2）衛(wèi)星在軌道轉(zhuǎn)移變化過(guò)程中，動(dòng)能的變化為衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，勢(shì)能為衛(wèi)星在軌道轉(zhuǎn)移變化過(guò)程中，勢(shì)能的變化為（3）總能量的變化第八章8-1已知空間某區(qū)域的電勢(shì)函數(shù)，求：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度函數(shù)（2）坐標(biāo)（2，2，3）點(diǎn)的電勢(shì)及其與原點(diǎn)電勢(shì)差?！窘忸}思路】：（1）利用電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系，可計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)。（2）把坐標(biāo)點(diǎn)代入電勢(shì)函數(shù)關(guān)系式即可得該點(diǎn)的電勢(shì)，進(jìn)而可計(jì)算電勢(shì)差?！窘忸}方法】：（1）（2）坐標(biāo)（2，2，3）點(diǎn)的電勢(shì),原點(diǎn)的電勢(shì)，這兩點(diǎn)的電勢(shì)差為。8-2：題圖示為兩對(duì)電偶極子，其電荷相反地逆向并列在一條直線上組成所謂的電四極子。稱為電四極距。設(shè)P點(diǎn)在此直線上，它與四極子的中心距為（），試求P點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度?！窘忸}思路】：已知點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布，先應(yīng)用電勢(shì)疊加原理計(jì)算出P點(diǎn)的電勢(shì)，然后由電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系計(jì)算P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)?！窘忸}方法】：建立如圖坐標(biāo)系。點(diǎn)電荷的電勢(shì)為。PP●●●●題8-2圖P點(diǎn)的電勢(shì)為各點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)之和（1）【解題技巧】：根據(jù)的條件，展成級(jí)數(shù)得：（2）在上式級(jí)數(shù)展開(kāi)中，只考慮前兩項(xiàng)，可得電場(chǎng)強(qiáng)度沿方向。8-3電荷q均勻分布在長(zhǎng)為的細(xì)直線上，試求：（1）中垂面離帶電直線中心為處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度。（2）帶電直線延長(zhǎng)線上離中心為處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度。（3）離帶電直線端點(diǎn)處為的場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的分量。【解題思路】：先應(yīng)用電勢(shì)疊加原理計(jì)算連續(xù)帶電體的電勢(shì)分布（在帶電直線上取電荷元，根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)公式寫(xiě)出該電荷元在所討論點(diǎn)P的電勢(shì)；積分可得整個(gè)帶電體在P點(diǎn)的電勢(shì)）；然后由電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)?！窘忸}方法】：（1）建立如圖坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為帶電直線中心。在中垂面距帶電直線中心為處取點(diǎn)P，在帶電直線上取電荷元，，該電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為整個(gè)帶電系統(tǒng)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為【解題技巧】：代入電勢(shì)函數(shù)表達(dá)式，分量求導(dǎo)，然后給出矢量表達(dá)式。（2）建立如圖坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為帶電直線中心，設(shè)P點(diǎn)位于處，距中心為，在帶電直線上取電荷元，，該電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為整個(gè)帶電系統(tǒng)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為同理可得，P點(diǎn)位于處的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)（3）建立如圖坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為帶電直線的一端，在離帶電直線端點(diǎn)為處取點(diǎn)P，P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為8-4：題8-4圖所示，兩個(gè)長(zhǎng)度為的細(xì)桿，彼此對(duì)稱正交，其上均勻分布電荷，計(jì)算離桿端處P點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度?！窘忸}思路】：根據(jù)上題結(jié)論可知兩細(xì)桿在P點(diǎn)的電勢(shì)，應(yīng)用電勢(shì)疊加原理可計(jì)算P點(diǎn)的電勢(shì)；然后由電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系計(jì)算P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)?！窘忸}方法】：建立如圖坐標(biāo)系，P點(diǎn)位于電荷的延長(zhǎng)線上，P●題8-4圖電荷在PP●題8-4圖，P點(diǎn)位于電荷的中垂線上，電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為由電勢(shì)疊加原理得利用電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系，可得方向自左向右。第九章9-1解：以A為研究對(duì)象，共受三個(gè)力：重力、支持力、張力（大小等于彈簧彈性力）。建立OX軸，正向沿斜面向下，原點(diǎn)取在平衡位置，即在初始位置斜下方距離為處，此時(shí),列出A在任一位置x處的牛頓方程式,將式代入上式，整理得。所以物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且，由初始條件，定出，故運(yùn)動(dòng)方程為：。9-2解：物體受力平衡時(shí)，彈性力與重力大小相等，即。此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，則彈簧的勁度系數(shù)，系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率為（1）設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)，物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向，則初始條件時(shí)，、，代入,得；再應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初相，故運(yùn)動(dòng)方程為。（2）t=0時(shí)，、，同理得；，故運(yùn)動(dòng)方程為。9-3解：按題意作如圖所示旋轉(zhuǎn)矢量圖，平衡位置在點(diǎn)O。（1）從平衡位置到最大位移處，圖中的旋轉(zhuǎn)矢量從位置1轉(zhuǎn)到位置3，，則。（2）從平衡位置到=A/2處，圖中的旋轉(zhuǎn)矢量從位置1轉(zhuǎn)到位置2，，則。（3）從=A/2到最大位移處，圖中的旋轉(zhuǎn)矢量從位置2轉(zhuǎn)到位置3，，則。9-4解：(1)由題意知，A=0.06m、，由旋轉(zhuǎn)矢量法知，初相，則振動(dòng)方程為，當(dāng)t=0.5s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度分別為：=0.052m，，。(2)質(zhì)點(diǎn)從x=-0.03m運(yùn)動(dòng)到平衡位置的過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)矢量從圖所示位置M轉(zhuǎn)至N,矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度及相位差，該過(guò)程中所需時(shí)間為。9-5解：如圖為兩質(zhì)點(diǎn)在特定時(shí)刻t的旋轉(zhuǎn)矢量圖，OM表示第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量；ON表示第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量，第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位比第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)超前，即它們的相位差，故第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為9-6略第十章10-1解：（1）若以波源為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動(dòng)方程可寫(xiě)為，距波源為x1=15.0m和x2=5.0m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程分別為：，，它們的初相分別為和（若波源初相取，則初相和）；(2)距波源16.0m和17.0m兩點(diǎn)間的相位差10-2解：由波源的振動(dòng)曲線知，A=2m,T=4S且t=0時(shí)，y=0且，故波源的振動(dòng)方程可設(shè)為，，，當(dāng)t=0時(shí)，（1）波沿x軸正向傳播，波動(dòng)方程為（2）令t=3s,則波形方程為，據(jù)此畫(huà)出t=3s式的波形曲線，圖略。10-3解：（1）從圖知，波的振幅，波長(zhǎng)，則波速。根據(jù)時(shí)點(diǎn)P向上運(yùn)動(dòng)，可知波沿Ox軸負(fù)向傳播，并判定此時(shí)位于原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)將沿Oy軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，利用旋轉(zhuǎn)矢量法可得初相。故波動(dòng)方程為：(2)距原點(diǎn)O為處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，時(shí)該點(diǎn)的振動(dòng)速度為10-4解：（1）將題給的波動(dòng)方程改寫(xiě)為與比較后得波速，角頻率，故有，，（2）由分析知時(shí)，方程表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，圖略。10-5解：在圖中，，兩列波在P點(diǎn)處波程差為,則相位差為：。10-6解：（1）兩列波在R處的相位差為（2）由于=，則振幅為10-7解：按題中所給條件，這是兩個(gè)相干波，在相遇空間的波強(qiáng)（或總振幅）取決于這兩波在相遇點(diǎn)的相位差，則，設(shè)A為原點(diǎn)，AB連線方向?yàn)閤軸正向，則在AB之間的任一點(diǎn)X距A為x,距B為.因干涉而靜止不動(dòng)的點(diǎn)必然為相消干涉，又，可有=（k=0,1,2,3,…）所以10-8解：（1）將給定方程進(jìn)行改寫(xiě)，，則，得，與駐波形式相符；由可得波節(jié)位置坐標(biāo)k=0,由可得波腹位置坐標(biāo)k=0,；（2）從表達(dá)式知駐波振幅，在波腹處；在0.12m處。10-9解：設(shè)入射波沿x軸正向傳播，選坐標(biāo)原點(diǎn)在波源處，并令波源振動(dòng)初相位為，可得據(jù)波源x處質(zhì)點(diǎn)的位移（即入射波的波函數(shù)）；在求圖示反射波的波函數(shù)時(shí)，可先求入射波在傳到B處再經(jīng)反射壁反射后傳到O點(diǎn)落后于原點(diǎn)的相位，據(jù)此寫(xiě)出反射波在O點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式，這樣可以得到反射波的波動(dòng)表達(dá)式；合成波方程由得；將代入合成波方程，得到C點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律。10-10略第十一章11-1解：楊氏雙縫干涉中，相鄰兩明條紋中心間距的計(jì)算公式為，利用已知條件，，代入求得。11-2解：未放上薄片時(shí)，零級(jí)明紋所在位置處光程差滿足；放上薄片后，對(duì)應(yīng)于零級(jí)明紋，光程差滿足的關(guān)系是=0，而此時(shí)，（k=7），兩式聯(lián)立得，即。11-3解：插入介質(zhì)前的光程差(對(duì)應(yīng)級(jí)明紋)，插入介質(zhì)后的光程差(對(duì)應(yīng)級(jí)明紋)。光程差的變化量為，式中可以理解為移過(guò)點(diǎn)P的條紋數(shù)（本題為5）。由上述分析可知，兩介質(zhì)片插入前后，對(duì)于原中央明紋所在點(diǎn)O，有，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入可得。11-4解：（1）相鄰條紋間距計(jì)算公式，將已知條件代入上述公式可求=，屏上第K級(jí)明紋離屏幕中心距離可表示為計(jì)算得=；（2）若，代入上式得=；（3）若把薄片插入的光路中，則其光程會(huì)變大為，欲使兩光束的光程差